管理統計學04平均指標第一頁，共67頁。

第四章

數據分布特征的描述

第二頁，共67頁。【案例導入】甲乙兩名運動員都是射擊運動員，現要從甲乙兩名運動員中挑選一名代表參加比賽，于是對兩名運動員進行射擊測試。每名運動員分別射擊10次，甲運動員的成績分別為9.6、9.6、9.5、9.5、9.5、9.4、9.4、9.3、9.3、9.3而乙運動員的成績分別為10.0、10.0、9.9、9.9、9.9、9.4、8.8、8.5、8.5、8.1

請問我們怎樣從兩位運動員的成績分析出誰更應該參加比賽呢？第三頁，共67頁。全國各省男女性的平均身高，看自己達標沒？1

山東175.44

cm

2

北京175.32

cm

3

黑龍江175.24

cm

4

遼寧174.88

cm

5

內蒙174.58

cm

6

河北174.49

cm

7

寧夏173.98

cm

8

上海173.78

cm

9

吉林172.83

cm

10

天津172.80

cm

11

臺灣172.75

cm

12

山西172.73

cm

13

新疆172.72

cm

14

陜西172.72

cm

15

澳門171.79

cm

16

甘肅171.67

cm

17

江蘇171.54cm

中國各省男子平均身高（20歲以上）

18

河南171.49

cm

19

青海170.95

cm

20

安徽170.93

cm

21

浙江170.90

cm

22

福建170.90

cm

23

香港170.89

cm

24

四川170.86

cm

25

廣東169.78

cm

26

重慶169.71

cm

27

西藏169.68

cm

28

江西169.63

cm

29

海南169.60

cm

30

湖北169.54

cm

31

貴州169.35

cm

32

云南169.24

cm

33

湖南168.99

cm

34

廣西168.96

cm

第四頁，共67頁。

1

山東

169.45

2

北京

167.33

3

黑龍江165.25

4

遼寧

164.88

5

內蒙

164.58

6

河北

164.50

7

寧夏

163.96

8

上海

163.79

9

吉林

162.84

10

天津

162.80

11

臺灣

162.70

12

山西

162.74

13

新疆

162.72

14

陜西

162.80

15

澳門

161.79

16

甘肅

159.66

17

江蘇

161.54

18

河南

161.47

19

青海

160.86

20

安徽

160.90

21

浙江

160.88

22

福建

160.89

23

香港

160.93

24

四川

160.86

25

廣東

159.78

26

重慶

159.71

27

西藏

159.66

28

江西

159.53

29

海南

159.56

30

湖北

159.56

31

貴州

159.36

32

云南

159.33

33

湖南

159.1

34

廣西

158.96中國各省女子平均身高（20歲以上）

第五頁，共67頁。第二節平均指標1、理解平均指標的概念和作用；2、掌握各種平均數的計算原則、方法與應用條件；（算術平均數、調和平均數、幾何平均數、眾數和中位數

）教學目的與要求：第六頁，共67頁。一、平均指標的概念和作用（一）、平均指標的概念、特點（二）、平均指標的作用第七頁，共67頁。（一）、平均指標的概念

1、概念平均指標指同質總體某一標志在一定時間、地點、條件下所達到的一般水平。2、平均指標的特點：(1)平均指標是個代表值，代表總體各單位標志值的一般水平。(2)把總體各單位標志值的差異抽象化了。(3)能反映總體變量值的集中趨勢。數據集中區變量x數據集中區變量x第八頁，共67頁。（二）、平均指標的作用1.

利用平均指標，可以對若干同類現象在不同單位、地區間進行比較研究。2.

可以研究某一總體某種數值的平均水平在時間上的變化，說明總體的發展過程和趨勢3.作為論斷事物的一種數量標準或參考。例如，對企業工人勞動效率的評定，通常以他們的平均勞動生產率水平為依據。4.可以分析現象之間的依存關系第九頁，共67頁。簡單和加權平均數分類二、平均指標的種類和計算第十頁，共67頁。（一）算數平均數的基本形式算術平均數是總體各單位標志值總和除以總體單位總數得到的平均數值。它是統計研究和統計實務中應用最為廣泛的一種平均指標。例：直接承擔者※注意區分算術平均數與強度相對數1、算術平均數第十一頁，共67頁。（二）算術平均數與強度相對數的區別算術平均數分子與分母同屬一個總體，強度相對數是兩個性質不同但有聯系的不同總體的總量指標對比，這兩個總量指標之間沒有依附關系，只是在經濟內容上存在客觀聯系。算術平均數用來說明總體單位某一標志值的一般水平。強度相對數用來說明現象的強度、密度和普遍程度。有的強度相對指標的分子分母可倒置；平均數則不可。強度相對指標一般由對比雙方原有的計量單位構成；平均數計量單位則與標志值指標計量單位相同。第十二頁，共67頁。（三）簡單算術平均數將各單位的標志值相加而得標志總量，再除總體單位總數求得平均數．這種計算平均數的方法稱為簡單算術平均數。簡單算術平均數主要適用于未分組資料。

