1-3試畫出圖示各結構中構件AB的受力圖1-4試畫出兩結構中構件ABCD的受力圖1-5試畫出圖a和b所示剛體系整體各個構件的受力圖1-5a1-5b解：桿AB,BC,CD為二力桿，受力方向分別沿著各桿端點連線的方向。解法1（解析法）假設各桿受壓，分別選取銷釘B和C為研究對象，受力如圖所示：yBFb

yBFb由共點力系平衡方程，對B點有：工F=0F—Fcos45o=0x2BC對C點有：工F=0F—Fcos30o=0xBC126解以上二個方程可得：F二F二1.63F1322解法2（幾何法）分別選取銷釘B和C為研究對象，根據匯交力系平衡條件，作用在B和C點上的力構成封F的力多邊形C點上的力構成封F的力多邊形BC對B點由幾何關系可知：F=Fcos45。2BC對C點由幾何關系可知：F=Fcos300BC1解以上兩式可得：F=1.63F122-3在圖示結構中，二曲桿重不計，曲桿AB上作用有主動力偶M。試求A和C點處的約束力。

解：BC為二力桿（受力如圖所示），故曲桿AB在B點處受到約束力的方向沿BC兩點連線的方向。曲桿AB受到主動力偶M的作用，A點和B點處的約束力必須構成一個力偶才能使曲桿AB保持平衡。AB受力如圖所示，由力偶系作用下剛體的平衡方程有（設力偶逆時針為正）：工M=0F-,10a-sin?+45。）-M二0F=0.354M1其中：tan1其中：tan9=3。對BC桿有：F=F=F=0.354MbaaA，C兩點約束力的方向如圖所示。2-4解：機構中AB2-4解：機構中AB桿為二力桿，點A,B出的約束力方向即可確定。由力偶系作用下剛體的平衡條件，點O,C處的約束力方向也可確定，各桿的受力如圖所示。對BC桿有：工M=0F?BC?sin300—M=0B2對AB桿有：F=FBA

對OA桿有：工M=0M-F-OA=01A求解以上三式可得：M=3N-m1F=F=F=求解以上三式可得：M=3N-m1ABOC2-6求最后簡化結果。解：2-6a2-6求最后簡化結果。解：2-6a坐標如圖所示，各力可表示為:3=-2心F先將力系向A點簡化得（紅色的）：F=F?+、.3/fMFakRA飛方向如左圖所示。由于Fr丄MA，可進—步簡化為—個不過A點的力（綠色的），主矢不變，其作用線距A點的距離d=a，位置如左圖所示42-6b同理如右圖所示，可將該力系簡化為一個不過A點的力（綠色的），主矢為：F=-2FiR其作用線距A點的距離d=xLa，位置如右圖所示。4簡化中心的選取不同，是否影響最后的簡化結果？是

2-13解：整個結構處于平衡狀態。選擇滑輪為研究對象，受力如圖，列平衡方程（坐標一般以水平向右為X軸正向，豎直向上為y軸正向，力偶以逆時針為正）:工F=0x工F=0yPsina+F=0BxF-P-Pcosa二0By選梁AB為研究對象，受力如圖，列平衡方程:工F=0x工F=0y工M=0AF-F=0AxBxF-F=0AyByM-F-1二0ABy求解以上五個方程，可得五個未知量F，F，F，F，M分別為：AxAyBxByAF=F=-Psina（與圖示方向相反）AxBxF二F二P（1+cosa）（與圖示方向相同）AyByM=P（1+cosa）1（逆時針方向）A18解：選AB解：選AB桿為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程:al工M=0N-一G-—cosa-F-1cosa二0Adcosa2工F=0Ncosa-G-F=0yD求解以上兩個方程即可求得兩個未知量N,a，其中：D「2(F+G)a二arccos[(2F+G)1未知量不一定是力。以下幾題可看一看！以下幾題可看一看！2-27解：選桿AB為研究對象，受力如下圖所示。列平衡方程（運用力對軸之矩！

