第五章矩陣5.1矩陣的運(yùn)算

5.2可逆矩陣矩陣乘積的行列式5.3矩陣的分塊

第五章矩陣5.1矩陣的運(yùn)算5.2可逆矩陣矩陣乘積15.1矩陣的運(yùn)算一、內(nèi)容分布5.1.1認(rèn)識(shí)矩陣5.1.2矩陣的運(yùn)算5.1.3矩陣的運(yùn)算性質(zhì)5.1.4方陣的多項(xiàng)式5.1.5矩陣的轉(zhuǎn)置

二、教學(xué)目的

1.掌握矩陣的加法、乘法以及數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算法則及其基本性質(zhì)，并能熟練地對(duì)矩陣進(jìn)行運(yùn)算。2.掌握轉(zhuǎn)置矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)3.掌握方陣的冪、方陣的多項(xiàng)式。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

矩陣的乘法運(yùn)算法則及其基本性質(zhì)，轉(zhuǎn)置矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)。

5.1矩陣的運(yùn)算一、內(nèi)容分布5.1.1認(rèn)識(shí)矩陣二、教學(xué)2一矩陣的定義稱為F上

矩陣,簡(jiǎn)寫:

矩陣的產(chǎn)生有豐富的背景:線形方程組的系數(shù)矩陣…..,矩陣的應(yīng)用非常廣泛.

設(shè)F是數(shù)域,用F的元素排成的m行n列的數(shù)表

一矩陣的定義稱為F上矩陣,簡(jiǎn)寫:矩陣的3

二矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算律

定義1(矩陣的數(shù)乘)給定數(shù)域F中的一個(gè)數(shù)k與矩陣A的乘積定義為

定義2（矩陣的加法）

給定兩個(gè)

矩陣

二矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算律定義1(矩陣的數(shù)乘)4A和B加法定義為:定義3（矩陣的乘法）給定一個(gè)

矩陣和一個(gè)

矩陣A和B加法定義為:定義3（矩陣的乘法）給定一個(gè)矩陣和一5A和B的乘法定義為注意:相加的兩個(gè)矩陣必須同型,結(jié)果也同型;相乘的兩個(gè)矩陣必須:第一個(gè)的列數(shù)等于第二個(gè)的行數(shù),試問:結(jié)果的形狀?A和B的乘法定義為注意:相加的兩個(gè)矩陣必須同型6

矩陣和定義在矩陣上的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律（其中A，B，C均為F上的矩陣，k，l為數(shù)域F中的數(shù)）(1)加法交換律

(2)加法結(jié)合律

(3)零矩陣

(4)負(fù)矩陣

(5)數(shù)乘結(jié)合律

(6)數(shù)乘分配律

(7)乘法結(jié)合律

(8)乘法分配律

矩陣和定義在矩陣上的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律（其中A，B7注意:矩陣的乘法不滿足交換律,

消去律:

也不滿足.

滿足:

的兩個(gè)矩陣稱為可交換的.注意:矩陣的乘法不滿足交換律,消去律:也不滿足.滿8高等代數(shù)課件第五章9三方陣及其多項(xiàng)式

單位矩陣

:主對(duì)角線上全是1,其余元素全是0的方陣稱為單位矩陣,記為或

單位矩陣也可以記為

.它有如下性質(zhì):

方陣A的方冪:

規(guī)定:

設(shè)多項(xiàng)式

,那么

在多項(xiàng)式的等式中,用A代x可以作出形式相同的矩陣等式.三方陣及其多項(xiàng)式單位矩陣:主對(duì)角線上全是10四矩陣的轉(zhuǎn)置

設(shè)把矩陣

的行與列互換之后，得到的矩陣稱為矩陣

矩陣,

記為

或轉(zhuǎn)置有下面的性質(zhì):(9)(10)(11)的轉(zhuǎn)置四矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)把矩陣的行與列互換之后，得到的矩陣稱為115.2可逆矩陣矩陣的乘積的行列式一、內(nèi)容分布

可逆矩陣的定義、性質(zhì)

初等矩陣的定義、性質(zhì)

矩陣可逆的判別、逆矩陣的求法

矩陣乘積的行列式二、教學(xué)目的

1掌握逆矩陣的概念及矩陣可逆的判別2掌握求逆矩陣的方法,尤其是能熟練利用矩陣的行初等變換求逆矩陣。3了解初等矩陣與初等變換的關(guān)系三、重點(diǎn)、難點(diǎn)逆矩陣的求法矩陣可逆的判別5.2可逆矩陣矩陣的乘積的行列式一、內(nèi)容分布12一可逆矩陣的定義及性質(zhì)

