1、第三章 統計分布的數值特征第一節 分布的平均水平、集中趨勢和位置的度量第二節 分布的離散趨勢第三節 分布的偏度和峰度第一節 分布的平均水平、集中趨勢和位置的度量一、統計平均數的含義與作用1.統計平均數average：表示現象總體各單位某一標志值在一定時間、地點條件下所達到的一般水平。2.作用： 1）反映總體各單位變量分布的集中趨勢和一般水平。 2）比較同類現象在不同單位的發展水平 3）比較同類現象在不同時期的發展變化趨勢或規律。 4）分析現象之間的依存關系。3.分類：按其具體代表的含義和計算方式的不同，分為數值平均數和位置平均數。 1）數值平均數： A）定義 B）特點 C）種類 按計算方法不同

2、，分為：算術平均數、調和平均數、幾何平均數和冪平均數。2）位置平均數： A）定義：用處于數列中特殊位置上的個別單位或部分單位的標志值來確定的代表值。 B）特點：對數據的概括能力不如數值平均數的強，但是不易受數列中極端值的影響。 C）種類：常用的位置平均數有眾數和中位數兩種。 二、數值平均數(一)算術平均數 arithmetic mean1.計算平均數的要求：總體標志總量必須是總體各單位標志值的總和，標志值和單位之間存在一一對應關系。2.計算方法，均值Mean value1）簡單算術平均數。簡單算術平均數主要用于未分組資料,計算公式： 式中，代表算術平均數，xi表各單位標志值，N 代表總體單位數

3、。2）加權算術平均數Weighted average A）加權算術平均數主要用于原始資料已經分組，并得出次數分布的條件。計算公式： fi為各組標志值出現的次數B)權數的選擇問題 相對指標計算平均數，要根據指標的經濟涵義，選澤合適的權數。 并非所有的頻數都可以作為權數。3.是非標志的平均數percentage具有某種性質的單位占總體的比率為p，不具有該種性質的單位占總體的比率為 q，以1作為“是”，具有某種性質的單位的標志值，以0作為“非”，不具有某種性質的單位的標志值。按加權算術平均數公式計算，得到：p為總體中具有某種屬性的單位成數，N為總體單位數。成數是是非標志的平均數。4. 算術平均數的數

4、學性質 1）算術平均數與標志值個數的乘積等于各標志值的總和。 2）各個標志值與其算術平均數的離差之和等于零。 3）各標志值與算術平均數離差的平方和為最小值。 4）對被平均的變量實施某種線性變換后，新變量的算術平均數等于對原變量的算術平均數實施同樣的線性變換的結果。(二)調和平均數Harmonic mean1.簡單調和平均數定義：標志值的倒數的算術平均數的倒數。計算公式：2. 加權調和平均數計算公式：3）調和平均數與算術平均數的關系適用的資料條件不同。算術平均數：已知變量值及頻數（頻率）調和平均數：已知各組的變量值及標志總量。(三)幾何平均數Geometric mean1.幾何平均數：是N項標志

5、值連乘積的N 次方根。2.分類： 1）簡單幾何平均數：是N個標志值xi連乘積的N次方根。計算公式為： G= 式中G表示幾何平均數，xi表示各項標志值。2）加權幾何平均數 加權幾何平均數是各標志值fi次方的連乘積的N次方根，計算公式為： G= 3.適用場合：用于計算動態數列或時間上相互銜接的比率的平均數。(四)冪平均數 power mean設有一組變量求各變量k次方的和： 稱為k階冪平均數，當k 取不同的整數值時，冪平均數就給出不同的數值平均數計算公式。 例如：當k=1時，冪平均數為算術平均數計算公式。當k=-1時，冪平均數為調和平均數計算公式。當k 0 時，為幾何平均數計算公式。 設有冪平均數

6、的是關于k階的遞增函數當k1k2時，就有： 算術平均數、幾何平均數、調和平均數是冪平均數的k階數由1遞減為0又減為-1的特例。三、位置平均數(一) Mode眾數 Mo1.定義：眾數是指總體中最普遍出現的標志值。從分布的角度看，眾數是具有明顯集中趨勢的數值。在分配曲線圖上，眾數就是曲線的最高峰所對應的標志值。 在分配數列中，具有最多次數的標志值就是眾數值。2.眾數的確定 1）單項式分配數列確定眾數：出現次數最多的標志值就是眾數。 2）組距式分配數列確定眾數： 組距式數列確定眾數的公式: 下限公式： 上限公式：公式中，Mo代表眾數； 代表眾數組的下限； 代表眾數組的上限； 代表眾數組的次數； 代表

