1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報名號的話）： 08004 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?哈爾濱工程大學(xué) 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 田佳杰 2. 王長顯 3. 董永濤 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期2010 賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定摘要一般加油站都有若干個大型的地下儲油罐，并且有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”。但由

3、于許多儲油罐在使用一段時間后因為地基變形等原因，罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，因此定期對罐容表進行重新標(biāo)定就顯得尤為重要。本文通過把儲油罐放在三維坐標(biāo)系中，進行坐標(biāo)化處理，并將三維積分轉(zhuǎn)化成了一維積分，利用含參積分的方法對各液面高度下的幾何模型進行積分處理，在不同液面高度下均得到了相當(dāng)準(zhǔn)確的儲油體積。針對問題一，由于小橢圓形儲油罐（兩端平行的橢圓柱體）只做縱向傾斜的變位，所以我們以三維坐標(biāo)系中的橢圓形柱體為基本模型進行縱向傾斜相同的度數(shù)的變換，得到了有縱傾情況下的模型，并利用此模型分別計算出了儲油罐在傾斜變位情況下的進油和出油過程中各油位對應(yīng)的總油量，計算結(jié)果與各油位的實際量相對誤

4、差均在6%以下。同時做出了罐體在變位后從0cm120cm油位高度間隔為1cm的罐容表。針對問題二，我們把主體為圓柱體，兩端為球冠體的油罐模型放在問題一的模型中，并以此為基礎(chǔ)進行橫向偏轉(zhuǎn)的變化，由于橫向偏轉(zhuǎn)不改變油在圓柱罐體中的幾何形狀，因此與模型一相似建立類似的坐標(biāo)系。由于油位計的標(biāo)桿也隨油罐發(fā)生了橫向偏轉(zhuǎn)，我們用一個代換將其轉(zhuǎn)換為沿坐標(biāo)軸的方向，因此模型一的結(jié)論可應(yīng)用到圓柱體部分。對于兩頭的球冠狀的部分，我們采用含參重積分的方法求得其體積，再與前面圓柱部分相加得到總體積與油位高度以及縱傾角和橫向偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)得出縱傾角和橫向偏轉(zhuǎn)角，并且對要求的單位長度進行了標(biāo)定。關(guān)鍵詞：變位；罐

5、容表；含參積分；標(biāo)定模型假設(shè)罐體的尺寸是理想尺寸，即認(rèn)為在變位過程中罐體的幾何尺寸保持不變只有兩個自由度的變化會引起罐容表的變化，因此其它方向的任意變化都不影響。在第一問中，假設(shè)進油、出油不同時進行。問題重述及分析 通常加油站及化工產(chǎn)品都儲存在儲油罐中，在這些商品的交易中通常都采用儲油罐自身攜帶的計量系統(tǒng)進行計量。由于儲油罐的體積較大，且盛油后重力很大，再加上基礎(chǔ)設(shè)施等因素，多數(shù)儲油罐會有一定程度的變位，而稍微的變位都會給計量造成一定的誤差。在第一問中，我們只對小橢圓型的儲油罐的縱傾進行了探討，對油面與高端、低端的交線范圍，我們劃分了七個階段，然后用積分的方法求出了各個階段的體積與油位探測裝置

6、測得的油高之間的函數(shù)關(guān)系，并給出了油位在0-120cm范圍內(nèi)油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。 模型建立一、實驗?zāi)Ｐ停?對第一問在橢圓儲油罐縱傾的情況下，我們建立了積分模型，對油面在不同高度時分別進行了處理。圖2為對儲油罐的縱切面圖。階段一：油面在BG面以下，此時無論儲油罐中有沒有油，油位探測裝置的高度都為零。|AB|=|AG|tan4.10=0.028672356m.階段二：油面在BG面與Ca面之間，此時高端橢圓面油高不超過a點，|AC|=|Aa|tan4.10=0.175618183m,對應(yīng)的最大油面高度|GH|=(|AC|/tan4.10-0.4)*tan4.10=0.14694582

7、7m.階段三：油面在Ca面與Db面之間，此時低端橢圓面油高不超過該橢圓面中心點D,|AD|=0.6m, 對應(yīng)的最大油面高度|GI|=(|AD|/tan4.10-0.4)*tan4.10=0.571327644m.階段四：油面在Db面與Ec面之間，此時高端橢圓面油高不超過該橢圓面的中心點c，|AE|=|ac|+2.45*tan4.10=0.775618183m, 對應(yīng)的最大油面高度|GJ|=(|AE|/ tan4.10-0.4)*tan4.10=0.746945827m.階段五：油面在Ec面與Fd面之間，此時低端橢圓面油高不超過該橢圓面的最高點點F, |AF|=1.2m, 對應(yīng)的最大油面高度|G

