2021廣東省廣州市天河區高考數學一模試卷(理科)2021廣東省廣州市天河區高考數學一模試卷(理科)2021廣東省廣州市天河區高考數學一模試卷(理科)2021年廣東省廣州市天河區高考數學一模試卷〔理科〕一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，總分值60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項切合題目要求的．1．〔5分〕會合A{x|x2x60}，會合B{x|x1}，那么(eRA)B()A．[3，)B．(1，3]C．(1,3)D．(3,)2．〔5分〕設復數z知足(z2i)i34i，那么復數z在復平面內對應的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．〔5分〕設等差數列{an}的前n項和為Sn，假定a2a815a5，那么S9等于()A．18B．36C．45D．604．〔5分〕m，n是兩條不一樣的直線，，，是三個不一樣的平面，那么以下命題正確的是()A．假定m//，n//，那么m//nB．假定，，那么//C．假定m//，n//，且m，n，那么//D．假定m，n，且，那么mn5．〔5分〕(x22)(121)5的睜開式的常數項是()xA．3B．2C．2D．31，x21，x3知足ex36．〔5分〕x11ne2lnx3，那么以下各選項正確的選項是()2A．x1x3x2B．x1x2x3C．x2x1x3D．x3x1x27．〔5分〕中國古代十進制的算籌計數法，在數學史上是一個偉大的創建，算籌其實是-1-一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示數1~9的一種方法．比如：3可表示為“〞，26可表示為“〞．現有6根算籌，據此表示方法，假定算籌不可以節余，那么能夠用1~9這9數字表示兩位數的個數為()A．13B．14C．15D．168．〔5分〕在矩形ABCD中，AB3，AD4，AC與BD訂交于點O，過點A作AEBD，垂足為E，那么AEEC()A．72B．12C．12D．1445255259．〔5分〕函數f(x)(21)sinx圖象的大概形狀是()ex1A．B．C．D．10．〔5分〕2位男生和3位女生共5位同學站成一排，假定3位女生中有且只有兩位女生相鄰，那么不一樣排法的種數是()-2-A．36B．24C．72D．14411．〔5分〕函數f(x)sin(2x)，假定方程f(x)3的解x1，x2(0x1x2)，56sin(xx)()12A．3B．42D．355C．3312．〔5分〕函數f(x)(k4)lnx4x2，k[4，)，曲yf(x)上存在兩kx點M(x1，y1)，N(x2，y2)，使曲yf(x)在M，N兩點的切相互平行，x1x2的取范()A．(8,)B．(16,)C．[8,)D．[16,)5555二、填空：本大共4小，每小5分，分20分．13．〔5分〕數列{an}足a11，an1a1an1(nN*,n?2)，當n?1，an．14．〔5分〕當x，函數f(x)sinx3cosx獲得最大，tan(4)．15．〔5分〕函數f(x)x3ax2bxa2在x1有極小10，ab．16．〔5分〕在三棱SABC中，SBSCABBCAC2，面SBC與底面ABC垂直，三棱SABC外接球的表面是．三、解答：共70分。解答寫出文字明、明程或演算步。第17～21必考，每個學生都必作答。第22、23考，考生依據要求作答。〔一〕必考：共60分。17．〔12分〕在角ABC中，角A，B，C的分是a，b，c，且3cos2Asin(A)1．02〔1〕求角A的大小；-3-2〕假定ABC的面積S33，b3．求sinC的值．18．〔12分〕在等比數列{an}中，公比q(0,1)，且知足a42，a322a2a6a3a725．〔1〕求數列{an}的通項公式；〔2〕設bnS1S2S3Sn取最大值時，求nlog2an，數列{bn}的前n項和為Sn，當23n1的值．19．〔12分〕如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為43的菱形，BCD60，3AC與BD交于點O，平面FBC平面ABCD，EF//AB，FBFC，EF23．31〕求證：OE平面ABCD；2〕假定FBC為等邊三角形，點Q為AE的中點，求二面角QBCA的余弦值．-4-20．