工M=0p?_ctana-Fcos0-c一Fsin0-ctana=0y2BCBCF=60.6NBC1工M=0p._a-F-c-Fsino-a=0F=100N

工'2BBCB由工F=0和工F=由工F=0和工F=O可求出F,F。平衡方程工M=0可用來校核。yzAyAzx思考題：對該剛體獨立的平衡方程數目是幾個？F：BF：.y2-29解：桿1，2，3，4，5，6均為二力桿，受力方向沿兩端點連線方向，假設各桿均受壓。選板ABCD為研究對象，受力如圖所示，該力系為空間任意力系。采用六矩式平衡方程：工M=0DEF.cos450=0F=022工M=0AO一Fcos45。.a一Fcos45。cos45。?a=06◎F=-F（受拉）62工M=0BH◎一Fcos450?a一Fcos45。?a=0F=、‘F（受壓）4642sM=0ADF?a+Fcos450?a一Fsin450?a=0161+2F=；F（受壓）121工M=0F-a+F-a—Fsin45o?a=0F二—_F（受拉）TOC\o"1-5"\h\zCD1332工M=0F?a+F?a一Fcos45o?a=0F=0BC3545本題也可以采用空間任意力系標準式平衡方程，但求解代數方程組非常麻煩。類似本題的情況采用六矩式方程比較方便，適當的選擇六根軸保證一個方程求解一個未知量，避免求解聯立方程。2-31力偶矩M=1500N?cm工F工F=0x<工F=0y工M=0OF+pcos450—N=012F—psin45o+N=02D1(F+F)?—M=0TOC\o"1-5"\h\z122IF=fN補充方程：<1s1[F=fN2s2五個方程，五個未知量F,N,F,N,f，可得方程:1122s2M?f2—、、2p?D?f+2M=0SS解得f=0.223,f=4.491。當f=4.491時有：S1S2S2N=1p(1N=1S2\2(1+f2)S2即棒料左側脫離V型槽，與提議不符，故摩擦系數f=0.223。S

DF/TB2-33DF/TB2-33解：當a=45o時，取桿AB為研究對象，受力如圖所示列平衡方程：工F=0x<工F=0y工M=0F-Tsin0二0NF+Tcos0-p=0SabTcos0-ACsina-Tsin0-ACcosa-p-sina=02附加方程：F二fFSSN四個方程，四個未知量F，F,T,f，可求得f二0.646NSss2-35解：選棱柱體為研究對象，受力如圖所示。假設棱柱邊長為a,重為P,列平衡方程：55M=0AM=0B工F=0xTOC\o"1-5"\h\zaaF-a-Pcosa?_+Psina=0nb22j3aa<-F?a+Pcosa?_+Psina=0na22j3F+F-Psina二0AB如果棱柱不滑動，如果棱柱不滑動，則滿足補充方程｛fa_fs1piNABs2NB

時處于極限平衡狀態。解以上五個方程，可求解五個未知量F,F,F,F,a,其中：ANABNB(1)(2)tana(1)(2)當物體不翻倒時F\0，貝9：NBtana<600即斜面傾角必須同時滿足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡10解：假設桿AB,DE長為2a。取整體為研究對象，受力如右圖所示，列平衡方程：工M_0F?2a_0F_0CByBy取桿DE為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：工M_0F?a-F?a_0F_FTOC\o"1-5"\h\zHDyDy工M_0F?a—F?2a_0F_2FBDxDx工F=0y工M=0A工M=0B取桿AB為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程:F+F+F=0AyDyByF-a+F-2a=0DxBx—F-2a—F-a=0AxDxF=—F（與假設方向相反）AyF=—F（與假設方向相反）BxF=—F（與假設方向相反）AxxF=xF=_FdbxF=_F工M=0F-b—F-x=0CD取桿AB為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：工M=0F-b—F-x=0AB

