1、一 周髀算經與勾股定理1第1頁第1頁1、周髀算經是中國現存最早一部數學典籍，成書時間大約在兩漢之間 (紀元之后)。也有史家認為它出現更早，是孕于周而成于西漢，甚至更有些人說它出現在紀元前10。嚴格說來，周髀算經是一部天文著作，為討論天文歷法，而敘述一些相關數學知識，其中主要題材有勾股定理、百分比測量與計算天體方位所不能避免分數四則運算。 2、周髀算經九章算術孫子算經數書九章3、勾股定理=百牛定理=畢達哥拉斯定理2第2頁第2頁第24屆“國際數學家大會”（ICM）International Congress of Mathematicians 3第3頁第3頁4第4頁第4頁為北京“國際數學家大會”發

2、行紀念郵資明信片 JP1085第5頁第5頁第24屆“國際數學家大會”會標宋刻本周髀算經， （上海圖書館藏）6第6頁第6頁案例 2 勾股定理畢達哥拉斯定理（尼加拉瓜，1971） 7第7頁第7頁周髀算經中 “勾股定理”（約公元前7）周髀算經卷上記載西周開國時期周公與大夫商高討論勾股測量對話，商高答周公問時提到“勾廣三 股修四 經隅五”，這是勾股定理特例。 卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）對話中，則包括了勾股定理普通形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。”8第8頁第8頁 中國數學史上最先完畢勾股定理證實：公元3世紀三國時期趙爽。 趙爽注周髀算經，作“

3、勾股圓方圖”，其中 弦圖，相稱于利用面積“出入相補”辦法，證實了勾股定理。如圖9第9頁第9頁10第10頁第10頁勾股定理“證實”既有約500余種 由于勾股定理主要性，盡管該定理早已被證實，許多人仍然愿意摸索該定理新證實。 至今，已發覺勾股定理各種“證實”約500余種 僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十各種精彩證法。這是任何定理無法比擬。 11第11頁第11頁重點推介下面四種證實 一、古希臘證法二、趙爽證法三、總統證法四、劉徽證法12第12頁第12頁幾何原本歐幾里得（Euclid of Alexandria; 約 325 B.C. 約 265 B.C.）歐幾里得幾何原本是用公理辦法建立演繹體系最

4、早典范。證實一就是取材自幾何原本第一卷第 47 命題。13第13頁第13頁證實一14第14頁第14頁證實一15第15頁第15頁證實一16第16頁第16頁證實一17第17頁第17頁證實一18第18頁第18頁弦圖趙爽東漢末至三國時代吳國人為周髀算經作注，並著有勾股圓方圖說。19第19頁第19頁證實二ba(a + b)2=c2 + 4(ab)a2 + 2ab + b2=c2 + 2aba2 + b2=c2c20第20頁第20頁證實二cb a c2=(a b)2 + 4(ab)=a2 2ab + b2 + 2abc2=a2 + b221第21頁第21頁美國總統證實加菲（James A. Garfiel

5、d； 1831 1881）1881 年成為美國第 20 任總統1876 年提出相關證實22第22頁第22頁證實三 (a + b)(b + a)=c2 + 2(ab) a2 + ab + b2=c2 + aba2 + b2=c2aabbcc23第23頁第23頁出入相補劉徽（生于公元三世紀）三國魏晉時代人。魏景元四年（即 263 年）為古籍九章算術作注釋。在注作中，提出以出入相補原理來證實勾股定理。後人稱該圖為青朱入出圖。24第24頁第24頁a2b2證實四25第25頁第25頁證實四26第26頁第26頁證實四27第27頁第27頁證明四28第28頁第28頁證明四c2 a2 + b2 = c229第29

6、頁第29頁練習：1、某人欲橫渡一條河，由于水流影響，事實上岸地點C偏離欲到達點B200m，結果他在水中實際游了520m，求該河流寬度為_。 2、在一棵樹10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處池塘A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，假如兩只猴子所通過距離相等，則這棵樹高_米。3、小豐媽媽買了一部29英寸(74cm)電視機,下列對29英寸說法中正確是A. 小豐認為指是屏幕長度; B. 小豐媽媽認為指是屏幕寬度;C. 小豐父親認為指是屏幕周長;D. 售貨員認為指是屏幕對角線長度30第30頁第30頁二、 中國剩余定理與大衍求一術 Chinese Remainder Th