其計算公式為：式中：為算術平均數;為總體單位總數；為第個單位的標志值。第十三頁，共67頁。例1：某學習小組8個同學英語統考分數分別是82、85、76、69、73、80、75、68分。則他們的平均分數為：

=76分第十四頁，共67頁。

加權算術平均數主要適用于分組資料若資料已經是分組的變量數列，就采用加權算術平均的方法計算其算術平均數其計算公式為：（四）加權算術平均數式中：—算術平均數;

—各組變量值，在組距數列情況下是各組組中值；—各組變量值的權數其中權數指變量數列中各組標志值出現的次數，是變量值的承擔者，反映了各組的標志值對平均數的影響程度。第十五頁，共67頁。例題：某廠甲車間有200名職工，他們每月加工的零件數如下表。表1某廠甲車間職工每月加工的零件數零件數（件）x工人數（人）f產量×工人數xf30323435362050764014600160025841400504合計20066881.單項式變量數列計算加權算術平均數第十六頁，共67頁。

如果我們所掌握的資料不是單項數列資料，而是組距數列資料，計算算術平均數的方法與上述方法基本相同，只是要先計算出各組的組中值以作為代表標志值進行計算。2.組距數列計算加權算術平均數第十七頁，共67頁。例題：設某企業按職工工資水平分組的組距數列資料如下：月工資(元)組中值（元）X職工人數（人）f工資總額（元）Xf300～400400～500500～600600～700700～800800～900900～10001000以上350450550650750850950105014193530262042490085501925019500195001700038002100合計—15094600平均工資=第十八頁，共67頁。注意：組中值具有假定性以組中值作為各組的代表值，假定各組標志值在組內分布是均勻的。此時求得的算術平均數只是其真值的近似值。第十九頁，共67頁。1、變量數列中，哪組權數比重大，哪組標志值對平均數的影響就大。所以，權數是權衡各組變量值的輕重作用的。2、如果各組次數相等，權數所決定的各組變量值的作用都一樣，就失去了權數的意義。3、權數既可以用絕對數形式fi

表示，

也可以用相對數形式fi

/∑f表示4、頻數在大多數情況下可以做權數，但不是所有情況（五）權數對平均數的影響作用第二十頁，共67頁。

計算加權算術平均數有時會遇到權數的選擇問題。在分配數列的條件下，一般來說，次數就是權數。但也有次數是不合適的權數的情況，這在以相對數或平均數計算平均數時經常遇到。權數的選擇

第二十一頁，共67頁。例題：某公司所屬15個企業資金利潤率分組資料如下表，要求計算該公司15個企業的平均利潤率。資金利潤率（%）X企業數平均占用資金（萬元）f利潤總額（萬元）Xf121524663508015061236合計1528054第二十二頁，共67頁。選擇權數的原則1、變量與權數的乘積必須有實際經濟意義。2、依據相對數或平均數本身的計算方法來選擇權數。第二十三頁，共67頁。課堂練習例：某管理局所屬20個企業產品產量及一等品率資料：求實際一等品率實際一等品率（%）企業個數實際產量92~9494~9696~985105550340260

合計201150組中值（%）一等品產量（件）939597511.5323.0252.2-1086.7第二十四頁，共67頁。實際一等品率=一等品產量/實際產量第二十五頁，共67頁。（六）算術平均數的數學性質(1)各總體單位標志值與算術平均數離差之和等于0，即：(2)各總體單位標志值與算術平均數離差平方和為最小，即：