桿AB為二力桿，假設其受壓。取桿AB和AD構成的組合體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：工M二0(F+F)-b+F-(匕-x)-F-b=0EBD22AC2解得F=F，命題得證。AC注意：銷釘A和C聯接三個物體。工M=0M(F)-M+M二0AAB即F必過A點，同理可得F必過B點。也就是F和F是大小相等，方向相反BAAB且共線的一對力，如圖所示取板AC為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程:工M=0Fsin45o-a一Fcos45o-b一M=0CAA遼M解得：F=—（方向如圖所示）aa一b3-20解：支撐桿1,2,3為二力桿，假設各桿均受壓。選梁BC為研究對象，受力如圖所示。其中均布載荷可以向梁的中點簡化為一個集中力，大小為2qa，作用在BC桿中點。列平衡方程：工F=0F-Fcos45o二0F=—+2qa（受壓）x13ia工F=0-F-Fsin45o二0F=-（+2qa）（受拉）y232a選梁AB和BC為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:工F=0F+Fcos45。二0F=-（M+2qa）（與假設方向相反）xAx3Axa工F二0F+F+Fsin45o一P一4qa=0F二P+4qayAy23Ay工M=0M+F-a一P-2a一4qa-2a+Fsin450-3a一M-0AA23M—4qa2+2Pa—M（逆時針）A3-21由題可知桿DG為二力桿，選GE為研究對象，作用于其上的力匯交于點G,受遼力如圖所示，畫出力的三角形，由幾何關系可得：F-F。e2取CEB為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:F-a+F-a一Fsin45°-a-0F二一一BxByEBx2

F代入公式(1)可得：F=-—Ax23-24解：取桿AB解：取桿AB為研究對象，設桿重為P,受力如圖所示。列平衡方程:3rTOC\o"1-5"\h\zZM二0N-.3r-P?—COS60。=0N=6.93(N)a121—=6(N)Ax—=12.5、(N)AyZ—=—=6(N)Ax—=12.5、(N)AyxAx1Z—=0—+Ncos600-P=0yAy1取圓柱C為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:Z—=0Ncos300-Tcos300=0T=6.93(N)x1注意：由于繩子也拴在銷釘上，因此以整體為研究對象求得的A處的約束力不是桿AB對銷釘的作用力。3-27解：取整體為研究對象，設桿長為L,重為P,受力如圖所示。列平衡方程：LPZM=0—?2Lsin0-2P--cos0=0—=—(1)An2n2tan0取桿BC為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：ZM=0—-Lsin0+P-Lcos0-—-Lcos0=0—=P(2)BN2sS補充方程：F<f-FssN將⑴式和⑵式代入有：tan將⑴式和⑵式代入有：tano<即o<1003-29()證明：（1）不計圓柱重量法1：取圓柱為研究對象，圓柱在C點和D點分別受到法向約束力和摩擦力的作用，分別以全約束力F,F來表示，如圖所示。如圓柱不被擠出而處于平衡狀態，RCRD則F,F等值，反向，共線。由幾何關系可知，F,F與接觸點C,D處法RCRDRCRD線方向的夾角都是—，因此只要接觸面的摩擦角大于—，不論F多大，圓柱不22會擠出,而處于自鎖狀態。

法2（解析法）：首先取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：工M=0F-a—F-1=0F=_LfAndnda再取桿AB為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：工M=0F-a—F-1=0F=If=FTOC\o"1-5"\h\zANCNCaND取圓柱為研究對象，受力如圖所示。假設圓柱半徑為R,列平衡方程:工M=0O工F=0xF-R工M=0O工F=0xSCSDSCSDFsina—Fcosa—F=0NCSCSDsinasinaF=F=F=FSCSDNCND由補充方程：F<f-F,F<f-F，可得如果:SCSCNCSDSDND「sinaapaf>=tan,f>tan_SC1+cosa2則不論F多大，圓柱都不被擠出，而處于自鎖狀態。證明：（2）圓柱重量P時取圓柱為研究對象，此時作用在圓柱上的力有重力P,C點和D點處的全約束力(3)(3)(1)aLF=tan(1)aLF=tan?—F

