第13章三角形中的邊角關系、命題與證明13.2命題與證明第1課時命題第13章三角形中的邊角關系、命題與證明13.2命題1課堂講解命題真命題和假命題互逆命題與舉反例2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升1課堂講解命題2課時流程逐點課堂小結作業提升

前面，已經學習了一些幾何圖形的性質.在認識這些性質時，使用了觀察、操作和實驗等方法，并對它們作出一些說理與解釋.

研究幾何圖形，如果僅限于觀察、操作和實驗等方法，難以使人確信結果的正確性，比如上一節研究三角形性質時,通過折疊、剪拼或度量得到三角形三個內角的和是180°(如圖是剪拼）.前面，已經學習了一些幾何圖形的性質.在認識對于上面的結果，如果有同學提出以下疑問：(1)在剪拼時，發現三個內角難以拼成一個平角，只是接近180°的某個值；(2)度量三個角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°,不是很準確地都得180°.如何回答上面的問題呢？對于上面的結果，如果有同學提出以下疑問：1知識點命題推理的問題：

推理是一種思維活動.人們在思維活動中，常要對事物的情況作出種種判斷.判斷是通過語言來表達的，例如：

(1)北京是中華人民共和國的首都；

(2)如果∠1與∠2是對頂角，那么∠1=∠2;(3)1+1<2；

(4)如果一個整數的各位上的數字之和是3的倍數，那么這個數能被3整除.知1－導1知識點命題推理的問題：知1－導知1－講1.定義：判斷一件事情的語句，叫做命題．要點精析：

(1)命題必須是一個完整的句子，且具有“判斷”作用．

(2)命題只需具有“判斷”功能，而不論這個判斷正確與否．2.命題的組成：命題由題設(條件)和結論兩部分組成．題設(條件)是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．呈現方法：命題一般為“如果……那么……”的形式；其中“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論．知1－講1.定義：判斷一件事情的語句，叫做命題．知1－講

注：有些命題的題設和結論不明顯，可將它經過適當變形，改寫成“如果……那么……”的形式．3．易錯警示：誤認為只有正確的命題是命題，而不正確的命題不是命題．（來自《點撥》）知1－講注：有些命題的題設和結論不明顯，（來知1－講

例1

下列語句中：(1)時間都去哪兒了？(2)畫一條直線的平行線；(3)長方形的四個角都是直角；(4)4不是偶數．命題共有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個導引：緊扣命題的定義進行判斷：(1)是一個疑問句，沒有作出判斷，所以不是命題；(2)沒有包含判斷的意思，所以不是命題；(3)對一件事情作出了肯定的判斷，所以是命題；

(4)對事情作出了否定的判斷，所以是命題．

（來自《點撥》）B知1－講例1下列語句中：(1)時間都去哪兒總結知1－講（來自《點撥》）

命題是表示判斷的語句，一般都是以陳述句的形式展現；其他如疑問句、感嘆句、祈使句以及表示畫圖的語句都不是命題．

總結知1－講（來自《點撥》）命題是表示判斷的語知1－講解：（1）“兩條直線都平行于同一條直線”是條件，“兩條直線平行”是結論.

（2）“∠A=∠B”是條件，“∠A的補角與∠B

的補角相等”是結論.（來自教材）

例2指出下列命題的條件與結論：（1）兩條直線都平行于同一條直線，這兩條直線平行；（2）如果∠A=∠B,那么∠A的補角與∠B的補角相等.知1－講解：（1）“兩條直線都平行于同一條直線”是條件，知1－講導引：設法把命題的題設和結論部分省略的文字找出來，要從文字的內在順序、內在意義進行全面考慮，分清命題的題設部分和結論部分；再將它寫成“如果…那么…”的形式．

例3

把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式．

(1)對頂角相等；

(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行；

(3)同角或等角的余角相等．知1－講導引：設法把命題的題設和結論部分省略的文字找出例知1－講解：(1)如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．

(2)如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行．

(3)如果兩個角是同一個角的余角或兩個相等的角的余角，那么這兩個角相等．（來自《點撥》）知1－講解：(1)如果兩個角是對頂角，那么這兩個（來自《點撥總結知1－講（來自《點撥》）(1)命題改寫的原則：不改變命題的原意；為了改寫后的語句通暢且保持原意，應適當增加或刪減詞語或調換詞序；(2)命題改寫的方法：先搞清命題的題設(已知事項)部分和結論部分；再將其改寫為“如果……那么……”

的形式：“如果”后面跟的是已知事項，“那么”后面跟的是由已知事項推出的事項(即結論)．總結知1－講（來自《點撥》）(1)命題改寫的原則：不改

下列語句：①鈍角大于90°；②兩點之間，線段最短；③希望明天下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁內角不互補，兩直線不平行．其中是命題的是(