〔12分〕某種規格的矩形瓷磚(600mm600mm)依據長久檢測結果，各廠生產的每片瓷磚質量x(kg)都聽從正態散布N(,2)，并把質量在(u3,u3)以外的瓷磚作為廢品直接回爐辦理，剩下的稱為正品．〔Ⅰ〕從甲陶瓷廠生產的該規格瓷磚中抽取10片進行檢查，求起碼有1片是廢品的概率；〔Ⅱ〕假定規定該規格的每片正品瓷磚的“尺寸偏差〞計算方式為：設矩形瓷磚的長與寬分別為a(mm)、b(mm)，那么“尺寸偏差〞(mm)為|a600||b600|，按行業生產標準，此中“優等〞、“一級〞、“合格〞瓷磚的“尺寸偏差〞范圍分別是[0，0.2]、[0.2，0.5]、[0.5，1.0]〔正品瓷磚中沒有“尺寸偏差〞大于1.0mm的瓷磚〕，每片價錢分別為元、6.5元、5.0元．現分別從甲、乙兩廠生產的該規格的正品瓷磚中隨機抽取100片瓷磚，相應的“尺寸偏差〞構成的樣本數據以下：尺寸偏差0頻數103030510510〔甲廠瓷磚的“尺寸偏差〞頻數表〕用這個樣本的頻次散布預計整體散布，將頻次視為概率．〔Ⅰ〕記甲廠該種規格的2片正品瓷磚賣出的錢數為〔元)，求的散布列及數學希望E()．〔Ⅱ〕由如圖可知，乙廠生產的該規格的正品瓷磚只有“優等〞、

“一級〞兩種，求

5片該規格的正品瓷磚賣出的錢數許多于36元的概率．附：假定隨機變量Z聽從正態散布N(,2)，那么p(3Z3)0.99；7100.9743，40.4096，850.32768．21．〔12分〕函數f(x)lnxaR)．x1a(ax〔1〕求函數f(x)的單一區間；〔2〕假定存在x1,使fxx1x成立，求整數a的最小值．x〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，那么按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數方程]22．〔10分〕在直角坐標系xcos3sin為參數〕，xOy中，曲線C的參數方程為sin(y3cos坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取同樣長度單位成立極坐標系，直線l的極坐標方程為cos()2．6〔1〕求曲線C和直線l的直角坐標方程；〔2〕直線l與y軸的交點為P，經過點P的動直線m與曲線C交于A、B兩點，證明：|PA||PB|為定值．-6-[選修4-5：不等式選講]〔10分〕23．函數f(x)|x1||2xm|(mR)．〔1〕假定m2時，解不等式f(x),3；〔2〕假定對于x的不等式f(x),|2x3|在x[0，1]上有解，務實數m的取值范圍．-7-2021年廣東省廣州市天河區高考數學一模試卷〔理科〕參照答案與試題分析一、：本大共12小，每小5分，分60分，在每小出的四此中，只有一是切合目要求的．1．〔5分〕會合A{x|x2x60}，會合B{x|x1}，(eRA)B()A．[3，)B．(1，3]C．(1,3)D．(3,)【解答】解：A{x|2x3}，eRA{x|x,2或x?3}，(eRA)B{x|x?3}[3，)．故：A．2．〔5分〕復數z足(z2i)i34i，復數z在復平面內的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：復數zabi，(z2i)iai(b2)34ib23，a4；a4，b5；復數z45i，z45i，復數z在復平面內的點位于第二象限．故：B．3．〔5分〕等差數列{an}的前n和Sn，假定a2a815a5，S9等于()A．18B．36C．45D．60【解答】解：a2a815a5，-8-a55，S99．2a5452應選：C．4．〔5分〕m，n是兩條不一樣的直線，，，是三個不一樣的平面，那么以下命題正確的是()A．假定m//，n//，那么m//nB．假定，，那么//C．假定m//，n//，且m，n，那么//D．假定m，n，且，那么mn【解答】解：由m，n是兩條不一樣的直線，，，是三個不一樣的平面，知：在A中，假定m//，n//，那么m與n訂交、平行或異面，故A錯誤；在B中，假定，，那么與訂交或平行，故B錯誤；在C中，假定m//，n//，且m，n，那么與訂交或平行，故C錯誤；在D中，假定m，n，且，那么線面垂直、面面垂直的性質定理得mn，故D正確．應選：D．5．〔5分〕(x22)(121)5的睜開式的常數項是()xA．3B．2C．2D．3【解答】解：第一個因式取x2，第二個因式取12，可得1C54(1)45；x第一個因式取2，第二個因式取(1)5，可得2(1)52-9-(x22)(11)5的睜開式的常數項是5(2)3x2應選：D．