7、eorem =孫子定理=余數定理 韓信點兵；物不知數31第31頁第31頁 韓 信 點 兵 韓信是漢高祖劉邦手下大將，他英勇善戰，智謀超群，為漢朝建立立下了卓絕功績。聽說韓信數學水平也非常高超，他在點兵時候，為了保住軍事機密，不讓敵人知道自己部隊實力，先令士兵從1至3報數，然后記下最后一個士兵所報之數；再令士兵從至報數，也記下最后一個士兵所報之數；最后令士兵從1至7報數，又記下最后一個士兵所報之數；這樣，他不久就算出了自己部隊士兵總人數，而敵人則始終無法弄清他部隊終歸有多少名士兵。 這個故事中所說韓信點兵計算辦法，就是現在被稱為“中國剩余定理”一次同余式解法。它是中國古代數學家一項重大創造，在世

8、界數學史上含有主要地位。 32第32頁第32頁物 不 知 數“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何 ” 摘自南北朝時期數學著作孫子算經 孫子算經給出了這道題目的解法和答案，用算式表示即為： M=702+213+152-1052=23其中70、21、15和105這四個數是關鍵，以后數學家把這種解法編成了下列一首詩歌以便于記誦： “三人同行七十（）稀， 五樹梅花二一（）枝。 七子團圓正半月（）， 除百零五（）便得知。” 33第33頁第33頁 大衍求一術 孫子算經“物不知數”題即使開創了一次同余式研究先河，但由于題目比較簡樸，甚至用試猜辦法也能求得。 真正從完整計算程序

9、和理論上處理這個問題，是南宋時期數學家秦九韶。秦九韶在他數書九章中提出了一個數學辦法“大衍求一術”，系統地敘述了一次同余式組解法基本原理和普通程序。 秦九韶為何要把他這一套計算程序和基本原理稱為“大衍求一術”呢？這是由于其計算程序關鍵問題是要“求一”。所謂“求一”，通俗地說，就是求“一個數多少倍除以另一個數，所得余數為一”。 34第34頁第34頁那么為何要“求一”呢？ 我們能夠從“物不知數”題幾種關鍵數字、中找到下列規律：其中70是5和7倍數，但被3除余1；21是3和7倍數，但被5除余1；15是3和5倍數，但被7除余1，任何一個一次同余式組，只要依據這個規律求出那幾種關鍵數字，那么這個一次同余

10、式組就不難解出了。為此，秦九韶提出了乘率、定數、衍母、衍數等一系列數學概念，并詳細敘述了“大衍求一術”完整過程。 直到此時，由孫子算經“物不知數”題開創一次同余式問題，才真正得到了一個普遍解法.35第35頁第35頁 從孫子算經到秦九韶數書九章對一次同余式問題研究結果，在世紀中期開始受到西方數學界注重。年，英國傳教士偉烈亞力向歐洲簡介了孫子算經“物不知數”題和秦九韶“大衍求一術”；年，德國人馬蒂生指出，中國這一解法與西方世紀高斯算術探究中關于一次同余式組解法完全一致。從此，中國古代數學這一創造逐步受到世界學者矚目，并在西方數學史著作中正式被稱為“中國剩余定理”。 解題依據：1、假如被除數增長（或

11、減少）除數若干倍，除數不變，那么余數也不變；2、假如被除數擴大（或縮小）若干倍，除數不變，那么余數也擴大（或縮小）同樣倍數。36第36頁第36頁例1：一個數被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數最小是幾？ 解:題中3、4、5三個數兩兩互質。 則4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。 為了使20被3除余1，用202=40； 使15被4除余1，用153=45； 使12被5除余1，用123=36。 然后，401452364=274， 由于，27460，因此，274604=34，就是所求數37第37頁第37頁練習測試題 1、某數被4除余3，被5除少2，被7除少4，這個數最小是