8、K|=(|AF|/ tan4.10-0.4)*tan4.10=1.171327644m.階段六：油面在Fd面與Le面之間，此時低端面油面高度超過低端面最高點F，并且油面不能過油位探測裝置所在的點L。對應(yīng)油面最大高度|GL|=1.2m.階段七：油面超過Le面，此時油位探測裝置顯示儲油罐已滿。對于階段一與階段七，鑒于油位探測裝置不能發(fā)揮作用，我們不做過多探討。（1）、對階段二式模型的建立設(shè)a 橢圓面短半徑，mb 橢圓面長半徑，m 油罐傾斜角，radl 低端液面距底面橢圓中心距離，mV 油罐中儲存油的體積，m3 H 油位測量計顯示的油面高度，m橢圓方程為，可得|AB|=-l，|BC|=|AB|*co

9、t 所以ABC的面積為S= dV=S*dy V= = = eq oac(,1) 如圖4所示，此時|AC|=b-l,|GH|=h,由AccGHc,可得l與h的關(guān)系為h=b-l-0.4tan.從而可得此種情況下儲油體積V與油位探測裝置測出的油位高h之間的關(guān)系式為V11= eq oac(,2)(2)、對階段三模型的建立 由于直接求此時儲油的體積比較復(fù)雜，我們把液面進行了延長，使之與儲油罐的邊緣相交，則縱截面APD所在油體的體積V1與縱截面cbP所在油體的體積V2都類似與階段一中油體的體積，我們可以用類似的方法得到兩者的體積V關(guān)于油位高度h的函數(shù)關(guān)系，且兩者之差即為此時儲油罐中儲油的體積。設(shè)點D到低端

10、面橢圓中心的距離為L1,b到高端面橢圓中心的距離為L2.帶入方程 eq oac(,1)可得：此時儲油體積V=V(L1)-V(L2).又可知：|AD|=b- L1,|bc|=b- L2.由ADPcbP,可得| bc |=|AD|-|AC|* tan= b- L1-2.45* tan= b- L2,所以L2= L1+2.45* tan利用圖4，可得V1對應(yīng)的測高h與L1的關(guān)系, L1=b-h-0.4* tan.即L2= b-h+2.05*tan帶入方程 eq oac(,2)，即此時儲油體積可換算為：V= V(b-h-0.4* tan)-V(b-h+2.05*tan). = - eq oac(,3)

11、（3）、對階段四模型的建立： 此階段時，如圖5所示，由于液面已過低端橢圓面的中心D點，所以對儲油罐縱切時在接近橢圓長軸終點時的切面不再是三角形而是梯形，不能再像前面模型中的直接積分方法。 低端橢圓面如圖6所示，AB為液面與低端面的交線，我們在AC、BD處進行了縱切，這樣此時儲油罐中油體體積V就分成了三部分，設(shè)低端面為中間的那一部分體積為V1,由于左右兩端的油體關(guān)于中間部分對稱，可設(shè)兩端的油體體積之和為V3。低端橢圓面中心到AB的距離為，高端橢圓面中心到該面與液面的交線的距離為。V2= = eq oac(,4)V3=2* =2 eq oac(,5)類似的，由三角形相似可得=b-(h/tan+0.

12、4)* tan=b-0.4tan-h= b-(h/tan-2.05)* tan=b+2.05tan-h則可得儲油總體積與測得的油位高h之間的關(guān)系為V= V2()+V3()-V1() = V2(b-0.4tan-h)+V3(b-0.4tan-h)-V1(b+2.05tan-h)（4）、對階段五模型的建立此時對油體縱切面如圖7所示，液面與兩端面的交點都過了兩端橢圓面的中心，且都與圖6類似，因此我們?nèi)园褍τ兔嫜娱L使之與儲油罐罐壁相交，把儲油體像階段四模型那樣縱切后，同樣也得總體積等于中間部分的體積加上兩端的體積，不過與模型四的差別在于儲油罐高端面也被分成了三部分。設(shè)低端、高端橢圓面中心與各面分別與液