sc2aFRCFL(2)aa-cos_F,F。如果圓柱保持平衡，則三力必匯交于D點（如圖所示）。全約束力FRCRDRCa與C點處法線方向的夾角仍為―，因此如果圓柱自鎖在C點必須滿足：2「sinaaf>=tan_SC1+cosa2該結果與不計圓柱重量時相同。只滿足⑴式時C點無相對滑動，但在D點有可能滑動（圓柱作純滾動）。再選桿AB為研究對象，對A點取矩可得F=Lf,nca由幾何關系可得：Frda圓柱保持平衡，則作用在其上的三個力構成封閉得力三角形，如圖所示。由幾何關系可知：PF=-?RCsin[180o-Frda圓柱保持平衡，則作用在其上的三個力構成封閉得力三角形，如圖所示。由幾何關系可知：PF=-?RCsin[180o-申-(180o-》)]sin少將（2）式代入可得：tan申二FLsina(Pa+Fl)(1+cosa)因此如果圓柱自鎖在D點必須滿足f>tanT二Fsna—sd(Pa+Fl)(1+cosa)法1（幾何法）：即當同時滿足(1)式和(3)式時，圓柱自鎖，命題得證法2(法2(解析法)：取圓柱為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：工F=0Fsina-Fcosa-F二0xNCSCSD工F=0F-P-Fsina-Fcosa二0yNDSCNCalal解得：F=F=tan?—F,SCSD2aF=P+(cosa+sina-tan_)NDa2代入補充方程：F<代入補充方程：F<f-F,SDSDND可得如果圓柱自鎖在D點必須滿足f>tanT=卩!匕0—sd(Pa+Fl)(1+cosa)(3)即當同時滿足(1)式和(3)式時，圓柱自鎖，命題得證3-30解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：工F=0rF-F=0工Fx=0[F+F-F-2P=0yNDNE

由題可知，桿AC為二力桿。作用在桿BC上的力有主動力F，以及B和C處的約束力F和F，由三力平衡匯交，可確定約束力F和F的方向如圖所示,BACBACC90A90其中：C90A90其中：tan°=3，桿AC受壓。取輪A為研究對象，受力如圖所示，設F的作用線與水平面交于f點，列平衡AC方程：工M=0F?R-M=0ASDD工M=0(F-P)?R-M=0FNDD取輪B為研究對象，受力如圖所示，設F的作用線與水平面交于G點，列平衡B方程：工M=0M-F-R=0BESE工M=0M+(P-F)-Rtano=0GENE解以上六個方程，可得：

13F=P+_F,F=P+_F,ND4NE4F=F=1F,M=M=1FRSDSE4DE4若結構保持平衡，則必須同時滿足：M<5F,M<5F,F<fF,F<fFDNDENESDsNDSEsNE即：F<min{45P45p4fP4fP}-JLP，-{R-5P，R-35P，}R-5ss因此平衡時F的最大值F=0.36，此時：maxF=F=0.091(N),M=M=0.91(N-cm)SDSEDE3-35解：由圖可見桿桁架結構中桿CF，FG，EH為零力桿。用剖面SS將該結構分為兩部分，取上面部分為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：工M=0Fcos。-6+F-4一F-3二0F=-14.58(kN)(受拉)C1HG1工F=0—Fsin0—F—F=0F=-31.3(受拉)x13H3工F=0F-Fcoso-F=0F=18.3(受壓)y21G23-38

解：假設各桿均受壓。取三角形BCG為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:工F=0F-F二0F=F（受壓）xCDCDDGFcgAS取節點CDGFcgAS取節點C為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:工F=0工F=0<x工F=0yF=2.5FBFcos45o-F-Fcos0=0