定義1A為F上n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=I稱A為可逆矩陣（非奇異矩陣），B稱為A的逆矩陣.例A與B互為逆矩陣.一可逆矩陣的定義及性質(zhì)定義1A為F上n階方陣13性質(zhì)①A可逆，則A的逆矩陣唯一。

證設(shè)B,C均為A的逆矩陣，則

AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=BAC=（BA）C=IC=C

證注意到即得.證注意到即得.④A可逆，則②A可逆，則可逆，且由

有.證③A，B可逆，則AB也可逆，且.性質(zhì)①A可逆，則A的逆矩陣唯一。證設(shè)B,C均為14

定義2由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩陣.n=4二矩陣可逆的判別定義2由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得的矩15

定理

對(duì)A作初等行變換相當(dāng)于用同類型的初等矩陣左乘A;對(duì)A作初等列變換相當(dāng)于用同類型的初等矩陣右乘A。如(1)交換A的i，j行相當(dāng)于用.如(2)把A的第i行乘以數(shù)k相當(dāng)于用.(3)把A的第j行乘以k后加到第i行相當(dāng)于用即.定理對(duì)A作初等行變換相當(dāng)于用同類型的初16

定理

初等矩陣可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣.且

引理5.2.1，則.（初等變換不改變可逆性）.

定理5.2.1任一m×n矩陣A總可以通過初等變換化為定理初等矩陣可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣17證由定理4.1.2，A可通過行及列變換化為對(duì)（*）作第三種列變換即可化為證由定理4.1.2，A可通過行及列變換化為對(duì)（*）作第三種18n階矩陣A可逆

證明：①A可逆,則可逆，無(wú)零行，即.反之，若A→I，由I可逆知A可逆.定理5.2.2--定理5.2.4:n階矩陣A可逆證明：①A可逆,則可19②A→I，即I→A即存在初等矩陣使③由①A→I，④②A→I，即I→A③由①A→I，④20三逆矩陣的求法①行初等變換法

A可逆，由，即存在初等矩陣，使即例1三逆矩陣的求法①行初等變換法A可逆，由21②公式法設(shè)令稱則由行列式的依行依列展開公式②公式法設(shè)令稱則由行列式的依行依列展開公式22，有，有23即若A可逆，則|A|≠0，從而即

即若A可逆，則|A|≠0，從而即24例2：求的逆.故解：例2：求的25例3：求矩陣的逆矩陣.解法一利用公式由并計(jì)算每個(gè)元素的代數(shù)余子式例3：求矩陣26所以所以27解法二行初等變換法.所以解法二行初等變換法.所以28四矩陣乘積的行列式

引理5.2.2：n階矩陣A總可以通過第三種行和列的初等變換化為對(duì)角矩陣證:①若A的第一行、第一列元素不全為零，則總可使A的左上角的元素不為零.則有四矩陣乘積的行列式引理5.2.2：n階矩陣A29②若A的第一行，第一列元素全為零，則已具有的形式.同理，可以把化為繼續(xù)作第三種初等變換，則可將A化為對(duì)角形矩陣，且②若A的第一行，第一列元素全為零，則已具有30定理5.2.5：設(shè)A，B為n階矩陣，則|AB|=|A||B|證①若A為對(duì)角矩陣定理5.2.5：設(shè)A，B為n階矩陣，則證①若A為對(duì)角矩陣31②對(duì)一般情形，由引理5.2.6，A可通過第三種變換化為對(duì)角矩陣，即存在初等矩陣使從而相當(dāng)于對(duì)作第三種行初等變換.故推廣

②對(duì)一般情形，由引理5.2.6，A可通過第三32

定理5.2.6

A，B為m×n及n×p階矩陣，則秩(AB)≤秩A，秩(AB)≤秩B.特別當(dāng)A可逆時(shí)，秩(AB）=秩B.推論：

例5

A可逆，則存在n階可逆矩陣P，Q，使PAQ=I

證：A可逆，則定理5.2.6A，B為m×n及n×p階矩陣，33一、內(nèi)容分布

分塊矩陣的概念

分塊矩陣的運(yùn)算

特殊的分塊矩陣二、教學(xué)目的1掌握分塊矩陣的概念及分塊矩陣的運(yùn)算2掌握分塊準(zhǔn)對(duì)角,分塊三角陣,分塊次對(duì)角等特殊的分塊矩陣及相關(guān)公式三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