(3)算術平均數受極端值影響較大，針對這一缺點可以計算調整平均數

第二十六頁，共67頁。

在實際運用算術平均數時，如果總體中存在過大或過小的數值，經常將其剔除，然后將余下的變量值加以平均。這種平均數稱為調整或切尾平均數。目前此法在文藝、體育比賽評分中應用較多。第二十七頁，共67頁。思考？1.某種蔬菜價格早上為0.5元/斤、中午為0.4元/斤、晚上為0.25元/斤。現早、中、晚各買1斤，求平均價格。2.某種蔬菜價格早上為0.5元/斤、中午為0.4元/斤、晚上為0.25元/斤。現早、中、晚各買1元，求平均價格。這兩種平均數有什么區別？第二十八頁，共67頁。三、調和平均數調和平均數是平均數的一種，它是各個變量值倒數的算術平均數的倒數，故又稱倒數平均數。

根據掌握資料不同，可分為簡單調和平均和加權調和平均

第二十九頁，共67頁。㈠簡單調和平均數式中，H為調和平均數，其余符號同前。根據未分組資料計算計算公式：第三十頁，共67頁。在例題中，先求早、中、晚購買的斤數。早1/0.5=2(斤）中1/0.4=2.5(斤）晚1/0.25=4(斤）第三十一頁，共67頁。（二）加權調和平均數根據分組資料：如果掌握的資料是各組的標志值和標志總量，而未掌握各組單位數，則用加權調和平均法計算平均指標。其計算公式為：式中：為第組的變量值；為第組的標志總量。第三十二頁，共67頁。例題：

紅星制造廠本月購進甲種原材料三批，每批采購價格和采購金額表如下所示，求本月購進甲種原材料的平均價格。第三十三頁，共67頁。解：該廠原材料采購價格和采購金額第三十四頁，共67頁。已知分配數列各組標志值及其標志總量時，計算平均數可用加權調和平均法，權數m為各組的標志總量。即：原來只是計算時使用了不同的數據！加權調和平均數常常作為算術平均數的變形使用。第三十五頁，共67頁。算術平均數和調和平均數的關系聯系----實質相同調和平均數是算術平均數的變形，兩者的基本公式均為：區別----適用的情況不同

當已知平均指標的分母資料、未知分子資料時，采用加權算術平均法

當已知平均指標的分子資料、未知分母資料時，采用加權調和平均法第三十六頁，共67頁。

課堂練習

[資料]甲乙企業職工的工資如下表：[要求]分別計算甲乙企業職工月工資額的均值第三十七頁，共67頁。幾何平均數是N項變量值連乘積的N次方根。用于計算現象的平均比率或平均速度。各個比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個比率或速度不為零或負值。應用的前提條件：四、幾何平均數幾何平均數也分簡單幾何平均數和加權幾何平均數兩種第三十八頁，共67頁。簡單幾何平均數是n個變量值（比率）連乘積的n次方根，計算公式為：（一）簡單幾何平均數第三十九頁，共67頁。【例】2001-2005年我國工業品的產量分別是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，計算這5年的平均發展速度。第四十頁，共67頁。【例】某企業有5個流水作業的車間，1月份第一車間產品合格率為98%，第二車間產品合格率為96%，第三車間產品合格率為95%，第四車間產品合格率為94%，第五車間產品合格率為92%。試求該廠1月份平均產品合格率。第四十一頁，共67頁。當計算幾何平均數的每個變量值（比率）的次數不相同時，則應用加權幾何平均法，其計算公式為：㈡加權幾何平均數第四十二頁，共67頁。【例】某投資銀行25年的年利率分別是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。第四十三頁，共67頁。課堂練習

1.某地區“十一·五規劃”中規定,“十一·五”末年財政收入比“十·五”末年翻一番,問“十一·五”期間經濟增長速度最低要達到多少？2.某市2000年末城鄉總人口達到350萬人，期望在2010年末將總人口控制在400萬人以內，問人口的年均自然增長率應控制在千分之幾以內？第四十四頁，共67頁。撓頭的數值公司員工的月薪如下：員工經理副經理職員A職員B職員C職員D職員E職員F職員G月薪（元）60004000170013001200110011001100500第四十五頁，共67頁。（一）概念中位數（Median）是指將總體各單位標志值按大小順序排列后，指處于數列中間位置的標志值，用表示。不受極端數值的影響，在總體標志值差異很大時，具有較強的代表性。中位數的作用：五、中位數第四十六頁，共67頁。（二）中位數的計算⒈未分組資料

先將數據按從小到大順序排列，

如項數為奇數，居于中間的哪個單位標志值就是中位數；當總體單位數為偶數時，數列中間兩個位置的標志值的平均數才是中位數。第四十七頁，共67頁。中位數的位次為：第3個單位的標志值就是中位數即【例】某售貨小組5個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則若上述售貨小組為6個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則中位數應為第3和第4個單位標志值的算術平均數，即第四十八頁，共67頁。⒉由單項式分組資料計算中位數1、計算時可先計算分組數列的累計次數2、再用