<BCCDCGFsin450+Fsin0=0BCCG1i2其中：啞=齊’解以上兩個方程可得：Fbc=0.586F（受壓）3-40解：取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：F-2a-F-2a-F-3a=0B用截面S-S將桁架結構分為兩部分，假設各桿件受拉，取右邊部分為研究對象受力如圖所示。列平衡方程：7工M=0F-a+F-a-F-3a二0F=_F（受拉）CB226工F=02F一F一F—0F二?F（受拉）X12i64-1解：1.選定由桿OA，O1C，DE組成的系統為研究對象，該系統具有理想約束。作用在系統上的主動力為F，F。M2?該系統的位置可通過桿OA與水平方向的夾角e完全確定，有一個自由度。選參數e為廣義坐標3?在圖示位置，不破壞約束的前提下，假定桿OA有一個微小的轉角50，相應的各點的虛位移如下：

5r=OA-50,5r=OB-80,5r=OC-50TOC\o"1-5"\h\zABC15r=OD-505r=5r5r=5rJJD1BCDE代入可得：5r=305rAE4?由虛位移原理工5W(F)=0有：iF?5r-F?5r=(30F一F)-5r=0AMEME對任意5r主0有：F=30F，物體所受的擠壓力的方向豎直向下EM4-4解：4a1?選桿AB為研究對象，該系統具有理想約束。設桿重為P,作用在桿上的主動力為重力2?該系統的位置可通過桿AB與z軸的夾角e完全確定，有一個自由度。選參數e為廣義坐標由幾何關系可知：h為廣義坐標由幾何關系可知：h=atan0桿的質心坐標可表示為：atan0latan0--cos23?在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿AB逆時針旋轉一個微小的角度oe,則質心c的虛位移:5z=-°八50+Lsin0-50csin2024?由虛位移原理工5W(F)=0有：i

—P-5z=—P-—P-5z=—P-(——C?sin+2血0)50=0al+sinsin2022ai即桿AB平衡時：0=arcsin()3O解：4b1.選桿AB為研究對象，該系統具有理想約束。設桿重為P,作用在桿上的主動力O解：4b1.選桿AB為研究對象，該系統具有理想約束。設桿重為P,作用在桿上的主動力為重力。2?該系統的位置可通過桿ab與z軸的夾角e完全確定，有一個自由度。選參數e為廣義坐標。由幾何關系可知：sin為廣義坐標。由幾何關系可知：sin0桿的質心坐標可表示為：-cos0R-cos0z=ycsin03?在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿AB順時針旋轉一個微小的角度oe,則質心c的虛位移:5廠5廠-爲cos0-50+:sin0-504?由虛位移原理工5W(F)=°有：i對任意50-P-5z對任意50-P-5zC豐°有：=-P?(-Rcossin200+2血0)50=°sin20cos0+2sin0=即平衡時0即平衡時0角滿足：2Rcos0-lsin30=°。4-5解：4-5解：1?選整個系統為研究對象，此系統包含彈簧。設彈簧力F，F，且F=F,1212將彈簧力視為主動力。此時作用在系統上的主動力有F，F，以及重力P。122.該系統只有一個自由度，選定0為廣義坐標。由幾何關系可知：z=z=a-sin0AB3?在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定有一個微小的虛位移de，貝g質心的虛位移為：5z=5z=5z=acos0-50CAB0彈簧的長度l=2asin―,在微小虛位移de下：2==081=aC0ST廐4?由虛位移原理工8W(F)=0有：iP-8z-F-81=(Pa-cos0-Fa-cosC222a其中F=k(2asin-)，代入上式整理可得:222a[2卩C0S0-ka(2sin0-C0S2)]280=0由于a豐0，對任意80豐0可得平衡時彈簧剛度系數為：了2Pcos0k=一a(2sin0-cos)26解：解除A端的約束，代之以F,F,M，并將其視為主動力，此外系統AxAyA還受到主動力F,F,F,M的作用。系統有三個自由度，選定A點的位移123x,y和梁ac的轉角w為廣義坐標。AA1?在不破壞約束的前提下給定一組虛位移8x主0,8y=0,8w=0，如AA圖所示。由虛位移原理工8W(F)=0有：iF-8x=0AxA對任意8x主0可得：F=0AAx2?在不破壞約束的前提下給定一組虛位移8x=0,8y主0,8W=0，如AA(2)(2)(1)由幾何關系可得各點的虛位移如下：下圖所示。由虛位移原理工5W(F)=0有：i—F?(1)由幾何關系可得各點的虛位移如下：下圖所示。由虛位移原理工5W(F)=0有：i—F?5y+F?5y+F?5y—F?5y+M?50=0AyA1122335y=5y二5yC3A5035yc代入(1)式：(-FAy3M)?5y3A主0，如3?在不破壞約束的前提下給定一組虛位移5x=0,5y=0,5申AA對任意5XA主0可得：FAy=4(kN)，方向如圖所示。5y二25甲150=5申上圖所示。由虛位移原理工5W(F)=0有：i一M?5申+F-5y+F-5y一F-5y+M-50二0A112233有幾何關系可得各點的虛位移如下：5y=5y二35q3C5y=50=5q2==0代入(2)式：(-M+2F+F-3F+M)仙二0A123對任意岡豐0可得：M=7(kN-m)，逆時針方向A4-7解：將均布載荷簡化為作用在CD中點的集中載荷F，大小為6q31.求支座1.求支座B處的約束力解除B點處的約束，代之以力F，并將其視為主動力，系統還受到主動力BF,F,F,M的作用，如圖所示。在不破壞約束的前提下，桿AC不動，梁123CDB只能繞C點轉動。系統有一個自由度，選轉角。為廣義坐標。給定虛位移50，由虛位移原理工5w(F)=0有：i1500-F-5y=0(1)3322F-5rcos45o+M-1500-F-5y=0(1)3322BB各點的虛位移如下：5y=9-5025y=3-5y=9-5025y=3-503B代入(1)式整理可得：93(6F+M—F—3F)-50

