第第頁復雜數列的通項公式求解問題一．方法綜述數列的通項公式是數列高考中的熱點問題，求數列通項公式時會滲透多種數學思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數陣（數表）問題、點列問題、函數問題中、由復雜遞推公式求解數列通項公式問題、兩邊夾問題中的數列通項公式問題、下標為形式的數列通項公式問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.二．解題策略類型一數陣（數表）中涉及到的數列通項公式問題【例1】如圖所示的“數陣”的特點是：每行每列都成等差數列，則數字73在圖中出現的次數為____．【答案】12【指點迷津】1.本題主要考查等差數列通項與整數解問題.根據每行每列都成等差數列，先從第一行入手求出第一行數組成的數列的通項公式，再把第一行的數當成首項，再次根據等差數列這一性質求出第數列組成的數列，最后根據整數解方程的解法列舉所有解即可.2.數陣：由實數排成一定形狀的陣型（如三角形，矩形等），來確定數陣的規律及求某項.對于數陣首先要明確“行”與“列”的概念.橫向為“行”，縱向為“列”，在項的表示上通常用二維角標進行表示，其中代表行，代表列.例如：表示第行第列.在題目中經常會出現關于某個數的位置問題，解決的方法通常為先抓住選取數的特點，確定所求數的序號，再根據每行元素個數的特點（數列的通項），求出前行共含有的項的個數，從而確定該數位于第幾行，然后再根據數之間的規律確定是該行的第幾個，即列.【舉一反三】1.【河北省衡水市第二中學2019屆高三上期中】數列中的項按順序可以排列成如圖的形式，第一行項，排；第二行項，從左到右分別排，；第三行項，……以此類推，設數列的前項和為，則滿足的最小正整數的值為（）4,4,434,43,44,43,4,4…A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖可知，第n行是4為首項，以3為公比的等比數列的前n項，和為，設滿足的最小正整數為，項在圖中排在第行第列（且），所以有，則，，即圖中從第行第列開始，和大于.因為前行共有項，所以最小正整數的值為，故選C.2.【2019年3月3日《每日一題》】古希臘畢達哥拉斯學派的數學家在沙灘上用小石子排成多邊形，從而研究“多邊形數”．如圖甲的三角形數1，3，6，10，15，…，第個三角形數為．又如圖乙的四邊形數1，4，9，16，25，…，第個四邊形數為．以此類推，圖丙的五邊形數中，第個五邊形數為________________．【答案】【解析】由圖可知，從第個三角形數為，第個四邊形數為發現規律，歸納出第n個五邊形數為1+4+7+…+（3n﹣2）＝．故答案為：．類型二點列問題中涉及到的數列通項公式問題【例2】已知點順次為直線上的點，點順次為軸上的點，其中.對于任意，點構成以為頂點的等腰三角形.則數列的通項公式為____________.【答案】【指點迷津】對于點列問題，要根據圖像上點與點之間的關系，以及平面幾何知識加以分析，找出關系式即可，本題是直線上的點列，已知點列的通項公式，求點列的通項公式，并研究等腰三角形是否為特殊的等腰直角三角形.【舉一反三】在直角坐標平面中，已知點列，，，…，，…，其中是正整數.連接的直線與軸交于點，連接的直線與軸交于點，…，連接的直線與軸交于點，….則數列的通項公式為___________.【答案】【解析】直線的斜率為，所以，.類型三函數問題中涉及到的數列通項公式問題【例3】【河北省石家莊市第二中學2019屆高三上期末】定義在正實數上的函數，其中表示不小于x的最小整數，如，，當時，函數的值域為，記集合中元素的個數為，則=____.【答案】【解析】易知：當n=1時，因為x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.當n=2時，因為x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以.當n=3時，因為x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，；當n=4時，因為x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以；當n=5時，因為x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以.由此類推：.故.【指點迷津】1.“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.2.