工程力學—

靜力學返回總—

靜力學工程力學第3章返回總第3章受力分析的最終的任務是確定作用在構件上的所有未知力，作為對工程構件進行強度設計、剛度設計與穩定性設計的基礎。本章將在平面力系簡化的基礎上，建立平衡力系的平衡條件和

平衡方程。并應用平衡條件和平衡方程求解單個構件以及由幾個

構件所組成的系統的平衡問題，確定作用在構件上的全部未知力。此外本章的最后還將簡單介紹考慮摩擦時的平衡問題。“平衡”不僅是本章的重要概念，而且也工程力學課程的重要概念。對于一個系統，如果整體是平衡的，則組成這一系統的每一個構件也平衡的。對于單個構件，如果是平衡的，則構件的每一個局部也是平衡的。這就是整體平衡與局部平衡的概念。第3章整體平衡，局部必然平衡第3章關于平衡的重要概念：整體平衡，局部必然平衡整體：對于剛體由二個或二個以上剛體組成的系統。第3章關于平衡的重要概念：整體平衡，局部必然平衡整體：對于變形體單個物體，或者由二個以及二個以上物體組成的系統第3章關于平衡的重要概念：整體平衡，局部必然平衡FR1

′局 部

:對于剛體組成系統的單個剛體或幾個剛體組成的子系統。FRAxFRAy第3章關于平衡的重要概念：整體平衡，局部必然平衡局部：對于變形體組成物體的任意一部分。q(x)FP22FP1FP3M1x第3章關于平衡的重要概念：整體平衡，局部必然平衡局

部

對于變形體組成物體的任意一部分。q(x)M(x)FQ(x)dx第3章關于平衡的重要概念：整體平衡，局部必然平衡局

部

對于變形體組成物體的任意一部分。第3章第3章平面任意力系的平衡條件平面任意力系的平衡條件當力系的主矢和對

任意一點的主矩同時等于零時，力系既不能使物體發生移動，也不能使物體發生轉動，即物體處于平衡狀態。是平面力系平衡的充分條件。另一方面，如果力系為平衡力系，則力學的主矢和對于任意一點的主矩

時等于零。這是平面力系平衡的必要條件。因此，力系平衡的必要與充分條件(conditions

both

of

necessaryand

sufficient

for

equilibrium)是力系的主矢和對任意一點的主矩同時等于零。這一條件簡稱為平衡條件(equilibrium

conditions)。滿足平衡條件的力系稱為平衡力系。本章主要介紹構件在平面力系作用下的平衡問題。nnFR

Fi

0i1MO

MO

Fi0i1FR—主矢；MO

—對任意點的主矩zF投影形式2yF1FRx

Fix

0FRy

Fiy

0FRz

Fiz

0OMOx

MOx

Fi

0MOy

MOy

Fi

0xFnFi

0MOz

MOzyzOFz

0

Mx

F

0

Mz

F

0

M

y

F

0

MO

F

0yOz

Fx

=

0,

Fy

=

0,

MO=

0yzO

Fx

=

0,

Fy

=

0,

MO=

0上述平衡方程表明，平面力系平衡的必要與充分條件是：力系中所有的力在直角坐標系Oxy的各坐標軸上的投影的代數和以及所有的力對任意點之矩的代數和同時等于零。例題1懸臂式吊車結構中AB為吊車大梁，BC為鋼索，A、處為固定鉸鏈支座，B處為鉸鏈約束。已知起重電動電E與重物的總重力為Fw(因為兩滑輪之間的距離很小，Fw可視為集中力作用在大梁上)，梁的重力為FQ。已知角度θ=30o。處于任意位置時，鋼索BC所受的力和支座求：1.

電A處的約束力；2.