B223AyAy對任意50豐0可得：F—18.6(kN)，方向如圖所示。B2.求固定端A處的約束力解除A端的約束，代之以F,F,M，并將其視為主動力，系統還受到AxAyA主動力F,F,F,M的作用。系統有三個自由度，選定A點的位移x,y和123AA梁AC的轉角。為廣義坐標。2a.求FAx在不破壞約束的前提下給定一組虛位移5x豐0,5y=0,50=0，此AA時整個結構平移，如上圖所示。由虛位移原理工5W(F)=0有：iF-5x+F-5x+F-5xcos120o=0⑵AxA1122各點的虛位移如下：5x=5x=5x12A代入(2)式整理可得：(F+F-0.5F)-5x=0Ax12A對任意5x豐0可得：F=2(kN)，方向如圖所示。AAx2b.求F

在不破壞約束的前提下給定一組虛位移5x=0,5y豐0,50=0,AA此時梁AC向上平移，梁CDB繞D點轉動，如上圖所示。由虛位移原理(3)F?5y-F?5y+F?5ycos3Oo-M-50=0(3)32AyA32各點的虛位移如下：5y=5y5y=5y2325yc25『A5065『A代入(3)式整理可得：(F-1FAy23(F-1FAy23-6M)-5y6a=0對任意5yA豐0可得:FAy=3.8(kN)，方向如圖所示2c.求MA在不破壞約束的前提下給定一組虛位移5X=0,5y=0,500,此AA時梁AC繞A點轉動，梁CDB平移，如上圖所示。由虛位移原理工5W(F)=0i有：-M-50+F-5x+F-5xcos120o=0⑷A1122各點的虛位移如下：5x=3505x=5x=65012C代入(4)式整理可得：(-M+3F-3F)-50=0A12對任意50豐0可得：M=一24(kN-m)，順時針方向。A4-8解：假設各桿受拉，桿長均為a1．求桿1受力去掉桿1，代之以力P，系統有一個自由度，選AK與水平方向的夾角0為1廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，此時三角形ADK形狀不變，繞A點轉動，因此有5r丄AD,5r丄AK，且：DK5r=/