1、一個(gè)捕食者兩個(gè)食餌的隨機(jī)時(shí)滯種群模型的最優(yōu)獲取摘要：研究了一個(gè)捕食者兩個(gè)食餌的隨機(jī)時(shí)滯種群模型的最優(yōu)獲取問(wèn)題。在滿足一些假設(shè)的條件下，給出 了模型的最優(yōu)獲取效應(yīng)的明確表達(dá)式以及期望可持續(xù)獲取的最大值。關(guān)鍵詞：最優(yōu)獲取效應(yīng)；期望可持續(xù)獲取;依分布穩(wěn)定0引言在自然界中，捕食者以相互競(jìng)爭(zhēng)的食餌為食是普遍存在的現(xiàn)象,如獅子同時(shí)以斑馬和非洲牛羚為食，所 以種群的數(shù)量，與捕食者和食餌的數(shù)量息息相關(guān).另一方面，它也受隨機(jī)波動(dòng)的環(huán)境的影響，且應(yīng)考慮時(shí)滯的 作用.文獻(xiàn)1中建立了描述這類種群系統(tǒng)的模型，作者證明了該模型是全局吸引和依分布穩(wěn)定的.本文在 文獻(xiàn)1中模型的基礎(chǔ)上考慮最優(yōu)獲取問(wèn)題，建立了下面的模型.,dX

2、 ( )=X ()h!c!X! () c!X( ) $!=X= ( *!=) d+.1 Si ()di () dX ( )=X () *(h(C!X! ( *!) $X () ( $23X3 ( *23) d+.X ()dB ()( !)dX3 ( )=X3 &) b3(h3&c3!X! ( *3!) + C3X( *3) ( C33X3 ( ) d+.3X3 ()d3 ()初始值為：XJ () = &2( ()，( ( *，0 ;，* = max *礦，i，j = !，3，2 & j.其中，X!()，X( )分別表示食餌種群!和食餌種群2的數(shù)量,X3( )表示捕食者種群的數(shù)量.b!，b分 別

3、表示食餌種群!和食餌種群2的出生率,*3表示捕食者種群的出生率.$22，i = !，3表示三個(gè)種群各自的 種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)率，C!，C!表示種群X! ( )，X ( )的種間競(jìng)爭(zhēng)率，C!3，C3表示X3 ( )對(duì)X! ( )，X ( )的捕獲率，$3!，$3 表示種群X!()，X()對(duì)種群X3()的轉(zhuǎn)化率.以上的所有系數(shù)均為正常數(shù).hi % 0，i = !，3分別表示對(duì)三個(gè)種群的獲取效應(yīng).*2 % 0，i，j = !，3，i & j表示時(shí)滯.，i = !，3 表示噪聲強(qiáng)度.&()=( &! ()，& ()，&3 ()T :( *，0，C)，C3-= % = & %!，%，%3)C+l% 0,i = !

4、,2,3.研)=(! ()， () ,3 ()E表示定義在完備概率空間(！,D,D %0,8)上的三維布朗運(yùn)動(dòng).對(duì)于種群系統(tǒng)( !)，定義期望可持續(xù)獲取為3U( N) = lim E (NEX() ) = lim E (h,.X. ().+i =!當(dāng)期望可持續(xù)獲取N)達(dá)到最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的獲取效應(yīng)N = ( h! ,h ,h3) T即為最優(yōu)獲取效應(yīng)，記為N = ( hg,h；,h；) T.本文正是要求N*= ( hg,h；,h；) T以及U(N)的最大值y*.1基本假設(shè)和引理為了使用方便，引入下面的記號(hào).X()=(X1 ()，X2 ( ),X3( )E,e, =*r.2，2 = 1z2z3z$1

5、1$12$13、$11$12$13$11*101?=$21$22$23zC=?=$21$22$23,r =$21*202、( $31( $32$33 /( $31( $32$33( $31*303*1$12$13$11*1$13$11$12*1C1 =*2$22$23zC2 =$21*2$23zC3 =$21$22*2*3( $32$33( $31*3$33( $31( $32*301$12$13$1101$13$11$1201C1 =02$22$23zC2 =$2102$23,C 3 =$21$220203( $32$33( $3103$33( $31( $3203:表示行列式：中的元素七余