1，x21知足ex36．〔5分〕x11ne2，x3lnx3，那么以下各選項正確的選項是()2A．x1x3x2B．x1x2x3C．x2x1x3D．x3x1x2【解答】解：依題意，由于ylnx為(0,)上的增函數，因此10；x11nln12ex為R上的增函數，且ex1e0應為y0，因此0x2e2，1；x3知足ex3lnx3，因此x30，因此ex30，因此lnx30ln1，又由于ylnx為(0,)的增函數，因此x31，綜上：x1x2x3．應選：B．7．〔5分〕中國古代十進制的算籌計數法，在數學史上是一個偉大的創建，算籌其實是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示數1~9的一種方法．比如：3可表示為“〞，26可表示為“〞．現有6根算籌，據此表示方法，假定算籌不可以節余，那么能夠用1~9這9數字表示兩位數的個數為()-10-A．13B．14C．15D．16【解答】解：依據題意，現有6根算籌，能夠表示的數字組合為1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；數字組合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每組能夠表示2個兩位數，那么能夠表示2714個兩位數；數字組合3、3，7、7，每組能夠表示2個兩位數，那么能夠表示224個兩位數；那么一共能夠表示12416個兩位數；應選：D．8．〔5分〕在矩形ABCD中，AB3，AD4，AC與BD訂交于點O，過點A作AEBD，垂足為E，那么AEEC()A．72B．12C．12D．144525525【解答】解：成立平面直角坐標系，以下列圖；矩形ABCD中，AB3，AD4，A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,3)；3直線BD的方程為yx；4-11-由AEBD，那么直線AE的方程為y34x，即y4x3；33y3x36x25，由4，解得y43y27x253E(36，27)2525因此AE(36，48)，EC(64，27)，25252525因此AEEC3664(48)(27)144．2525252525應選：D．9．〔5分〕函數f(x)(21)sinx圖象的大概形狀是()ex1A．B．C．D．21ex【解答】解：f(x)(x1)sinxexsinx，1e11exex11ex那么f(x)exsin(x)x(sinx)1xsinxf(x)，1e1e那么f(x)是偶函數，那么圖象對于y軸對稱，清除B，D，當x1時，f〔1〕1esin10，清除A，1e應選：C．10．〔5分〕2位男生和3位女生共5位同學站成一排，假定3位女生中有且只有兩位女生相-12-鄰，那么不一樣排法的種數是()A．36B．24C．72D．144【解答】解：依據題意，把3位女生的兩位捆綁在一同看做一個復合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全擺列后形成的3個空中的2個空中，22272種，故有A3A2A3應選：C．11．〔5分〕函數f(x)sin(2x6)，假定方程f(x)3的解為x1，x2(0x1x2)，5那么sin(x1x2)()A．3B．4C．2D．35533【解答】解：由于0x，2x(,116)，66又由于方程f(x)3的解為x1，x2(0x1x2)，5x1x2，x22x1，233sin(x1x2)sin(2x12)cos(2x1)，36由于x1x2,x22x1，0x1，332x1(,2)，66由f(x)sin(2x)3，得cos(2x)4，1165165sin(x1x2)4，5應選：B．-13-12．〔5分〕函數f(x)(k4)lnx4x2，k[4，)，曲yf(x)上存在兩kx點M(x1，y1)，N(x2，y2)，使曲yf(x)在M，N兩點的切相互平行，x1x2的取范()A．(8,)B．(16,)C．[8,)D．[16,)5555【解答】解：函數f(x)(k4)lnx4x2，數f(x)(k4)141．kxkxx2由意可得f(x1)f(x2)(x1，x20，且x1x2)．