)A．①②③B．①②⑤

C．①②④⑤D．①②④2下列語句中，不是命題的是(

)A．如果a＞b，那么b＜aB．同位角相等

C．垂線段最短D．反向延長射線OA知1－練（來自《典中點》）下列語句：①鈍角大于90°；②兩點之間，知1－練（知1－練（來自《典中點》）

命題“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”的題設是(

)A．平行B．兩條直線

C．同一條直線

D．兩條直線平行于同一條直線命題“如果a2＝b2，那么a＝b或a＋b＝0”的結論是(

)A．a2＝b2或a＝b

B．a2＝b2C．a＝b或a＋b＝0

D．a2＝b2或a＋b＝0知1－練（來自《典中點》）命題“平行于同一條直線的兩條2知識點真命題和假命題知2－講正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題．（來自《點撥》）2知識點真命題和假命題知2－講正確的命題叫做真命題，（來自《知2－講導引：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命題，故①正確，②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命題，故②正確，③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命題，故③錯誤，④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命題，故④正確．

例4

已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內，下列四個命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，

c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中真命題有_______．(填寫所有真命題的序號)（來自《點撥》）①②④知2－講導引：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命題，故①知2－練（來自《典中點》）

(中考·慶陽)已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內，下列四個命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，

c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么

b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中真命題是________．(填寫所有真命題的序號)2下列命題中，為真命題的是(

)A．對頂角相等B．同位角相等

C．若a2＝b2，則a＝bD．若a>b，則－2a>－2b知2－練（來自《典中點》）(中考·慶陽)已知三條不同知2－練（來自《典中點》）

下列語句：①若∠A＋∠B＝180°，則∠A與∠B互為鄰補角；②120°的角和60°的角都是補角；③連接AB，并延長到點C；④同角的余角相等．其中真命題有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個4下列命題中，假命題有(

)①若a2＝4，則a＝2；②若a＞b，則a2＞b2；③若a＞b，b＞c，則a＞c；④若|a|＝|b|，則a2＝b2.A．1個B．2個C．3個D．4個知2－練（來自《典中點》）下列語句：①若∠A＋∠B3知識點互逆命題與舉反例知3－講1.互逆命題將命題“如果p，那么q”中的條件與結論互換，便得到一個新命題“如果q，那么p”，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫做原命題，另一個就叫做原命題的逆命題．2.反例的定義像這種符合命題條件，但不滿足命題結論的例子，我們稱之為反例（counterexample).要說明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可.3知識點互逆命題與舉反例知3－講1.互逆命題知3－講3.反例的應用（1）要說明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可．（2）易錯警示：一個命題是真命題時，它的逆命題不一定是真命題．（來自《點撥》）知3－講3.反例的應用（來自《點撥》）知3－講（來自教材）解：（1）逆命題是“兩直線平行，內錯角相等”，是真命題.

（2）逆命題是“如果ab=0，那么a=0”，是假命題.

反例，當a=1，b=0時，ab=0.

例5寫出下列命題的逆命題，并判斷所得逆命題的真假,如果是假命題，請舉一個反例：（1）內錯角相等，兩直線平行；（2）如果a=0,那么ab=0.知3－講（來自教材）解：（1）逆命題是“兩直線平行，內錯角相

例6

寫出下列命題的逆命題：

(1)兩條直線被第三條直線所截，如果有一對同位角相等，那么這兩條直線平行；

(2)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；

(3)若r2＝a，則r是a的平方根；

(4)如果a≥0，那么＝a.知3－講解：(1)兩條平行線被第三條直線所截，有一對同位角相等；

(2)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；

(3)若r是a的平方根，則r2＝a；

(4)如果＝a，那么a≥0.（來自《點撥》）例6寫出下列命題的逆命題：知3－講解：(1)兩知3－講解：不正確．例如：當n＝7時，n2－6n＝7＞0.（來自《點撥》）

例7

在學習中，小明發現：當n＝1，2，

3時，n2－6n的值都是負數．于是小明猜想：當n為任意正整數時，n2－

6n的值都是負數．小明的猜想正確嗎？請簡要說明你的理由．知3－講解：不正確．（來自《點撥》）例7在學總結知3－講（來自《點撥》）

舉反例是說明一個命題為假命題的常用而有效的方法．

總結知3－講（來自《點撥》）舉反例是說明一個命知3－練（來自《典中點》）

(中考·廈門)已知命題A：“任何偶數都是8的整數倍”．在下列選項中，可以作為“命題A是假命題”的反例的是(

)A．2kB．15C．24D．42

有下列命題：①同旁內角互補，兩直線平行；②若|a|＝|b|，則a＝b；③直角都相等；④相等的角是對頂角，這些命題的逆命題是真命題的有(

)A．4個B．3個C．2個D．1個知3－練（來自《典中點》）(中考·廈門)已知命題知3－練（來自《典中點》）

對假命題“任何一個角的補角都不小于這個角”舉反例，正確的反例是(

)A．∠α＝60°，∠α的補角∠β＝120°，∠β>∠αB．∠α＝90°，∠α的補角∠β＝90°，∠β＝∠αC．∠α＝100°，∠α的補角∠β＝80°，∠β<∠αD．兩個角互為鄰補角知3－練（來自《典中點》）對假命題“任何一個角的