分析電

處于什么位置時，鋼索受力的最大，并確定其數值。－例題1解：1．選擇研究對象本例中要求的是鋼索BC所受的力和支座A處的約束力。鋼索受有一個未知拉力，若以鋼索為研究·對象，不可能建立已知力和未知力之間的關系。吊車大梁AB上既有未知的A處約束力和鋼索的拉力，又作用有已知的電動機和重物的重力以及大梁的重力。所以選擇吊車大梁AB作為研究對象。將吊車大梁從吊車中

出來。－例題1解：1．分析受力建立Oxy坐標系。A處約束力分量FAx和FAy；鋼索的拉力為FTB。因為要求電處于任意位置時的約束力，所以假設力FW作用在坐標為x處。于是，可以畫出吊車大梁AB的受力圖。在吊車大梁AB的受力圖中，

Fax、FAy和FTB均為未知約束力與已知的主動力FW和FQ組成平面力系。因此，應用平面力系的3個平衡方程可以求出全部3個未知約束力。－例題1解：2．建立平衡方程因為A點是力FAx和FAy的匯交點，故先以A點為矩心，建立力矩平衡方程，由此求出一個未知力FTB。然后，再應用力的平衡方程投影形式求出約束力FAx

和FAy

。＝0

M

A

Fx＝

Fy＝0－例題1解：2．建立平衡方程

A

x

F

lsin

0－F

l

－F2WQTBQQwTBlF

x

FF

＝2

＝

2FW

x

Fl

il

Fx＝FA

F

F

F

F

l

W

x

QlF

AxF

＝W

QFAyl

o

＝

3FQ

Fw＋FTB

i

＝0

Fy＝0

QWFFlAyF

＝－－例題1Ql

in

llF

x

FTBF＝ 2

＝

2FW

x

F解：3．由結果可以看出，當x＝l，即電 移動到吊車大梁右端B點處時，鋼索所受拉力最大。鋼索拉力最大值為＝2F

＋F＝F

＝WQTB2sin30W

Q2FWl＋FQl

2F

＋F2lsin例題2A端固定的懸臂梁AB受力如圖示。梁的全長上作用有集度為q的均布載荷；端B處承受一集中力和一力偶M的作用。已知FP＝ql，M=ql2；l為梁的長度。試求固定端處的約束力。求：固定端處的約束力。－例題2ql解：

1．研究對象、

體與受力圖本例中只有梁一個構件，以梁AB為研究對象，解除端的固定端約束，代之以約束力FAx、FAy和約束力偶MA。于是，可以畫出梁AB的受力圖。圖中、M、q為已知的外加載荷，是主動力。2．將均布載荷簡化為集中力作用在梁上的均勻分布力的合力等于載荷集度與作用長度的乘積，即ql；合力的方向與均布載荷的方向相同；合力作用線通過均布載荷作用段的中點。－例題2解：3．建立平衡方程，求解未知約束力通過對A點的力矩平衡方程，ql可以求得固定端的約束力偶MA；利用兩個力的平衡方程求出固定端的約束力FAx和FAy。FAx＝0

Fx＝0

Fy＝0FAy

ql

FP＝0FAy＝2ql

AM

F＝02A

PM

ql

l

F

l

M＝02AM

＝

5

ql

2平面任意力系平衡方程的其他形式

M

=

0

Fx

=

0,

Fy

=

0,yzOO

Fx

=0,

Fy

=

0,

Fx

=

MA

=

0

,

MB=0

。BFRAA、B

連線不垂直于x

軸C

MA

=

0，

MB

=

0

,

MC

=0。A、B、C

三點不在同一條直線上FRCBA例題3例題3FP圖示結構，若F

P

和l

已知，確定A、B、C三處約束力DBA例題3分析受力FAyFPFAxFBCCA

M

(

F

)

=

0

:DBA例題3建立平衡方程求解未知量FAyFPFAxFBC

d

-

FP

2l

=

0FBC

2

2FPFBCCB

M

(

F

)

=

0

:DBA例題3建立平衡方程求解未知量FAyFPFAx-FAy

l

-

FP

l

=

0FAy=

-

FPFBCCDBA例題3建立平衡方程求解未知量FAyFPFAxFx

=

0

:FAx+FBCcos

=

0FAx=-2FPFBCC例題4M=FP

lACBD圖示結構，若F

P

和l

已知，確定A、B、C三處約束力例題4關于平衡對象的選擇能不能以整體為平衡對象FAyFAxABDADBM=FP

lFAxFAyCM=FP

lCFByFAy例題4分析BC和ABD桿受力BDFAx

AFBxFBx′ABDBByF

′FCy′CM=FP

lCM=FP

lFCx′例題4考慮ABD桿的平衡B

M

(

F

)

=

0

:

MA

(

F

)

=

0

:FBy=0AyF =

0DFByFBxFAyBFAx

AFx

=

0 :