12、多少？2、一個數被5除余2，被6除少2，被7除少3，這個數最小是多少？3、一個班學生分組做游戲，假如每組三人就多兩人，每組五人就多三人，每組七人就多四人，問這個班有多少學生？4、一個數除以5余2，除以3余1，那么這個數除以15所得余數是幾？5、一個圓圈上有幾十個孔（不到100個），張明像玩跳棋同樣，從A孔出發沿逆時針方向，每隔幾種小孔跳一步，希望一圈以后能跳到A孔.他試著每隔2孔跳一步，結果只能回到B孔，他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好回到A孔。你知道這個圓圈上共有多少孔嗎？38第38頁第38頁三、 兔子問題與黃金分割39第39頁第39頁 1 兔子問題 1）

13、問題 取自意大利數學家斐波娜契算盤書（12） 假如一對兔子每月生一對兔子；一對 新生兔，從第二個月起就開始生兔子；假定 每對兔子都是 一雌一雄，試問 一對兔子， 一年 能繁殖成 多少對兔子 ？40第40頁第40頁 2） 列表考察兔子逐月繁殖情況月 份 大兔對數 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔對數 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月時有大兔子 144 對，小兔子 89 對，共有兔子 144 + 89 = 233 對 。41第41頁第41頁42第42頁第42頁斐波那契數列遞推公式：通項公式：前后項比：43第43頁第43頁 斐波那契數

14、列構成分數數列 極限正是 。 44第44頁第44頁四、 費爾馬定理45第45頁第45頁 為何一個數學表示式，就能出一張郵票？ 郵票上這個數學表示式，有什么主要意義？46第46頁第46頁費馬在丟番圖算術一書頁邊批注中，“證實”過定理（公元1670年其子出版）希爾伯特：“一只會下金蛋母雞”費馬： “我已找到了一個奇妙證實，但書邊空白太窄了，寫不下。” （法國，）47第47頁第47頁這是一個被希爾伯特稱為“會下金蛋母雞”這是一個讓引車賣漿之流趨之若騖 數學猜想這是一個令“無數英雄競折腰”數學猜想費爾馬業余數學家之王，貴族出身，清廉法 官，興趣：旁批提猜想懷爾斯靦腆英國男子，蝸居閣樓，七年面壁，一鳴驚

15、人（1993年7月28日，與戴安娜一道獲People雜志最具魅力者，普林斯頓大學系主任成接線生，美國防部長休會，影星沙郎.斯通發e-mail)48第48頁第48頁 法國人費爾馬（PierredeFermat，1601-1665）是位律師，但他又是數學史上最偉大業余數學家。以他名字命名費爾馬大定理已有400多年歷史。有些人認為，費爾馬大定理是比哥德巴赫猜想更著名世界數論難題。 費爾馬是否真證出了這個結論，現在無從知曉，反正，后人沒有見到過費爾馬在別地方寫下這個結論證實。300多年來，一個高中生就能夠理解定理，成了數學界最大懸案。 這個問題吸引了諸多優秀數學家和業余數學興趣者，法國科學院曾于18和

16、1850年兩次懸賞征解，德國也于19懸賞十萬馬克征解。應征者絡繹不絕，但提出解法都是錯誤。長期來，人們既不能證實它，也未能否認它，只能對于許多給定整數n來證實其成立。 49第49頁第49頁 歐拉，18世紀最偉大數學家之一，在那本特殊版本算術中別地方，發覺費爾馬隱蔽地描述了對4次冪一個證實。歐拉將這個模糊不清證實從細節上加以完善，并證實了3次冪無解。但在他突破之后，索非熱爾曼、勒讓德、狄利克雷、加布里爾拉梅等幾種法國人再次取得突破時，距離費爾馬寫下那個定理已通過去了快要2，而他們才僅僅又證實了5次冪和7次冪。 上一世紀50年代，我國著名數學家華羅庚在他數論導引一書中寫道：“所可言者，只于2小于n

17、小于619時，此定理已經證實。即此甚微之結果，亦已耗卻頗多數學家之腦汁矣。”但是，在打通這條道路途中，那些披荊斬棘數學勇士們，表現出不凡聰明才智，由費爾馬大定理而引起摸索熱情帶動了整個數學發展。由于對這一猜想研究，增進了許多數論分支發展，這在數學史上是絕無僅有。費爾馬大定理也被人們譽為“一只會下金蛋雞”。 50第50頁第50頁 歷史新轉機發生在1986年夏，瑞波特證實了:費爾馬大定理包括在“谷山豐-志村五郎猜想”之中。童年就癡迷于此懷爾斯，聞此立刻潛心于書房七年，匯集了許多20世紀數論突破性結果。1993年6月23日，在英國劍橋大學牛頓研究所“世紀演講”上，宣布證實了費爾馬大定理。 不幸是，數