看一句話是不是命題，關鍵是看它是不是作出了明確的判斷，是不是一個完整的句子，在改寫命題時，不是機械地在原命題中添上“如果……”和“那么……”，而要使改寫后命題的實質不變，條件和結論明朗化，主要要求：(1)改寫后的命題與改寫前的命題的內容要一致；(2)改寫后的命題的句子要完整、語句要通順，必要時，要對原命題加一些修飾，并且補上原來省略的部分．

（來自《典中點》）看一句話是不是命題，關鍵是看它是不是作出（第13章三角形中的邊角關系、命題與證明13.2命題與證明第1課時命題第13章三角形中的邊角關系、命題與證明13.2命題1課堂講解命題真命題和假命題互逆命題與舉反例2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升1課堂講解命題2課時流程逐點課堂小結作業提升

前面，已經學習了一些幾何圖形的性質.在認識這些性質時，使用了觀察、操作和實驗等方法，并對它們作出一些說理與解釋.

研究幾何圖形，如果僅限于觀察、操作和實驗等方法，難以使人確信結果的正確性，比如上一節研究三角形性質時,通過折疊、剪拼或度量得到三角形三個內角的和是180°(如圖是剪拼）.前面，已經學習了一些幾何圖形的性質.在認識對于上面的結果，如果有同學提出以下疑問：(1)在剪拼時，發現三個內角難以拼成一個平角，只是接近180°的某個值；(2)度量三個角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°,不是很準確地都得180°.如何回答上面的問題呢？對于上面的結果，如果有同學提出以下疑問：1知識點命題推理的問題：

推理是一種思維活動.人們在思維活動中，常要對事物的情況作出種種判斷.判斷是通過語言來表達的，例如：

(1)北京是中華人民共和國的首都；

(2)如果∠1與∠2是對頂角，那么∠1=∠2;(3)1+1<2；

(4)如果一個整數的各位上的數字之和是3的倍數，那么這個數能被3整除.知1－導1知識點命題推理的問題：知1－導知1－講1.定義：判斷一件事情的語句，叫做命題．要點精析：

(1)命題必須是一個完整的句子，且具有“判斷”作用．

(2)命題只需具有“判斷”功能，而不論這個判斷正確與否．2.命題的組成：命題由題設(條件)和結論兩部分組成．題設(條件)是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．呈現方法：命題一般為“如果……那么……”的形式；其中“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論．知1－講1.定義：判斷一件事情的語句，叫做命題．知1－講

注：有些命題的題設和結論不明顯，可將它經過適當變形，改寫成“如果……那么……”的形式．3．易錯警示：誤認為只有正確的命題是命題，而不正確的命題不是命題．（來自《點撥》）知1－講注：有些命題的題設和結論不明顯，（來知1－講

例1

下列語句中：(1)時間都去哪兒了？(2)畫一條直線的平行線；(3)長方形的四個角都是直角；(4)4不是偶數．命題共有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個導引：緊扣命題的定義進行判斷：(1)是一個疑問句，沒有作出判斷，所以不是命題；(2)沒有包含判斷的意思，所以不是命題；(3)對一件事情作出了肯定的判斷，所以是命題；

(4)對事情作出了否定的判斷，所以是命題．

（來自《點撥》）B知1－講例1下列語句中：(1)時間都去哪兒總結知1－講（來自《點撥》）

命題是表示判斷的語句，一般都是以陳述句的形式展現；其他如疑問句、感嘆句、祈使句以及表示畫圖的語句都不是命題．

總結知1－講（來自《點撥》）命題是表示判斷的語知1－講解：（1）“兩條直線都平行于同一條直線”是條件，“兩條直線平行”是結論.