利用矩陣的分塊作乘法運(yùn)算及如何利用分塊矩陣解題

5.3分塊矩陣一、內(nèi)容分布5.3分塊矩陣34一、分塊矩陣的概念定義將矩陣用若干縱橫直線分成若干個(gè)小塊，每一小塊稱為矩陣的子塊(或子陣),以子塊為元素形成的矩陣稱為分塊矩陣。一、分塊矩陣的概念定義將矩陣35加法與數(shù)乘二.分塊矩陣的運(yùn)算加法與數(shù)乘二.分塊矩陣的運(yùn)算36乘法運(yùn)算符合乘法的要求乘法運(yùn)算符合乘法的要求37例1設(shè)求乘積AB.解:我們對(duì)A，B如下地分塊這里I是二階單位矩陣，O是二階零矩陣.例1設(shè)求乘積AB.解:我們對(duì)A，B如下地分塊這里I38.于是，我們有這里.于是，我們有這里39轉(zhuǎn)置三.特殊的分塊陣形如分塊矩陣叫做一個(gè)對(duì)角線分塊矩陣.也叫準(zhǔn)對(duì)角陣.準(zhǔn)對(duì)角陣.轉(zhuǎn)置三.特殊的分塊陣形如分塊矩陣叫做一個(gè)對(duì)角線分塊矩陣.40,則設(shè),則設(shè)41高等代數(shù)課件第五章42

分塊三角陣?yán)?設(shè)證明：D可逆，并求其逆．其中A,B分別為

k級(jí)和

r級(jí)可逆矩陣，C為證假設(shè)D可逆，設(shè)逆陣為于是即分塊三角陣?yán)?設(shè)證明：D可逆，并求其逆．其中43第五章矩陣5.1矩陣的運(yùn)算

5.2可逆矩陣矩陣乘積的行列式5.3矩陣的分塊

第五章矩陣5.1矩陣的運(yùn)算5.2可逆矩陣矩陣乘積445.1矩陣的運(yùn)算一、內(nèi)容分布5.1.1認(rèn)識(shí)矩陣5.1.2矩陣的運(yùn)算5.1.3矩陣的運(yùn)算性質(zhì)5.1.4方陣的多項(xiàng)式5.1.5矩陣的轉(zhuǎn)置

二、教學(xué)目的

1.掌握矩陣的加法、乘法以及數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算法則及其基本性質(zhì)，并能熟練地對(duì)矩陣進(jìn)行運(yùn)算。2.掌握轉(zhuǎn)置矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)3.掌握方陣的冪、方陣的多項(xiàng)式。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

矩陣的乘法運(yùn)算法則及其基本性質(zhì)，轉(zhuǎn)置矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)。

5.1矩陣的運(yùn)算一、內(nèi)容分布5.1.1認(rèn)識(shí)矩陣二、教學(xué)45一矩陣的定義稱為F上

矩陣,簡(jiǎn)寫:

矩陣的產(chǎn)生有豐富的背景:線形方程組的系數(shù)矩陣…..,矩陣的應(yīng)用非常廣泛.

設(shè)F是數(shù)域,用F的元素排成的m行n列的數(shù)表

一矩陣的定義稱為F上矩陣,簡(jiǎn)寫:矩陣的46

二矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算律

定義1(矩陣的數(shù)乘)給定數(shù)域F中的一個(gè)數(shù)k與矩陣A的乘積定義為

定義2（矩陣的加法）

給定兩個(gè)

矩陣

二矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算律定義1(矩陣的數(shù)乘)47A和B加法定義為:定義3（矩陣的乘法）給定一個(gè)

矩陣和一個(gè)

矩陣A和B加法定義為:定義3（矩陣的乘法）給定一個(gè)矩陣和一48A和B的乘法定義為注意:相加的兩個(gè)矩陣必須同型,結(jié)果也同型;相乘的兩個(gè)矩陣必須:第一個(gè)的列數(shù)等于第二個(gè)的行數(shù),試問:結(jié)果的形狀?A和B的乘法定義為注意:相加的兩個(gè)矩陣必須同型49

矩陣和定義在矩陣上的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律（其中A，B，C均為F上的矩陣，k，l為數(shù)域F中的數(shù)）(1)加法交換律

(2)加法結(jié)合律

(3)零矩陣

(4)負(fù)矩陣

(5)數(shù)乘結(jié)合律

(6)數(shù)乘分配律

(7)乘法結(jié)合律

(8)乘法分配律

矩陣和定義在矩陣上的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律（其中A，B50注意:矩陣的乘法不滿足交換律,

消去律:

也不滿足.

