湯燕斌華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院tangyb@數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)10/28/20221湯燕斌數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)10/22/20221數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)☆

數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系☆

課程的主要內(nèi)容數(shù)學(xué)和物理從來是沒有分開過的☆

數(shù)學(xué)物理方程的定義用微分方程來描述給定的物理現(xiàn)象和物理規(guī)律。三種方程、四種求解方法、二個(gè)特殊函數(shù)分離變量法行波法積分變換法格林函數(shù)法波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)拉普拉斯方程貝塞爾函數(shù)勒讓德函數(shù)10/28/20222數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)☆數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系☆課程的主要內(nèi)容哈密爾頓算子或梯度算子，讀作nabla拉普拉斯算子微積分知識(shí)回顧與梯度算子有關(guān)的場(chǎng)論運(yùn)算平面上的拉普拉斯算子常微分方程的求解：常見的一階方程、可降階高階方程、二階線性方程傅里葉級(jí)數(shù)理論：傅里葉級(jí)數(shù)及其系數(shù)、正弦級(jí)數(shù)、余弦級(jí)數(shù)10/28/20223哈密爾頓算子或梯度算子，讀作nabla拉普拉斯算子微積分☆拉普拉斯方程：☆熱傳導(dǎo)方程：☆波動(dòng)方程：三類偏微分方程

兩種特殊函數(shù)

貝塞爾方程勒讓德方程琴弦的振動(dòng)；桿、膜、液體、氣體等的振動(dòng)；電磁場(chǎng)的振蕩等熱傳導(dǎo)中的溫度分布；流體的擴(kuò)散、粘性液體的流動(dòng)空間的靜電場(chǎng)分布；靜磁場(chǎng)分布；穩(wěn)定溫度場(chǎng)分布的解：貝塞爾函數(shù)的解：勒讓德函數(shù)10/28/20224☆拉普拉斯方程：☆熱傳導(dǎo)方程：☆波動(dòng)方程：三類偏微分方一、基本方程的建立第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)二、定解條件的推導(dǎo)三、定解問題的概念10/28/20225一、基本方程的建立第一章一些典型方程和二、定解條件的常見數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出確定所要研究的物理量u，比如位移、場(chǎng)強(qiáng)、溫度根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程通過合理的數(shù)學(xué)近似對(duì)方程進(jìn)行化簡數(shù)學(xué)物理方程定解問題的提法泛定方程（波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方程）定解問題：定解條件（初始條件，邊界條件）10/28/20226常見數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出確定所要研究的物理量u，比如位移、場(chǎng)強(qiáng)一、基本方程的建立條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近作微小橫振動(dòng)。不受外力影響。例1、弦的振動(dòng)研究對(duì)象：線上某點(diǎn)在t時(shí)刻沿縱向的位移。10/28/20227一、基本方程的建立條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近作微弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/28/20228弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/22/20228弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/28/20229弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/22/20229弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/28/202210弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/22/202210弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/28/202211弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/22/202211波的傳播的相關(guān)模擬10/28/202212波的傳播的相關(guān)模擬10/22/202212弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/28/202213弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/22/202213簡化假設(shè)：(2)橫向振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。牛頓運(yùn)動(dòng)定律：橫向：縱向：其中：其中：10/28/202214簡化假設(shè)：(2)橫向振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(其中：………一維波動(dòng)方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)--齊次方程忽略重力作用：10/28/202215其中：………一維波動(dòng)方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)--從麥克斯韋方程出發(fā)：在自由空間：例2、時(shí)變電磁場(chǎng)10/28/202216從麥克斯韋方程出發(fā)：在自由空間：例2、時(shí)變電磁場(chǎng)10/22/對(duì)第一方程兩邊取旋度，根據(jù)矢量運(yùn)算：由此得：得：即：同理可得：——電場(chǎng)的三維波動(dòng)方程——磁場(chǎng)的三維波動(dòng)方程10/28/202217對(duì)第一方程兩邊取旋度，根據(jù)矢量運(yùn)算：由此得：得：即：同理可例3、熱傳導(dǎo)所要研究的物理量：溫度根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉試驗(yàn)定律在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時(shí)刻t1到t2通過S流入V的熱量為高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場(chǎng)10/28/202218例3、熱傳導(dǎo)所要研究的物理量：溫度根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉試驗(yàn)定流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：熱傳導(dǎo)方程熱場(chǎng)如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導(dǎo)方程10/28/202219流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變化例4、靜電場(chǎng)電勢(shì)u確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：對(duì)方程進(jìn)行化簡：拉普拉斯方程