k44k44k1k1，即有x1x12x2x22化4(x1x2)(k4)x1x2，k而x1x2(x1x2)2，24(x1x2)(k4)(x1x2)2，k2化x1x216k[4，)都成立，k4k令g(k)k4，k[4，)，kg(k)140，k[4，)恒成立，k2即g(k)在[4，)增，g(k)?g〔4〕5，16164,5，kkx1x216，即x1x2的取范是(16，)．55-14-故：B．二、填空：本大共4小，每小5分，分20分．13．〔5分〕數列{an}足a11，an1a1an1(nN*,n?2)，當n?1，an2n1．【解答】解：數列{an}足a11，an1a1an1(nN*，n?2)，a1120，a2221，a3422，a4823，由此可適當n?1，an2n1．故答案：2n1．14．〔5分〕當x，函數f(x)sinx3cosx獲得最大，tan()23．4【解答】解：()sinx3cosx2sin(x)；fx3當x，函數f(x)獲得最大322k,kz；62k，kz；-15-31tan()tan(2k)tan(4)323．4646313故答案為：23．15．〔5分〕函數f(x)x3ax2bxa2在x1處有極小值10，那么ab15．【解答】解：f(x)3x22axb，函數f(x)x3ax2bxa2在x1處有極小值10，f〔1〕0，f〔1〕10，32ab0，1aba210，解得a4，b11或a3，b3，當a4，b11時，f(x)3x28x11(3x1)(x1)，此時x1是極小值點；當a3，b3時，f(x)3x26x33(x1)2，此時x1不是極小值點．a4，b11，b15．故答案：15．16．〔5分〕在三棱錐SABC中，SBSCABBCAC2，側面SBC與底面ABC垂-16-直，那么三棱錐SABC外接球的表面積是13．3【解答】解：以下列圖，取BC的中點D，連結SD，AD．設G為ABC的中心，O為三棱錐SABC外接球的球心．連結OG，OG，OS．取SD的中點E，連結OE．那么OD為棱錐SABC外接球的半徑．OEDG為矩形．ODDG2DE2(13)2(13)239．326三棱錐SABC外接球的表面積439213()．63故答案為：13．3三、解答題：共70分。解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題學生都一定作答。第22、23題為選考題，考生依據要求作答。〔一〕必考題：共60分。17．〔12分〕在銳角ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，且3．0cos2Asin(A)121〕求角A的大小；2〕假定ABC的面積S33，b3．求sinC的值．-17-【解答】解：〔1〕cos2Asin(3A)10．2cos2AcosA10，可得：2cos2AcosA0，解得：cosA1，或cosA0，2ABC為銳角三角形，cosA1，2可得：A．3〔2〕SABC11333，可得：bc12，bcsinAbc222又b3，可得：c4，在ABC中，由余弦定理可知，a2b2c22bccosA1692341251213，2a13，accsinA43239ABC中，由正弦定理可知：2在，可得：sinC．sinAa1313sinC18．〔12分〕在等比數列{an}中，公比q(0,1)，且知足a42，a322a2a6a3a725．〔1〕求數列{an}的通項公式；〔2〕設bnlog2an，數列{bn}的前n項和為Sn，當S1S2S3Sn取最大值時，求n123n的值．【解答】解：〔1〕a322a2a6a3a725，可得a322a3a5a52(a3a5)225，由4，即aq3，①，由0q1，可得1，n，00a21aa-18-可得a3a55245，②，即a1qa1q由①②解得q1舍去〕，a116，(22那么a16(1)n125n；n2〔2〕bnlog2anlog225n5n，可得Sn1n(45n)9nn2，22Sn9nn，2那么S1S2Sn479n12n221n(49n)17nn21(n17)2289，2244216可得n8或9時，S1S2Sn取最大值18．12n那么n的值為8或9．19．〔12分〕如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為43的菱形，BCD60，3AC與BD交于點O，平面FBC平面ABCD，EF//AB，FBFC，EF23．31〕求證：OE平面ABCD；2〕假定FBC為等邊三角形，點Q為AE的中點，求二面角QBCA的余弦值．