（2）“∠A=∠B”是條件，“∠A的補角與∠B

的補角相等”是結論.（來自教材）

例2指出下列命題的條件與結論：（1）兩條直線都平行于同一條直線，這兩條直線平行；（2）如果∠A=∠B,那么∠A的補角與∠B的補角相等.知1－講解：（1）“兩條直線都平行于同一條直線”是條件，知1－講導引：設法把命題的題設和結論部分省略的文字找出來，要從文字的內在順序、內在意義進行全面考慮，分清命題的題設部分和結論部分；再將它寫成“如果…那么…”的形式．

例3

把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式．

(1)對頂角相等；

(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行；

(3)同角或等角的余角相等．知1－講導引：設法把命題的題設和結論部分省略的文字找出例知1－講解：(1)如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．

(2)如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行．

(3)如果兩個角是同一個角的余角或兩個相等的角的余角，那么這兩個角相等．（來自《點撥》）知1－講解：(1)如果兩個角是對頂角，那么這兩個（來自《點撥總結知1－講（來自《點撥》）(1)命題改寫的原則：不改變命題的原意；為了改寫后的語句通暢且保持原意，應適當增加或刪減詞語或調換詞序；(2)命題改寫的方法：先搞清命題的題設(已知事項)部分和結論部分；再將其改寫為“如果……那么……”

的形式：“如果”后面跟的是已知事項，“那么”后面跟的是由已知事項推出的事項(即結論)．總結知1－講（來自《點撥》）(1)命題改寫的原則：不改

下列語句：①鈍角大于90°；②兩點之間，線段最短；③希望明天下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁內角不互補，兩直線不平行．其中是命題的是(

)A．①②③B．①②⑤

C．①②④⑤D．①②④2下列語句中，不是命題的是(

)A．如果a＞b，那么b＜aB．同位角相等

C．垂線段最短D．反向延長射線OA知1－練（來自《典中點》）下列語句：①鈍角大于90°；②兩點之間，知1－練（知1－練（來自《典中點》）

命題“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”的題設是(

)A．平行B．兩條直線

C．同一條直線

D．兩條直線平行于同一條直線命題“如果a2＝b2，那么a＝b或a＋b＝0”的結論是(

)A．a2＝b2或a＝b

B．a2＝b2C．a＝b或a＋b＝0

D．a2＝b2或a＋b＝0知1－練（來自《典中點》）命題“平行于同一條直線的兩條2知識點真命題和假命題知2－講正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題．（來自《點撥》）2知識點真命題和假命題知2－講正確的命題叫做真命題，（來自《知2－講導引：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命題，故①正確，②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命題，故②正確，③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命題，故③錯誤，④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命題，故④正確．

例4

已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內，下列四個命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，

c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中真命題有_______．(填寫所有真命題的序號)（來自《點撥》）①②④知2－講導引：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命題，故①知2－練（來自《典中點》）

(中考·慶陽)已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內，下列四個命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，

c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么

b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中真命題是________．(填寫所有真命題的序號)2下列命題中，為真命題的是(

)A．對頂角相等B．同位角相等

C．若a2＝b2，則a＝bD．若a>b，則－2a>－2b知2－練（來自《典中點》）(中考·慶陽)已知三條不同知2－練（來自《典中點》）

下列語句：①若∠A＋∠B＝180°，則∠A與∠B互為鄰補角；②120°的角和60°的角都是補角；③連接AB，并延長到點C；④同角的余角相等．其中真命題有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個4下列命題中，假命題有(

)①若a2＝4，則a＝2；②若a＞b，則a2＞b2；③若a＞b，b＞c，則a＞c；④若|a|＝|b|，則a2＝b2.A．1個B．2個C．3個D．4個知2－練（來自《典中點》）下列語句：①若∠A＋∠B3知識點互逆命題與舉反例知3－講1.互逆命題將命題“如果p，那么q”中的條件與結論互換，便得到一個新命題“如果q，那么p”，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫做原命題，另一個就叫做原命題的逆命題．2.反例的定義像這種符合命題條件，但不滿足命題結論的例子，我們稱之為反例（counterexample).要說明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可.3知識點互逆命題與舉反例知3－講1.互逆命題知3－講3.反例的應用（1）要說明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可．（2）易錯警示：一個命題是真命題時，它的逆命題不一定是真命題．（來自《點撥》）知3－講3.反例的應用（來自《點撥》）知3－講（來自教材）解：（1）逆命題是“兩直線平行，內錯角相等”，是真命題.

（2）逆命題是“如果ab=0，那么a=0”，是假命題.

反例，當a=1，b=0時，ab=0.

例5寫出下列命題的逆命題，并判斷所得逆命題的真假,如果是假命題，請舉一個反例：（1）內錯角相等，兩直線平行；（2）如果a=0,那么ab=0.知3－講（來自教材）解：（1）逆命題是“兩直線平行，內錯角相

例6

寫出下列命題的逆命題：

(1)兩條直線被第三條直線所截，如果有一對同位角相等，那么這兩條直線平行；

(2)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；

(3)若r2＝a，則r是a的平方根；

(4)如果a≥0，那么＝a.知3－講解：(1)兩條平行線被第三條直線所截，有一對同位角相等；

(