泊松方程10/28/202220例4、靜電場(chǎng)電勢(shì)u確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導(dǎo)其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。10/28/202221同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件條件A、波動(dòng)方程的初始條件1、初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度10/28/202222初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉(2)自由端：x=a

端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、波動(dòng)方程的邊界條件(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：或：(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧的支承。或第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件10/28/202223(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1)給定溫度在邊界上的值(S為給定區(qū)域v的邊界)(2)絕熱狀態(tài)(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時(shí)間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。交換系數(shù)；周圍介質(zhì)的溫度,第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件C、拉普拉斯方程的邊界條件10/28/202224B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1)給定溫度在邊界上的值(S為給1、定解問題三、定解問題的概念(1)初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3)混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題。2、定解問題的適定性

解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng)的微小變動(dòng)。10/28/2022251、定解問題三、定解問題的概念(1)初始問題：只有初始條件(4)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程；(5)按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程和非齊次方程3、微分方程一般分類

(1)按自變量的個(gè)數(shù)，分為二元和多元方程；(2)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪次，分為線性微分方程和非線性微分方程；(3)按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程；10/28/202226(4)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微線性方程的解具有疊加特性4、疊加原理

幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)判斷下列方程的類型思考10/28/202227線性方程的解具有疊加特性4、疊加原理幾種不同的5、微分方程的解

古典解：如果將某個(gè)函數(shù)u代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，且方程中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則這個(gè)連續(xù)函數(shù)就是該偏微分方程的古典解。通解：解中含有相互獨(dú)立的和偏微分方程階數(shù)相同的任意常數(shù)的解。特解：通過定解條件確定了解中的任意常數(shù)后得到的解。形式解：未經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論驗(yàn)證的解為形式解。6、求解方法分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法10/28/2022285、微分方程的解古典解：如果將某個(gè)函數(shù)u代入偏微分方程四、兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的一般形式(1.4.1)其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。

若在區(qū)域上某點(diǎn)處滿足則稱方程(1.4.1)在點(diǎn)處是雙曲型的；若在點(diǎn)處滿足，則稱方程(1.4.1)是拋物型的；處滿足,則稱方程(1.4.1)是橢圓型的。

若在點(diǎn)在點(diǎn)10/28/202229四、兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類兩個(gè)自變量的二階線如果方程(1.4.1)在所討論的區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)都是雙曲型（拋物型或橢圓型），則稱方程在區(qū)域內(nèi)也是雙曲型（拋物型或橢圓型）。

10/28/202230如果方程(1.4.1)在所討論的區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)都是雙曲型（拋物型湯燕斌華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院tangyb@數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)10/28/202231湯燕斌數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)10/22/20221數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)☆

數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系☆

課程的主要內(nèi)容數(shù)學(xué)和物理從來是沒有分開過的☆

數(shù)學(xué)物理方程的定義用微分方程來描述給定的物理現(xiàn)象和物理規(guī)律。三種方程、四種求解方法、二個(gè)特殊函數(shù)分離變量法行波法積分變換法格林函數(shù)法波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)拉普拉斯方程貝塞爾函數(shù)勒讓德函數(shù)10/28/202232數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)☆數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系☆課程的主要內(nèi)容哈密爾頓算子或梯度算子，讀作nabla拉普拉斯算子微積分知識(shí)回顧與梯度算子有關(guān)的場(chǎng)論運(yùn)算平面上的拉普拉斯算子常微分方程的求解：常見的一階方程、可降階高階方程、二階線性方程傅里葉級(jí)數(shù)理論：傅里葉級(jí)數(shù)及其系數(shù)、正弦級(jí)數(shù)、余弦級(jí)數(shù)10/28/202233哈密爾頓算子或梯度算子，讀作nabla拉普拉斯算子微積分☆拉普拉斯方程：☆熱傳導(dǎo)方程：☆波動(dòng)方程：三類偏微分方程

兩種特殊函數(shù)