FBx+

FAx=0FBx=

-FAx例題4B'′FBx′考慮BC桿的平衡Fx

=

0 :

FBx′-

FCx′=0FCx′=

FBx′=

FBxFy

=

FBy′-

FCy′=0FCy′=

FBy′

=FBy=0M=FP

lFByFCy′

MB'

(

F

)

=FCx′l+M

=

0FCx′=

FBx′=

-FPCFCx′例題4FPDFPACBDM=FP

lABB'FPCM=FP

lFPFP例題5圖示結構，若F

P

和l已知，確定A、C二處的約束力例題5FPFA分析受力FCxFCy例題5FPFADEFCx

MA

(

F

)

=

0

:FCx

l

-FP

2l

=

0

MC

(

F

)

=

0

:-FA

l-

FP

2l

=

0

ME

(

F

)

=

0

:-FCy

2l

-FA

l

=

0FCx=

2FP

,

FCy=

FP

,

FA=

-2FPFCyllABD例題6lCPM=F

l圖示結構，若F

P

和l已知，確定A、C二處的約束力例題6lllADFABM=FP

l分析受力CFC例題6lllADFABM=FP

lMC(F)

=

0

:FA×l

+M=0FA=

FC=

FPCFC第3章實際工程結構大都由兩個或兩個以上構件通過一定約束方式連接起來的系統，因為在工程靜力學中構件的模型都是剛體，所以，這種系統稱為剛體系統(system

of

rigidity

bodies)。前幾章中，實際上已經遇到過一些簡單剛體系統的問題，只不過由于其約束與受力都比較簡單，比較容易分析和處理。分析剛體系統平衡問題的基本原則與處理單個剛體的平衡問題是一致的，但有其特點，其中很重要的是要正確判斷剛體系統的靜定性質，并選擇合適的研究對象。前幾節所研究的問題中，作用在剛體上的未知力的數目正好等于獨立的平衡方程數目。因此，應用平衡方程；可以解出全部未知量。這類問題稱為靜定問題(statically

determinate

problem)。相應的結構稱為靜定結構(statically

determinate

structure)。實際工程結構中，為了提高結構的強度和剛度，或者為了其他工程要求，常常需要在靜定結構上，再加上一些構件或者約束，從而使作用在剛體上未知約束力的數目多于獨立的平衡方程數目，因而僅僅依靠剛體平衡條件不能求出全部未知量。這類問題稱為靜不定問題(statically

indeterminate

problem)

。相應的結構稱為

靜不定結構(statically

indeterminate

structure)或超靜定結構。對于靜不定問題，必須考慮物體因受力而產生的變形，補充某些方程，才能使未知量的數目等于方程的數目。求解靜不定問題已超出工程靜力學的范圍，本書將在篇“材料力學”中介紹。本章將靜定的剛體系統的平衡問題。整體平衡與局部平衡的概念系統如果整體是平衡的，則組成系統的每一個局部以及每一個剛體也不然是平衡的。研究對象有多種選擇由于剛體系統是由多個剛體組成的，因此，研究對象的選擇對于能不能求解以及求解過程的繁簡程度有很大關系。一般先以整個系統為研究對象，雖然不能求出全部未知約束力，但可求出其中一個或幾個未知力。對剛體系統作受力分析時、要分清內力和外力每個剛體上的力系都必須滿足平衡條件例題7

已知

:求:2FPFP2FP2FP例題72FPFByFAyMAFA

xFDEFBx例題7FP'FPFPFPFA

yFA

xMA例題7FPFPFBxFByFPFD

EFPFPFA

yFA

xMA例題72qlqq—載荷集度FPFP例題72ql2qlFPFByFPFBxFPFD

EFPFPFA

yFA

xMA例題7FP：在不改變結構和載荷FP的位置與方向的情形下，怎樣改變纜索CH的位置，才能使A端的約束力偶MA

減小?例題

8結構由桿AB與BC在B處鉸接而成。結構A處為固定端，C處為輥軸支座。結構在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為M。若q、l、M等均為已知，試求A、C二處的約束力。例題8解：1.受力分析，選擇平衡對象結構整體，在固定端處有3個約束力，設為FAx、FAy和MA；在輥軸支座處有1個豎直方向的約束力FRC

