第1頁§3二維連續型隨機變量及其概率密度一、二維連續型隨機變量（）聯合分布則稱為二維連續型隨機變量，稱為二維連續型隨機變量 聯合概率密度或概率密度．與一維隨機變量類似，對于二維隨機變量,若存在定義域為整個平面上非負函數,使分布函數可表為： （3.1）第2頁按定義，概率密度含有以下性質

(3)設是平面上區域，點落在內概率為

(4)若在點連續，則有(1)(2)第3頁由性質（4）和（1.1），如圖3-3，在連續點處有第4頁這表示若在點連續，則當很小時,即落在小長方形內概率近似地等于 幾何上表示空間一個曲面．由性質（2）知，介于它和平面空間區域體積為1．由性質（3），值等于以為底，以

為頂面曲頂柱體體積．（如圖3-4）第5頁例1若二維隨機變量含有概率密度

其中為區域面積，則稱服從區域上均勻分布．尤其地，設在以圓點為中心、為半徑圓域上服從均勻分布，求二維聯合概率密度.解：第6頁解當時,當時,其中為常數．由密度函數性質得所以由此得二維聯合概率密度為第7頁例2設二維隨機變量含有概率密度

(1)求分布函數(2)求概率.解：第8頁解(2)將看作平面上隨機點坐標．即有,其中為平面上直線

及其下方部分，如圖3-5．于是（1）即有第9頁例3二維隨機變量聯合密度為

求(1)系數;

(2)隨機變量落在圓

內概率解：第10頁解

（1）由得

用極坐標有：

（2）第11頁二、

二維連續型隨機變量邊緣分布與二維離散型隨機變量類似，在等式中，令得連續型隨機變量邊緣分布函數由此得隨機變量邊緣概率密度函數

(3.2)同理可得隨機變量邊緣分布函數 （3.3）邊緣概率密度函數 （3.4）第12頁例4設二維隨機變量在以圓點為中心、為半徑圓域上服從均勻分布，求及邊緣概率密度.解：第13頁在上面例1中，我們已經求出二維聯合概率密度所以，按公式（3.2）得邊緣概率密度為同理可得邊緣概率密度為這里值得注意是，二維隨機變量在圓域上服從均勻分布，不過它們邊緣分布都不是均勻分布.第14頁例5設二維隨機變量概率密度函數為

求邊緣概率密度.解：第15頁解對任意當或時,對任意可知邊緣概率密度為：第16頁其中，其中都是常數，且.我們稱為服從參數為二維正態分布（這五個參數意義將在下一章說明），記為試求二維正態隨機變量邊緣概率密度.例6設二維隨機變量聯合概率密度為解：第17頁解

于是：因為第18頁（令

對微分,看作常數,從而，）同理第19頁我們看到二維正態分布兩個邊緣分布都是一維正態分布，而且都不依賴于參數，亦即對于給定不一樣對應不一樣二維正態分布，它們邊緣分布卻都是一樣.這一事實表明，僅由關于和關于邊緣分布，普通來說是不能確定隨機變量和聯合分布.第20頁三、二維連續型隨機變量條件分布設為二維連續型隨機變量概率密度為怎樣要求這分布在條件下概率分布呢？因為這時服從連續型分布，所以不能直接利用乘法公式來定義條件分布.

對二維離散型隨機變量,設,在隨機變量取得可能值條件下，隨機變量取它任一可能值條件概率由上述隨機事件條件概率公式可得：第21頁這就啟發我們，對于二維連續型分布，要求在條件下條件分布為以下連續型分布：定義設二維連續型隨機變量概率密度為關于邊緣密度為.若對于固定，則稱為在條件下條件概率密度，記為

(3.5)稱

為在條件下條件分布函數，第22頁記為或即顯然，條件概率密度滿足條件：（1）（2）第23頁類似地，要求在條件下條件分布為一個連續型分布，它概率密度函數和分布函數分別為

這里為關于邊緣密度.(3.6)第24頁例7隨機變量在矩形域服從均勻分布，求及條件概率密度.解：第25頁解按題意含有聯合概率密度對于任意給定值，在條件下，

條件概率密度為對于任意給定值，在條件下，

條件概率密度為即均服從均勻分布.第26頁例8設二維隨機變量在以圓點為中心、為半徑圓域上服從均勻分布，分別求關于及條件概率密度.解：第27頁解我們有當時：，

當時：.

其中c為常數.

得邊緣概率密度為由前面例5得二維聯合概率密度為第28頁同理得邊緣概率密度為所以按式（3.5）及（3.6）即得條件概率密度及條件概率密度由此可見，在條件下條件概率密度或者在條件下條件概率密度都是均勻分布.第29頁四、二維連續型隨機變量相互獨立性定義：設及，分別是二維隨機變量聯合分布函數和邊緣分布函數.若對全部有即

（3.7）則稱隨機變量是相互獨立.上面（3.7）式兩邊分別對和各微分一次，即得（3.8）從而，隨機變量是相互獨立充分必要條件為（3.8）幾乎處處成立.此處“幾乎處處成立”含義是：在平面上除去“面積”為零集合外處處成立.第30頁例9設二維隨機變量在上服從均勻分布，問與是否相互獨立？例10設二維隨機變量含有概率密度

問隨機變量和是否相互獨立？解：解：第31頁解易求得含有概率密度：

又得邊緣概率密度為實際上,如服從區域上均勻分布，則只有當為矩形區域： 時，與分別服從上均勻分布，且與獨立，反之亦然.得邊緣概率密度為可見,故隨機變量和不是獨立.第32頁解故有，因而隨機變量和是相互獨立.第33頁例11二維正態隨機變量概率密度為

求證相互獨立等價于.解：第34頁證僅證實二維正態分布特殊情形，它概率密度為),.(121),()2()1(212222+￥<<-￥+￥<<-￥-=+---yxeyxfyxyxrrrp設.這時概率密度為：第35頁作代換便得關于邊緣概率密度為即分布為同理可得關于邊緣概率密度為即分布也為第36頁所以，假如，則對于全部有，因而隨機變量和是相互獨立.反之，假如隨機變量和相互獨立，因為 都是連續函數，故對于全部有令，這等式化成，從而.總而言之，得到以下結論：反之，即第37頁二維正態隨機變量，和相互獨立充分必要條件為.我們指出，假如隨機變量相互獨立，則任一變量條件概率密度等于其邊緣概率密度.實際上，這時我們有第38頁以上所述關于二維隨機變量一些概念，輕易推廣到維隨機變量情況.上面說過，對個實數,元函數稱為維隨機變量聯合分布函數或簡稱分布函數，它也含有類似于二維隨機變量分布函數性質.第39頁若存在非負函數使對于任意實數有則稱為概率密度函數.設分布函數為已知，則

維邊緣分布函數就隨之確定.第40頁比如關于、關于邊緣分布函數分別為第41頁又若為概率密度函數.則