貝塞爾方程勒讓德方程琴弦的振動(dòng)；桿、膜、液體、氣體等的振動(dòng)；電磁場(chǎng)的振蕩等熱傳導(dǎo)中的溫度分布；流體的擴(kuò)散、粘性液體的流動(dòng)空間的靜電場(chǎng)分布；靜磁場(chǎng)分布；穩(wěn)定溫度場(chǎng)分布的解：貝塞爾函數(shù)的解：勒讓德函數(shù)10/28/202234☆拉普拉斯方程：☆熱傳導(dǎo)方程：☆波動(dòng)方程：三類偏微分方一、基本方程的建立第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)二、定解條件的推導(dǎo)三、定解問題的概念10/28/202235一、基本方程的建立第一章一些典型方程和二、定解條件的常見數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出確定所要研究的物理量u，比如位移、場(chǎng)強(qiáng)、溫度根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程通過合理的數(shù)學(xué)近似對(duì)方程進(jìn)行化簡數(shù)學(xué)物理方程定解問題的提法泛定方程（波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方程）定解問題：定解條件（初始條件，邊界條件）10/28/202236常見數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出確定所要研究的物理量u，比如位移、場(chǎng)強(qiáng)一、基本方程的建立條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近作微小橫振動(dòng)。不受外力影響。例1、弦的振動(dòng)研究對(duì)象：線上某點(diǎn)在t時(shí)刻沿縱向的位移。10/28/202237一、基本方程的建立條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近作微弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/28/202238弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/22/20228弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/28/202239弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/22/20229弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/28/202240弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/22/202210弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/28/202241弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/22/202211波的傳播的相關(guān)模擬10/28/202242波的傳播的相關(guān)模擬10/22/202212弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/28/202243弦振動(dòng)的相關(guān)模擬10/22/202213簡化假設(shè)：(2)橫向振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。牛頓運(yùn)動(dòng)定律：橫向：縱向：其中：其中：10/28/202244簡化假設(shè)：(2)橫向振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(其中：………一維波動(dòng)方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)--齊次方程忽略重力作用：10/28/202245其中：………一維波動(dòng)方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)--從麥克斯韋方程出發(fā)：在自由空間：例2、時(shí)變電磁場(chǎng)10/28/202246從麥克斯韋方程出發(fā)：在自由空間：例2、時(shí)變電磁場(chǎng)10/22/對(duì)第一方程兩邊取旋度，根據(jù)矢量運(yùn)算：由此得：得：即：同理可得：——電場(chǎng)的三維波動(dòng)方程——磁場(chǎng)的三維波動(dòng)方程10/28/202247對(duì)第一方程兩邊取旋度，根據(jù)矢量運(yùn)算：由此得：得：即：同理可例3、熱傳導(dǎo)所要研究的物理量：溫度根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉試驗(yàn)定律在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時(shí)刻t1到t2通過S流入V的熱量為高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場(chǎng)10/28/202248例3、熱傳導(dǎo)所要研究的物理量：溫度根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉試驗(yàn)定流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：熱傳導(dǎo)方程熱場(chǎng)如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導(dǎo)方程10/28/202249流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變化例4、靜電場(chǎng)電勢(shì)u確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：對(duì)方程進(jìn)行化簡：拉普拉斯方程

泊松方程10/28/202250例4、靜電場(chǎng)電勢(shì)u確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導(dǎo)其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。10/28/202251同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件條件A、波動(dòng)方程的初始條件1、初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度10/28/202252初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉(2)自由端：x=a

端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、波動(dòng)方程的邊界條件(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：或：(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧的支承。或第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件10/28/202253(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1)給定溫度在邊界上的值(S為給定區(qū)域v的邊界)(2)絕熱狀態(tài)(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時(shí)間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。交換系數(shù)；周圍介質(zhì)的溫度,第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件C、拉普拉斯方程的邊界條件10/28/202254B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1)給定溫度在邊界上的值(S為給1、定解問題三、定解問題的概念(1)初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3)混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題。2、定解問題的適定性

解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng)的微小變動(dòng)。10/28/2022551、定解問題三、定解問題的概念(1)初始問題：只有初始條件(4)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程；(5)按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程和非齊次方程3、微分方程一般分類

(1)按自變量的個(gè)數(shù)，分為二元和多元方程；(2)按未知函數(shù)及其