。這些約束力稱為系統的外約束力（external

constraint

force）。僅僅根據整體的3個平衡方程，無法確定所要求的4個未知力。因而，除了整體外，還需要其他的平衡對象。為此，必須將系統拆開。例題8將結構從B處拆開，則鉸鏈B處的約束力可以用相互垂直的兩個分量表示，但作用在兩個剛體AB和BC上同一處B的約束力，互為作用與反作用力。這種約束力稱為系統的內約束力（internal

constraint

force）。內約束力在結構整體平衡時并不出現。受力圖中ql為均布載荷簡化的結果。例題8

0解：2.整體平衡根據整體結構的受力圖(為了簡便起見，當取整體為研究對象時，可以在原圖上畫受力圖)，由平衡方程

Fx

0可以確定。FAx例題8解：3.局部平衡桿AB的A、B二處作用有5個約束力，其中已求得FAx=0，尚有4個未知，故桿AB不宜最先選作平衡對象。桿BC的B、C二處共有3個未知約束力，可由3個獨立平衡方程確定。因此，先以BC桿為平衡對象。例題8解：3.局部平衡求得BC上的約束力后，再應用B處兩部分約束力互為作用與反作用關系，

桿AB的平衡，即可求得A處的約束力。也可以在確定了C處的約束力之后再

整體平衡也可以求得A處的約束力。例題8先BC桿的平衡，由MF

0

B2RCF

2l

M

ql

l

0RCF

M

ql2l

4求得例題8M

ql再FRC

2l

4整體平衡，將DE段的分布載荷簡化為作用于E處的集中力，其值為2ql，由平衡方程

0

FyFAy

2ql

FRC

0M

A

0MA

2ql

2l

M

FRC

4l

0Ay4

2lF

7

ql

MM

A

3ql

2

M例題8解：4.上述分析過程表明， 剛體系統的平衡問題，局部平衡對象的選擇并不是唯一的。正確選擇平衡對象，取決于正確的受力分析與正確地比較獨立的平衡方程數Ne和未知量數Nr。例題84.此外，本例中，主動力系的簡化極為重要，處理不當，容易出錯。例如， 局部平衡時，即系統拆開之 ，先將均勻分布載荷簡化為一集中力FP，FP=2ql。系統拆開之后，再將力FP按上圖所示分別加在兩部分桿件上。請讀者自行分析，圖中的受力分析錯在哪里？第3章空間力系FPyFT1FT2FPxFPzFAzFAyFBzFAxFBxFT1FPxFPzFPy“軸-齒輪-膠帶輪”系統FT2力對點之矩mO

F

r

F力矩矢量的模描述轉動效應的大小，它等于力的大小與矩心到力作用線的垂直距離（力臂）的乘積，即mO

F

Fh＝Frsin為矢徑r與力F之間的夾角。力矩矢量的作用線與力和矩心所組成的平面之法線一致，它表示物體將繞著這一平面的法線轉動。力對軸之矩力對軸之矩等于該力在與軸垂直的平面上的投影對軸與平面的交點之矩，它是力使剛體繞此軸轉動的效應的度量。力對軸之矩用記號Mz(F)表示，即Mz

(F

)

MO

(Fxy

)

Fxyh

2AOB力對點之矩與力對通過該點的軸之矩的關系M

O

(F

)

cos

M

z

(F

)或Mz(F)MO(F)M

(F

)OzzOyyM

(F

)

M

(F

)

M

(F

)OxxM

(F

)

M

(F

)空間力系的簡化Mn與平面力系相似，應用力向一點平移M1M2的方法，將作用在剛體上的空間力系中F1、F2、…Fn各力分別向任意簡化中心O平移，得到一空間匯交力系F1′、F2′…Fn′和一空間力偶系，力偶系中各力偶矩矢量分別為n

nM1、M2、…Mni1ni1F

'R

F

'i

Fii1

i1nM

O

M

i

M

O

(Fi

)空間力系的簡化MnM1xi

RxnF

'

F

M2i1nnF

i1F

'Ry

yi

ziRzi1F

'

F

M

x

(Fi

)

MO

(Fi

)x

nni1n

y

inyO

inMOx

i1M

Oy

i1i1nM

(F

)M

(F

)

zMOz

O

ii1i1

M

(F

)

z

iM

(F

)空間力系的平衡條件F

'R

0

O

M

0n

x

ii1M

(F

)

0

0,n

y

ii1Fn

xii1ni1

yiF

0,M

(F