公式確定中位數的位次3、然后根據中位數的位次將累計次數剛超過中位數位次的組確定為中位數組4、該組的標志值即為中位數。第四十九頁，共67頁。中位數位置=80/2=40按向上累計次數，到34所在組為54，到32所在組為27，故中位數應在34所在組，即中位數=34。【例】某工廠日產零件的工人數如下表所示，求中位數。第五十頁，共67頁。3.由組距式分組資料計算中位數計算時可先計算分組數列的累計次數再用公式確定中位數的位次然后根據中位數的位次將累計次數剛超過中位數位次的組確定為中位數組用公式計算中位數的準確數值下限公式：

上限公式：

式中：L、U分別表示中位數所在組的下限、上限；

Sm-1表示中位數組以下所有租的累計次數

Sm+1表示中位數組所在組以上所有組的累計次數；

d表示中位數所在組的組距。第五十一頁，共67頁。【例】某車間50名工人月產量的資料如下：月產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產量的中位數。由組距數列確定中位數第五十二頁，共67頁。某鄉農民家庭人均純收入及分組資料表所示。家庭平均年純收入（元）農民家庭數（戶）農戶數累計（戶）向上累計向下累計800-10001000-12001200-14001400-16001600-18001800-20002000-22002200-2400240480105060027021012030240720177023702640285029703000300027602280123063036015030合計3000——第五十三頁，共67頁。㈠眾數的概念1.概念眾數(Mode)指總體中出現次數最多的變量值，用表示,它不受極端數值的影響，用來說明總體中大多數單位所達到的一般水平。六、眾數在實際工作中有時有它特殊的用途。比如，消費者需要的內衣、鞋襪、帽子等最普遍的號碼，說明農貿市場上某種農副產品最普遍的成交價格等，都需要利用眾數。

眾數存在的條件：總體單位數較多，各標志值的次數分布有明顯的集中趨勢時才存在眾數。第五十四頁，共67頁。

如：某商場某季度男皮鞋銷售情況男皮鞋號碼/厘米銷售量/雙24.01224.58425.011825.554126.032026.510427.052合計1200可以看到，25.5厘米的鞋號銷售量最多，如果我們計算算術平均數，則平均號碼為25.65厘米，而這個號碼顯然是沒有實際意義的，而直接用25.5厘米作為顧客對男皮鞋所需尺寸的集中趨勢既便捷又符合實際。第五十五頁，共67頁。㈡眾數的計算方法1、單項數列確定眾數——觀察次數，出現次數最多的標志值就是眾數。這種方法比較簡單。【例】一種商品價格及銷售量如下表所示，求眾數。上面數列中價格為9.00元的商品銷售量最多，即出現次數最多，則眾數M0=9.00元。第五十六頁，共67頁。2、組距數列確定眾數組距數列確定眾數——觀察次數，首先由最多次數來確定眾數所在組，然后再用比例插值法推算眾數的近似值。其計算公式為：下限公式上限公式式中：、分別表示眾數所在組的下限、上限；表示眾數所在組與以前一組次數之差；表示眾數所在組與以后一組次數之差；

d表示眾數所在組的組距。第五十七頁，共67頁。【例】某車間50名工人月產量的資料如下：月產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產量的眾數。第五十八頁，共67頁。例題：某鄉農民家庭人均純收入及分組資料表所示。家庭平均年純收入（元）農民家庭數（戶）800-10001000-12001200-14001400-16001600-18001800-20002000-22002200-2400240480105060027021012030合計3000（元）

第五十九頁，共67頁。第六十頁，共67頁。⒈眾數是一個位置平均數，它只考慮總體分布中最頻繁出現的變量值，而不受極端值和開口組數列的影響，從而增強了對變量數列一般水平的代表性。⒉眾數是一個不容易確定的平均指標，當分布沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數可言；當變量數列是不等距分組時，眾數的位置也不好確定。㈢眾數的特點

第六十一頁，共67頁。算術平均數與眾數、中位數之間的關系（1）當總體分布呈對稱的正態分布狀態時（2）當總體呈偏態分布時當次數分布呈右偏（或叫正偏）分布時，＜＜當次數分布呈左偏（或叫負偏）分布時，＜