18、月后逐步發覺此證實有漏洞。這個證實體系是諸多深奧數學推理連接著最當代定理、事實和計算所構成邏輯網絡，任何一環節問題都會造成前功盡棄。懷爾斯和他團隊幾乎陷入了絕境。 1994年9月19日，懷爾斯在思維閃電中忽然找到了迷失鑰匙。懷爾斯歷史性長文“模橢圓曲線和費爾馬大定理”1995年5月發表在美國數年刊第142卷，實際占滿了全卷，共五章，130頁。 51第51頁第51頁1997年6月27日，懷爾斯取得沃爾夫斯克勒10萬馬克懸賞大獎。懷爾斯現為普林斯頓大學數學系主任。 很顯然，懷爾斯那冗長、幾百頁間接證實必定不會是費爾馬本人奇妙證實，最多也只是懷爾斯和他團隊一次南轅北轍摸索。更可悲是，他扼殺了費爾馬大

19、定理這只金雞，并且這只金雞是被活活折騰死。 9月，德國懸賞征解百年大限剛過，恰逢我國教育部、科技部、中科院和國家自然科學基金會聯合開展“10000個科學難題”征集活動。本次活動，擬向兩院院士等科技精英征集各個領域10000個科學難題，評審后結集出版。以提升我國自主創新能力；激勵青年科技人員攻克科學難題；普及科學知識激發青少年熱愛科學興趣，培養摸索未知知識好奇心。費爾馬大定理取得了浴火重生機遇。52第52頁第52頁 300多年后1994年9月，懷爾斯證實了費馬大定理 （捷克，）53第53頁第53頁問題：有費馬大定理是否有費馬小定理？作用：求高次冪余數費馬數： ，猜想它是素數，事實上只有n為0，1

20、，2，3，4時是素數54第54頁第54頁五、哥尼斯堡七橋問題與四色問題55第55頁第55頁一筆畫56第56頁第56頁 四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）英國大學生提出來。 德摩爾根（Augustus De Morgan，18061871）1852年10月23日致哈密頓一封信提供了相關四色定理起源最原始記載。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。 1872年，英國當初最著名數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數學界關注問題。世界上許多一流數學家都紛紛參與了四色猜想大會戰。 18781880

21、年兩年間，著名律師兼數學家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)兩人分別提交了證實四色猜想論文，宣布證實了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就處理了。 57第57頁第57頁六、三大作圖難題、非歐幾何58第58頁第58頁三大幾何作圖問題1、化圓為方： =2、倍立方問題 ： =3、三等分角2.1論證數學發端直到19世紀，法國數學家旺澤爾在代數方程論基礎上證實了倍立方和三等分任意角不也許性。之后，德國數學家林德曼證實了數 超越性，從而證實了化圓為方不也許性。59第59頁第59頁著名歐幾里德幾何原本中5個公設：1. 由任意一點到任意一點可作直線。 2. 一條有限

22、直線能夠繼續延長。 3. 以任意點為心及任意距離能夠畫圓。 4. 凡直角都相等。 5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側兩個內角和小於二直角，則這二直線經無限延后在這側相交（或：過直線外有且只有一條直線與它平行） 60第60頁第60頁非歐幾何含義：普通來講 ，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面不同含義。所謂廣義泛指一切和歐幾里得幾何學不同幾何學；狹義非歐幾何只是指羅氏幾何來說；至于通常意義非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。非歐幾何源于疑惑：第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證實第五公設？因為證實第五公設問題一直得不到處理，人們逐步懷疑證實路子