已知求的一般步驟：（1）當時，由求的值；（2）當時，由，求得的表達式；（3）檢驗的值是否滿足（2）中的表達式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達式.【舉一反三】【北京西城35中2017屆高三上學期期中數學】已知是上的奇函數，，則數列的通項公式為（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】∵是奇函數，∴，令，，令，，∴，∴，令，∴，令，∴，∵，∴，同理可得，，∴，故選類型四由復雜遞推公式求解數列通項公式問題【例4】我們把滿足的數列叫做牛頓數列，已知函數，且數列為牛頓數列，設，則（）A.B.C.D.【答案】C【指點迷津】對于復雜的遞推公式，關鍵是進行化簡和變形，適當的時候需要換元，本題通過題意，可求得即數列{an}是以2為公比的等比數列，又a1=2，利用等比數列的通項公式即可求得答案．【舉一反三】定義運算：，若數列滿足且()，則數列的通項公式＝________.【答案】4n－2【解析】由題意可得，，以，，所以數列是以2為首項，4為公差的等差數列，所以.類型五兩邊夾問題中的數列通項公式問題【例5】設數列滿足，且對任意的，滿足，,則_________【答案】【指點迷津】解題的關鍵是要通過所給的不等關系找到數列的項的特征，即，然后經過恰當的變形，將求的問題轉化為數列求和的問題去處理，對于求和問題要把握準數列的公比和數列的項數，這是比較容易出現錯誤的地方.【舉一反三】已知各項都為整數的數列中，，且對任意的，滿足，，則__________．【答案】類型六下標為形式的數列通項公式問題【例6】已知等差數列，等比數列的公比為，設，的前項和分別為，．若，則__________．【答案】【解析】，，因為，所以，這是關于的恒等式，所以，解得，所以．【指點迷津】本題要求等差數列的通項公式，既沒有首項也沒有公差，有的只是等差數列與等比數列的一個關系，這是一個關于正整數的恒等式，因此我們可把等差數列與等比數列的前項用基本量表示，并化已知等式為的恒等式，利用恒等式的知識求解．【舉一反三】一、選擇題1.【浙江省湖州三校2019年高考模擬】已知數列滿足，，則使的正整數的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】令,則,所以，從而，因為,所以數列單調遞增，設當時,當時,所以當時，，，從而,因此,選C.2.等差數列和等比數列的各項均為正整數，且的前項和為，數列是公比為16的等比數列，.則的通項公式____________.【答案】三．強化訓練1．已知函數是定義在上的單調函數，且對任意的正數，都有，若數列的前項和為，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，可得，又因為函數是定義在上的單調函數，所以，故，兩式作差得，當時，求得，故，即數列是以2為首項，2為公比的等比數列，從而．故選：A．2．【江西省上高縣第二中學2019屆高三3月月考】定義：若數列對任意的正整數，都有為常數，則稱為“絕對和數列”，叫做“絕對公和”．已知“絕對和數列”中，，絕對公和為3，則其前2019項的和的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：依題意，要使其前2019項的和的最小值只需每一項的值都取最小值即可，∵＝2，絕對公和d＝3，∴＝﹣1或＝1（舍），∴＝﹣2或＝2（舍），∴＝﹣1或＝1（舍），…∴滿足條件的數列{}的通項公式，∴所求值為+（+）+（+）+…+（+）＝2+（﹣1﹣2）＝﹣3025，故選：C．3.【安徽省毛坦廠中學2019屆高三校區4月聯考】已知等差數列滿足，，數列滿足，記數列的前項和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，則，等差數列的公差，.由，得，則不等式恒成立等價于恒成立，而，問題等價于對任意的，恒成立.設，，則，即，解得或.故選:A.4．【福建省廈門第一中學2019屆高三3月模擬】已知數列的前項和為，直線與圓交于，兩點，且.若對任意恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓心O（0，0）到直線y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距離d2，由d2r2，且，得22+Sn＝2an+2，∴4+Sn＝2（Sn﹣Sn﹣1）+2，即Sn+2＝2（Sn﹣1+2）且n≥2；∴{Sn+2}是以+2為首項，2為公比的等比數列．由22+Sn＝2an+2，取n＝1，解得＝2，∴Sn+2＝（+2）?2n﹣1，則Sn＝2n+1﹣2；∴（n≥2）．＝2適合上式，∴．設，，所以.