6、子式,i,j = 1,2,3.在陳述主要定理之前，先給出一些假設(shè).假設(shè)1： 0,： 0,2 = 1,2,3，這表明在沒(méi)有隨機(jī)干擾和對(duì)系統(tǒng)的獲取的條件下，模型( 1)中的三個(gè)種群是可以共生的.假設(shè) 2C2 0,2 # 1,2,3-：23 0,：32 0,：=3 0,：3i $12 & $13，$22 $21 & $23，$33 $31 & $32 -下面給出證明定理的過(guò)程中需要用到的一些引理.引理1對(duì)于模型( 1)，如果假設(shè)1,2,3成立，則當(dāng) 0且時(shí)，(X!() ,X2() ,X3()E關(guān)于時(shí) 間的均值穩(wěn)定，即：lim X2( s) ,s = C ( C s. ,2 = 1,2 ,3 J 0C

7、引理2如果假設(shè)1,2,3成立，則當(dāng) 0且C3 C3時(shí)，模型( 1)是依分布穩(wěn)定的，即存在唯一的概率 測(cè)度此)，使得對(duì)任意的初始值&() C( -*,0,C),X()的轉(zhuǎn)移概率？(,&() , )當(dāng)(& !時(shí)弱收 斂于以-).弓I理1和引理2的證明與文獻(xiàn)：1中定理2和定理4的證明類似，此處不再贅述.注1當(dāng) 0時(shí)，:1 Q :3 .證略.C1 C2 C3注2 ?(1 & ( ?(1) 1是正定矩陣.證略.2主要定理及證明定理對(duì)于模型( 1)，記也-.2/2、51、*1 /2 /、M =*2 - .2/2,M - H =52=*2 - .2 /2 - /2*3 - .2/2/53 J*3 .3 /2

8、 3 J9 = & %1 ,%2 ,%3) E = :? ( ?(1) T & Q(1 M.在假設(shè)1,2,3下，有( I)如果 , % 0,2 = 1,2,3,r 0,C3 C3，且當(dāng) N =9 時(shí)，5, 0,2 = 1,2,3,則最優(yōu)獲取效應(yīng)為 N* = 9,期望可持續(xù)獲取的最大值為U* = ( H* ) %(1 ( M _ N* ).( )如果( I)中的條件不滿足，則最優(yōu)獲取策略不存在.證明：令 F = ( H = ( ,/2 ,/3) E| 52 0,2 # 1,2,3 ,% 0,C3 C3-若 H* 存在，則 H* e Q .先證( i).顯然，a 。，則。是非空的.3已知Y( H)

9、 = limE( HtS()= lim E(/2S2()，令以)表示模型( 1)的穩(wěn)態(tài)密度函數(shù)，有：( 3)Y( H) = lim E ( HtS( ) ) # + Htxp( %( 3)* + Jr=由引理2, !(.)是不變測(cè)度.由3中的推論3.4.3知，此)是強(qiáng)混合的，又由3中的定理3.2.6 知，!(.)是遍歷的.因此有：( 4)( 5)( 6)(7)lim 上 HtS( s) ds = + Ht%!( d%( 4)( 5)( 6)(7)注意到，模型( 1)的不變測(cè)度是唯一的，由不變測(cè)度與p( %)的對(duì)應(yīng)關(guān)系有:I Ht%n( %) d% = I Ht%!( d%) Jr&Jr3&由

10、( 3)、(4)、(5)可得:Y( H) = lim E ( HtS( ) ) = lim 上 + HtS( s) ds.由引理1可知，若獲取效應(yīng)H F，則( 2)式成立，從而有：lim 上 + HtS( s) ds = lim 上 + (加S，( s) + /匕( s) + /=S=( s) )dsC1 - C1 i C2 - C2 i C3 - C3& /2 & /= ，/3)( ：1 ：1 , C C , ：3 ：3)THTGl(L - N).HTGl(L - N).C21C22、C31 C32由 ( 6)、(7)得,Y( H) = HtG-1 (L - H).為了得到H* ,求解下面的

11、方程，0 _dY( H) _d( H ) g-1 ( LduT / l-1、t h0 = =G ( LH) & dH ( L( G ) H(8)=G1L G1 + ( G1) T (8)T & Q1L .又ddY( H) / ddY( N) TTdHT dH (dH dH I=(*Lt( G1) T Ht G1 + ( G1) T) = ( G1 + ( G1) T).由注2可知，-(G1 + ( G1) T)是負(fù)定的.因此，A= G ( G1) t&Qt L是Y( N)的唯一極值點(diǎn)，則最 優(yōu)獲取效應(yīng)為H* = A,期望可持續(xù)獲取的最大值為：Y( H* ) = ( H* ) tG1 (L H* ).r*現(xiàn)證明( ).設(shè)H*( / * ,/； ,/；) T 存在，則 H * F 當(dāng) H = H * 時(shí)，有 5,