23、走得對不對？第五公設到底能不能證實？61第61頁第61頁羅巴切夫斯基幾何俄國喀山大學專家羅巴切夫斯基 和匈牙利數學家鮑耶.雅諾幾乎同時發覺了平行公理不可證性和非歐幾何學存在畢業于同一大學:列寧-政治家馬爾柯夫列可夫-科學家化學家62第62頁第62頁非歐幾何非歐幾何模型。復變函數理論。非歐直線非歐距離、非歐角、非歐圓、非歐三角形.，非歐三角形內角和小于180度；不存在非歐矩形。63第63頁第63頁黎曼幾何黎曼是世界數學史上最具獨創精神數學家之一。黎曼著作不多，但卻異常深刻，極富于對概念創造與想象。黎曼在其短暫一生中為數學眾多領域作了許多奠基性、創造性工作，為世界數學建立了豐功偉績。 因終年貧困和

24、勞累，黎曼在1862年婚后不到一個月就開始患胸膜炎和肺結核，其后四年大部分時間在意大利治病療養。1866年7月20日病逝于意大利，終年39歲。 德國哥廷根大學德國九所精英大學之一出了包括黎曼在內大數學家數學家 - 卡爾弗里德里希高斯數學家 - 大衛希爾伯特數學家 - 菲利克斯克萊因64第64頁第64頁65第65頁第65頁三種幾何關系歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別幾何。這三種幾何各自所有命題都構成了一個嚴密公理體系，各公理之間滿足友好性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確。在我們這個不大不小、不遠不近空間里，也就是在我們日常生活中，歐氏幾何是合用；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾

25、何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。 66第66頁第66頁七、賭金分派、蒲豐投針 德.梅勒和他一個朋友各出30個金幣、各選一個點數進行賭博，約定：誰選擇點數首先被擲出3次，誰就贏得全部賭注。 在游戲進行了一會兒后，德.梅勒選擇點數“5”出現了2次，而他朋友選擇點數“3”只出現了一次。這時候，德.梅勒因為一個緊急事情必須離開，游戲不得不停止。他們該怎樣分配賭桌上60個金幣賭注呢？ 67第67頁第67頁賭金分派問題爭論不休寫信求救通信探討產生思想68第68頁第68頁Blaise Pascal (1623-1662)Pierre de Fermat (1601

26、-1665)1654 年 Pascal 與 Fermat 五封通信，奠定概率論基礎。他們當初考慮一個擲骰子問題，開始形成數學盼望概念，并以“輸贏錢數學盼望”來為賭博“定價”。69第69頁第69頁而在三年后，即1657年，荷蘭另一數學家惠根斯1629-1695亦用自己辦法處理了這一問題，更寫成了論賭博中計算一書，這就是概率論最早論著，他們三人提出解法中，都首先涉及了數學盼望mathematical expectation這一概念，并由此奠定了古典概率論基礎。 70第70頁第70頁賭金分派計算辦法費爾馬：最多擲5次就能決定勝負，令a表示A勝，b表示B勝，考慮a和b排列：aab aba baa ,德

27、應得到： 60 9/12=45帕斯卡：再賭一局，若德贏，則可得所有賭金，若德輸，也有二分之一機會可得二分之一賭金，因此60（1/2+3/4）=45惠更斯：若取得a賭金概率是p，b概率是q，那么他所盼望取得賭金就是ap+bq，因此德可獲： 601/2+301/2=4571第71頁第71頁蒲豐（George-Louis Leclerc de Buffon, 1707.9.7-1788.4.16），法國數學家、自然科學家。179月7日生于蒙巴爾；1788年4月16日卒于巴黎.72第72頁第72頁蒲豐投針73第73頁第73頁 蒲豐10歲時在第戎耶穌會學院讀書，16歲主修法學，21歲到昂熱轉修數學，并開

28、始研究自然科學，尤其是植物學。1733年當選為法國科學院院士，1739年任巴黎皇家植物園園長，1753年進入法蘭西學院。1771年接受法王路易十四爵封。 蒲豐是幾何概率開創者，并以蒲豐投針問題聞名于世。投針問題可述為：設在平面上有一組平行線，其距都等于D，把一根長lD針隨機投上去，則這根針和一條直線相交概率是2l/D.74第74頁第74頁1850年，瑞士數學家沃爾夫在蘇黎世，用一根長36mm針，平行線間距為45mm，投擲5000次，得3.1596.1864年，英國人福克投擲了1100次，求得3.1419.19，意大利人拉茲瑞尼投擲了3408次，得到了準確到6位小數值3.1415929，這個結果