7、眾數組前一組的次數； 代表眾數組后一組的次數； 代表眾數組的組距。(二)Median中位數1.定義：中位數是將總體各個單位按其標志值的大小順序排列，處于數列中點的那個單位的標志值。在總體中，標志值小于中位數的單位占一半；標志值大于中位數的單位也占一半。2.中位數的確定 1）未分組資料確定中位數。 確定中位數的方法是：先將總體各單位的標志值按照大小順序排列， 當總體單位數N為奇數時： 當總體單位數N為偶數時： 2）單項式分組資料確定中位數當 為奇數時， 當 為偶數時,3）組距式分組資料確定中位數下限公式： 上限公式：式中： 表示中位數； 表示中位數所在組的下限； 表示中位數所在組的上限； 表示向

8、上累計至中位數所在組前一組的次數； 表示向下累計至中位數所在組后一組的次數； 表示中位數所在組的次數； 表示中位數所在組的組距。(三)眾數、中位數和算術平均數的關系1.區別： 1）三者的含義不相同； 2）三者的計算（確定）方法不同； 3）對資料的要求不同， 4）數據的“靈敏度”、“抗耐性”和“概括能力”不同。 2.聯系： 1）三者都是作為反映總體一般水平（或集中趨勢）的平均指標： 2） 三者之間存在著一定的數量關系， A）在對稱的正態分布條件下： 算術平均數等于眾數等于中位數： B）在非對稱正態分布的情況下，眾數、中位數和平均數三者的差別取決于偏斜的程度，偏斜的程度越大，它們之間的差別越大。當

9、次數分配呈右偏(正偏)時算術平均數受極大值的影響， 當次數分配呈左偏(負偏)時，算術平均數受極小值的影響， 中位數則總是介于眾數和平均數之間。 3.皮爾生Pearson經驗法則分布在輕微偏斜的情況下，眾數、中位數和算術平均數數量關系的經驗公式為第二節 分布的離散趨勢一、變異指標的含義與作用1.定義2.作用： 1）衡量平均指標的代表性。 2）反映現象變動的均衡性。 3）研究總體標志值分布偏離正態的情況。 4）進行抽樣推斷等統計分析的一個基本指標。 二、極差與四分位差1.極差Range： 1）極差也稱全距，它是統計總體中兩個極端標志值之差，表明總體中標志值變動的范圍。 2）計算公式： （未分組）

10、（分 組） 式中：Umax代表最高組的上限； Lmin代表最低組的下限。 3）特點：計算簡便，直觀易于理解。 但不考慮總體內部的分配狀況，不能充分反映標志值變動的一般程度。2.四分位差 1）計算公式：數列的3/4位次與1/4位次的標志值之差除以2。 2）特點：四分位差避免了數列中極端值的影響，但去頭棄尾，丟失大量的原始數據。 三、平均差（A.D）average deviation1.定義：平均絕對偏差，總體所有單位的標志值與其平均數的離差絕對值的算術平均數。2.計算公式：3.特點四、方差variance與標準差standard deviation(一)數量標志的方差與標準差 1.數量標志方差與

11、標準差的計算。未 分組的資料其計算公式為： 方差： 標準差 ：用分組的資料計算 方差： 2.總方差的分解analysis of variance 在資料分組的條件下，總體各標志值對平均數的方差可以分解為組內方差和組間方差。 式中： 代表總體方差； 代表組間方差； 代表組內方差的平均數。3.方差與標準差的數學性質： 1）變量的方差等于變量平方的平均數減去變量平均數的平方。 2）變量對算術平均數的方差小于對任意常數的方差。 3） 個同性質獨立變量和的方差等于各個變量方差的和。 4） 個同性質獨立變量平均數的方差等于各個變量方差平均數的 。 5）變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數的平方。(二)是非標志的方差與標準差 是非標志的平均數為p四、變異系數coefficient of variation1.變異系數：變異系數也稱離散系數，是各變異指標與其算術平均數的比值。 標準差系數：標準差與其平均數的比值。2.作用： 能準確地比較不同現象或具有不同水平的單位之間的差異程度。 第三節 分布的偏度和峰度1.統計動差：也稱為矩moment，反映分布偏斜或離散程度的指標。