【解答】證明：〔1〕如圖，取BC中點G，連結FG，OG，-19-由于FBFC，因此FGBC，又由于平面FBC平面ABCD，平面FBC平面ABCDBC，FG平面FBC，因此FG平面ABCD，O，G分別為BD，BC中點，1因此OG//AB，OGAB2由于EF231AB，EF//AB，32因此四邊形EFGO為平行四邊形，因此OE//FG，因此OE平面ABCD．2〕如圖，以AC所在直線為x軸，BD所在直線為y軸，OE所在直線為z軸成立空間坐標系，明顯二面角QBCA為銳二面角，設該二面角為，向量n(0，0，1)是平面ABC的法向量，設平面QBC的法向量v(x，y，1)，由題意可知FGOEBFsin602，因此C(2，0，0)，B(0，23，0)，E(0，0，2)，Q(1，0，1)3因此BQ(1，23，1)，CQ(3，0，1)，3那么vBQ0，即x233y10，vCQ03x101，3，1)，因此v(33-20-因此cos|nv|1313．|n||v|13131320．〔12分〕某種規格的矩形瓷磚(600mm600mm)依據長久檢測結果，各廠生產的每片瓷磚質量x(kg)都聽從正態散布N(,2)，并把質量在(u3,u3)以外的瓷磚作為廢品直接回爐辦理，剩下的稱為正品．〔Ⅰ〕從甲陶瓷廠生產的該規格瓷磚中抽取10片進行檢查，求起碼有1片是廢品的概率；〔Ⅱ〕假定規定該規格的每片正品瓷磚的“尺寸偏差〞計算方式為：設矩形瓷磚的長與寬分別為a(mm)、b(mm)，那么“尺寸偏差〞(mm)為|a600||b600|，按行業生產標準，此中“優等〞、“一級〞、“合格〞瓷磚的“尺寸偏差〞范圍分別是[0，0.2]、[0.2，0.5]、[0.5，1.0]〔正品瓷磚中沒有“尺寸偏差〞大于1.0mm的瓷磚〕，每片價錢分別為7.5元、6.5元、5.0元．現分別從甲、乙兩廠生產的該規格的正品瓷磚中隨機抽取100片瓷磚，相應的“尺寸偏差〞構成的樣本數據以下：尺寸偏差0頻數103030510510〔甲廠瓷磚的“尺寸偏差〞頻數表〕用這個樣本的頻次散布預計整體散布，將頻次視為概率．〔Ⅰ〕記甲廠該種規格的2片正品瓷磚賣出的錢數為〔元)，求的散布列及數學希望E()．〔Ⅱ〕由如圖可知，乙廠生產的該規格的正品瓷磚只有“優等〞、“一級〞兩種，求5片該-21-規格的正品瓷磚賣出的錢數許多于36元的概率．附：假定隨機變量Z聽從正態散布2)，那么p(3Z3)0.99；7N(,100.9743，40.4096，850.32768．【解答】解：〔Ⅰ〕由正態散布可知，抽取的一片瓷磚的質量在(u3,u3)以內的概率為，那么這10片質量全都在(u3u,3之)內〔即沒有廢品〕的概率為100.9743；那么這10片中起碼有1片是廢品的概率為1；〔3分〕〔Ⅱ〕〔ⅰ〕由數據，用這個樣本的頻次散布預計整體散布，將頻次視為概率，得該廠生產的一片正品瓷磚為“優等〞、“一級〞、“合格〞的概率分別為、、；那么的可能取值為15，14，，13，，10元；〔4分〕計算P(15)0.70.70.49，P(14)20.28，P(12.5)20.14，P(13)0.04，P(11.5)20.04，P(10)0.01，-22-獲得的散布列以下：15141310P〔6分〕數學希望E()150.491413〔元)；〔8分〕〔ⅱ〕乙陶瓷廠5片格的正品瓷中有n片“等〞品，有5n片“一〞品，由6.5(5n)?36，解得n?，n取4或5；故所求的概率PC5445．〔12分〕21．〔12分〕函數f(x)lnxax1a(aR)．x〔1〕求函數f(x)的區；〔2〕假定存在x1,使fxx1x成立，求整數a的最小．x【解答】解：〔1〕由意可知，x1a1x2xa0，f(x)22，xxx方程x2xa0的△14a，-23-當△14a,0，即a?1，當x(0,)，f(x),0，4f(x)在(0,)上減；〔2分〕當0a1，方程x2xa0的兩根114a，42且0114a114a，22此，f(x)在(114a,114a)上f(x)0，函數f(x)增，22在(0,114a),(114a)上f(x)0，函數f(x)減；〔4分〕22,當a,0，114a0，114a0，22此當x114a),f(x)0，f(x)增，(0,2當x114a)，f(x)0，f(x)減；〔6分〕(2,上：當a,0，x(0,114a)，f(x)增，2當x114a)，f(x)減；(2,當0a1114a,114a)上增，，f(x)在(422在(0,114a),(114a)上減；22,當a?1，f(x)在(0,)上減；〔7分〕4〔2〕原式等價于(x1)axlnx2x1，即存在x1，使axlnxx2x1成立．1g