29、是如此準確，以致于諸多人懷疑其試驗真偽。75第75頁第75頁蒲豐提出了用試驗概率辦法計算 ：1) 取一張白紙，在上面畫上許多條間距為d平行線2) 取一根長度為針，隨機地向畫有平行直線紙上擲n次，觀測針與直線相交次數，記為m 3）計算針與直線相交概率 4）經統計試驗預計出概率:76第76頁第76頁 但是，蒲豐試驗主要性并非是為了求得比其它辦法更準確 值。蒲豐投針問題主要性在于它是第一個用幾何形式表示概率問題例子。計算 這一辦法，不但因其新奇，奇妙而讓人叫絕，并且它開創了使用隨機數處理擬定性數學問題先河，是用偶然性辦法去處理擬定性計算前導。 77第77頁第77頁 八、海岸線長度問題與 分形和混沌7

30、8第78頁第78頁 1. B.B.Mandelbrot工作 1967年法國數學家B.B.Mandelbrot在科學雜志上發表文章“英國海岸線 有多長？” 。 這看似極其簡樸，但Mandelbrot發覺： 當 測量單位變小時，所得長度是 無限 增大。79第79頁第79頁 在理論數學中，瑞典數學家Koch早在19就結構了如今稱之為“柯赫曲線” (Koch curve)幾何對象。80第80頁第80頁2. E.N.Lorenz工作 美國氣象學家E.N.Lorenz在天氣預報中發覺是混沌結識過程中一個里程碑。 1963年，他在麻省理工學院操作著一臺當初比較先進工具計算機進行天氣模擬，試圖進行長期天氣預報

31、。 Lorenz發覺混沌運動兩個主要特點： （1）對初值極端敏感；(2)解并不是完全隨機。Lorenz之后，混沌學研究開始蓬勃發展。 81第81頁第81頁3. 邏輯斯蒂映射（Logistic） 首先選定一個在(0,4)區間內參數k，然后對 于任意一個(0,1)區間內初始值 ，我們令 由均值不等式可知 也在(0,1)區間內，能夠繼續令 82第82頁第82頁 對于取值不太大 k，通過x值多次迭代， 發覺無論初始值如何，最后結果總是穩定，并且穩定狀態不依賴于初始值。 但當 k超出3時，情況發生了改變，穩定狀態變為兩個數值。 繼續增大k到3.444時，周期2穩定狀態也不再出現，出現周期4循環。83第8

32、3頁第83頁84第84頁第84頁 當k增大到3.56，周期又加倍到8個；到3.567，周期達到16個，此后便是更快速32，64，128周期倍增數列。 這種倍周期分岔速度如此之快，以至到3.5699就結束了，倍周期分岔現象忽然中斷： 周期性讓位于混沌。85第85頁第85頁86第86頁第86頁87第87頁第87頁東西方小學數學名題漫談1、盈虧問題2、雞兔同籠3、百羊問題4、李白買酒(歐拉巧解農婦買蛋)5、歐幾里得算題6、克拉維斯問題7、福爾摩斯算題8、奧克利提出問題9、牛頓提出問題10、普哇松巧分牛奶88第88頁第88頁 一、盈虧問題中國最著名數學著作當屬九章算術，書中共有九章相關實際應用問題及解

33、法內容而得名，其中有一章為“盈不足章”，也就是專門討論盈虧問題。盈虧問題特點是：在分東西時候，出現兩種方案，每種方案會出現盈或虧。解答盈虧問題用比較法：找出兩個相關差數，再求出一個單位量數值。 例1 某校安排學生宿舍，假如每間5人，那么有14人沒有床位；假如每間7人，那么多4個空床位。問宿舍幾間? 學生幾人？ 例2 少先隊員去植樹，假如每人種5棵，尚有3棵沒人種；假如其中2人各種4棵，其余人各種6棵，則種完所有樹苗。那么有幾位少先隊員？共有幾棵樹苗？ 89第89頁第89頁 二、雞兔同籠問題 我國古代數學著作孫子算經中有一道著名雞兔同籠問題：雞兔同籠，總體一數，有頭30，腳72，問雞兔數？雞兔同籠問題特點：已知兩總數，求兩物數解答此問題辦法：假設法，按一個情況來判斷 例1 籠中共有雞兔100只，雞兔足數共248只，問雞兔各有多少只？例2