所以，若對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立.設，因為，所以，故的最大值為因為，所以.故選:B5．已知函數的定義域為，當時，，且對任意的實數，，恒成立，若數列滿足（）且，則下列結論成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對任意的實數x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，取x＝y＝0，則f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1．當f（0）＝0時，，得余題意不符，故舍去.所以f（0）＝1．取y＝﹣x＜0，則f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x），設x1＜x2，則f（x1﹣x2）＝f（x1）?f（﹣x2）1，∴f（x1）＞f（x2）．∴函數f（x）在R上單調遞減．∵數列{}滿足f（an+1）f（）＝1＝f（0）．∴0，∵a1＝f（0）＝1，∴，＝﹣2，＝1，，……．∴＝．∴＝，＝＝1．＝，＝＝﹣2．∴f（）1，f（）＝f（1）＜1．∴f（）＞f（）．而f（）＝f（），f（）＜1＜f（），f（）＝f（）＜f（）＝f（﹣2），因此只有：C正確．故選：C．6.【安徽省黃山市2019屆高三第二次檢測】已知數列和的前項和分別為和，且，，，若對任意的，恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，相減得，因為，所以，又，所以,因為，所以,因此，,從而,即的最小值為，選B.7．【河南省十所名校2019屆高三尖子生第二次聯合】記為數列的前項和，已知和（為常數）均為等比數列，則的值可能為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，令（其中為非零常數），整理得：，要使得它對任意的恒成立，則：，解得：，這與為等比數列矛盾.所以，令（其中為非零常數），則，整理得：，要使得它對任意的恒成立，則，整理得：，令，則，解得：，這與為等比數列矛盾.令，則，整理得：，此方程無解.令，則，整理得：，記，，，所以在上必有一零點.即至少有一個實根.令，則，整理得：，解得：，這與為等比數列矛盾.故選：C.8.【浙江省杭州第十四中學2019屆高三9月月考】已知數列中，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題，即由累加法可得：即對于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B二、填空題9.艾薩克·牛頓（1643年1月4日1727年3月31日）英國皇家學會會長，英國著名物理學家，同時在數學上也有許多杰出貢獻，牛頓用“作切線”的方法求函數零點時給出一個數列：滿足，我們把該數列稱為牛頓數列.如果函數有兩個零點1，2，數列為牛頓數列，設，已知，，則的通項公式__________．【答案】10.【山東省濟南市2019屆高三3月模擬】已知一族雙曲線（，且），設直線與在第一象限內的交點為，點在的兩條漸近線上的射影分別為，.記的面積為，則__________.【答案】【解析】設，雙曲線的漸近線為，互相垂直.點在兩條漸近線上的射影為，則易知為直角三角形，即為等差數列，其前2019項的和為11.已知數列的前項和為，，且，則數列的通項公式為_____________.【答案】【解析】數列的前項和為，且當n≥2時，，①則有，②②-①得：，整理得（n≥2），則當n≥3時有，解得（n≥3）,檢驗：當n=2時，滿足上式，當n=1時，不滿足上式，則，故答案為：12．【湖南省衡陽市2019屆高三聯考（二)】已知數列，，為數列的前項的和，且對任意，都有，則的通項公式為_____．【答案】【解析】當時，由.又，∴是以為首項，為公差的等差數列.∴，∴，當時，∴，所以.故答案為：13.【山東省濟寧市2019屆高三一模】將數列3，6，9，……按照如下規律排列，記第行的第個數為，如，若，則_______．【答案】44【解析】由題意可知，數列是一個首項為3、公差為3的等差數列，令數列為數列，則有，2019是數列的第673項，再由圖可知：前1列共有1個數；前2列共有個數；前3列共有個數；前4列共有個數；；前36列共有個數；前37列共有個數；所以2019是第37列第7個數，故.14.【湖南省湘潭市2019屆高三二模】已知函數的圖像在點處的切線與直線垂直，若數列的前項和為，則__________．【答案】【解析】由題意知，則，，故，，故，.故答案為15．