滿足:

的兩個(gè)矩陣稱為可交換的.注意:矩陣的乘法不滿足交換律,消去律:也不滿足.滿51高等代數(shù)課件第五章52三方陣及其多項(xiàng)式

單位矩陣

:主對(duì)角線上全是1,其余元素全是0的方陣稱為單位矩陣,記為或

單位矩陣也可以記為

.它有如下性質(zhì):

方陣A的方冪:

規(guī)定:

設(shè)多項(xiàng)式

,那么

在多項(xiàng)式的等式中,用A代x可以作出形式相同的矩陣等式.三方陣及其多項(xiàng)式單位矩陣:主對(duì)角線上全是53四矩陣的轉(zhuǎn)置

設(shè)把矩陣

的行與列互換之后，得到的矩陣稱為矩陣

矩陣,

記為

或轉(zhuǎn)置有下面的性質(zhì):(9)(10)(11)的轉(zhuǎn)置四矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)把矩陣的行與列互換之后，得到的矩陣稱為545.2可逆矩陣矩陣的乘積的行列式一、內(nèi)容分布

可逆矩陣的定義、性質(zhì)

初等矩陣的定義、性質(zhì)

矩陣可逆的判別、逆矩陣的求法

矩陣乘積的行列式二、教學(xué)目的

1掌握逆矩陣的概念及矩陣可逆的判別2掌握求逆矩陣的方法,尤其是能熟練利用矩陣的行初等變換求逆矩陣。3了解初等矩陣與初等變換的關(guān)系三、重點(diǎn)、難點(diǎn)逆矩陣的求法矩陣可逆的判別5.2可逆矩陣矩陣的乘積的行列式一、內(nèi)容分布55一可逆矩陣的定義及性質(zhì)

定義1A為F上n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=I稱A為可逆矩陣（非奇異矩陣），B稱為A的逆矩陣.例A與B互為逆矩陣.一可逆矩陣的定義及性質(zhì)定義1A為F上n階方陣56性質(zhì)①A可逆，則A的逆矩陣唯一。

證設(shè)B,C均為A的逆矩陣，則

AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=BAC=（BA）C=IC=C

證注意到即得.證注意到即得.④A可逆，則②A可逆，則可逆，且由

有.證③A，B可逆，則AB也可逆，且.性質(zhì)①A可逆，則A的逆矩陣唯一。證設(shè)B,C均為57

定義2由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩陣.n=4二矩陣可逆的判別定義2由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得的矩58

定理

對(duì)A作初等行變換相當(dāng)于用同類型的初等矩陣左乘A;對(duì)A作初等列變換相當(dāng)于用同類型的初等矩陣右乘A。如(1)交換A的i，j行相當(dāng)于用.如(2)把A的第i行乘以數(shù)k相當(dāng)于用.(3)把A的第j行乘以k后加到第i行相當(dāng)于用即.定理對(duì)A作初等行變換相當(dāng)于用同類型的初59

定理

初等矩陣可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣.且

引理5.2.1，則.（初等變換不改變可逆性）.

定理5.2.1任一m×n矩陣A總可以通過初等變換化為定理初等矩陣可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣60證由定理4.1.2，A可通過行及列變換化為對(duì)（*）作第三種列變換即可化為證由定理4.1.2，A可通過行及列變換化為對(duì)（*）作第三種61n階矩陣A可逆

證明：①A可逆,則可逆，無(wú)零行，即.反之，若A→I，由I可逆知A可逆.定理5.2.2--定理5.2.4:n階矩陣A可逆證明：①A可逆,則可62②A→I，即I→A即存在初等矩陣使③由①A→I，④②A→I，即I→A③由①A→I，④63三逆矩陣的求法①行初等變換法

A可逆，由，即存在初等矩陣，使即例1三逆矩陣的求法①行初等變換法A可逆，由64②公式法設(shè)令稱則由行列式的依行依列展開公式②公式法設(shè)令稱則由行列式的依行依列展開公式65，有，有66即若A可逆，則|A|≠0，從而即

即若A可逆，則|A|≠0，從而即67例2：求的逆.故解：例2：求的68例3：求矩陣的逆矩陣.解法一利用公式由并計(jì)算每個(gè)元素的代數(shù)余子式例3：求矩陣69所以所以70解法二行初等變換法.所以解法二行初等變換法.所以71四矩陣乘積的行列式

引理5.2.2：n階矩陣A總可以通過第三種行和列的初等變換化為對(duì)角矩陣證:①若A的第一行、第一列元素不全為零，則總可使A的左上角的元素不為零.則有四矩陣乘積的行列式引理5.2.2：n階矩陣A72②若A的第一行，第一列元素全為零，則已具有的形式.同理，可以把化為繼續(xù)作第三種初等變換，則可將A化為對(duì)角形矩陣，且②若A的第一行，第一列元素全為零，則已具有73定理5.2.5：設(shè)A，B為n階矩陣，則|AB|=|A||B|證①若A為對(duì)角矩陣定理5.2.5：設(shè)A，B為n階矩陣，則證①若A為對(duì)角矩陣74②對(duì)一般情形，由引理5.2.6，A可通過第三種變換化為對(duì)角矩陣，即存在初等矩陣使從而相當(dāng)于對(duì)作第三種行初等變換.故推廣

②對(duì)一般情形，由引理5