13、面的交線的距離分別為和，同樣的也可得=h-b+0.4* tan= h-b-2.05* tan 設(shè)設(shè)低端面為中間的那一部分體積為V1,由于左右兩端的油體關(guān)于中間部分對稱，可設(shè)兩端的油體體積之和為V3。油體的總體積為V，則V與測得的液高h之間的關(guān)系為：V=V2()+V3()-V2()-V3() = V2(h-b+0.4* tan)+V3(h-b+0.4* tan)-V2(h-b-2.05* tan)-V3(h-b-2.05* tan)（5）、對階段六模型的建立 BG為油位探測裝置連桿，作輔助線MN，使之與BG平行且到高端面的距離等于0.4m.此時儲油罐液面上空余部分相當(dāng)于階段二模型中的儲油體積,若

14、要求儲油體積可用儲油罐總體積減去上部分的空余體積，|MR|相當(dāng)于階段二模型中的測高，設(shè)總儲油體積為V，空余體積為V4,儲油罐體積為V0，儲油罐長度為x, V0=,|CG|為測得的油位高h,則|BC|=1.2-h,由三角形相似可得|MR|=（1.2-h）/ tan+1.65）* tan=1.2+1.65 tan-h,則此時儲油罐中油體的體積V與測高h之間的關(guān)系為： V= V0- V4 = -V11(|MR|) =-V11(1.2+1.65 tan-h)模型求解利用各個階段內(nèi)的公式進行賦值標(biāo)定，其結(jié)果如下：標(biāo)尺/ m理論標(biāo)定值/m3標(biāo)尺/ m理論標(biāo)定值/m3標(biāo)尺/ m理論標(biāo)定值/m300.0016

15、74350.411.0049879680.822.675612570.010.0035310440.421.0446199690.832.7173485310.020.006263510.431.0845728050.842.7588657480.030.0099747640.441.124830560.852.8001501110.040.0147562940.451.1653776980.862.8411872590.050.0206908360.461.2061990250.872.8819625590.060.0278541610.471.2472796650.882.92246108

16、50.070.0363162980.481.2886050360.892.9626675850.080.0461424230.491.330160820.93.002566460.090.0573935320.51.3719329480.913.0421417260.10.0701269530.511.4139075760.923.0813769870.110.084396760.521.4560710670.933.1202553920.120.1002541080.531.4984099730.943.1587595950.130.1177475040.541.5409110170.953

17、.196871710.140.136923040.551.5135610820.963.2345732570.150.15781840.561.5563471870.973.2718451050.160.1802595010.571.5992564850.983.3086674060.170.2040003310.581.6422762360.993.345019520.180.2289082180.591.68539380413.3808799270.190.2548872770.61.7285966451.013.4162261320.20.2818609410.611.771872288

18、1.023.4510345480.210.3097650080.621.8152083281.033.4852803610.220.3385440020.631.8585924121.043.5189373740.230.368148970.641.902012231.053.5519778140.240.398536040.651.9454555041.063.5843721030.250.4296654210.661.9889099741.073.6160885790.260.4615006650.672.0323633931.083.6470931440.270.4940081210.6

19、82.075803511.093.677348820.280.5271565090.692.1192180651.13.7068151730.290.5609165780.72.1625947741.113.7354475390.30.5952608430.712.205921321.123.7631959640.310.6301633540.722.2491853441.133.7900036550.320.665599520.732.2923744281.143.8158046070.330.701545950.742.335476091.153.840519570.340.7379803

20、240.752.3784777681.163.8640481290.350.774881280.762.4213668161.173.8860548470.360.8122283210.772.4641304731.183.9066553470.370.8500017260.782.506755871.193.9255372640.380.888182480.792.5492300041.23.9427448350.390.926752210.82.5915397310.40.9656931250.812.633671746 表1 模型檢驗與誤差分析我們對求得的各個階段的油體體積V與油位探測裝

21、置測得的油位高度h之間的關(guān)系函數(shù)，對實驗的高度值進行帶入運算，求得理論儲油量，并計算出與實際儲油量的誤差如下表所示：高度m實際儲油量m3理論值m3百分誤差高度m實際儲油量m3理論值m3百分誤差0.411290.962861.0100470.0490080.739392.312732.4027460.0389220.423451.012861.0144750.0015940.75092.362732.4519480.0377610.438331.062861.1180470.0519240.761552.412732.5011510.0366480.450541.112861.1675330.0

22、491290.773432.462732.5503530.035580.46391.162861.2221460.0509830.785392.512732.5995560.0345540.477741.212861.2791980.0546950.796042.562732.644690.0319820.489371.262861.3274870.0511750.808272.612732.6962780.0319770.502561.312791.3826070.0531830.82082.662732.7488380.0323380.514691.362791.4336050.05196

23、30.83282.712732.7988720.0317550.526841.412731.4849550.0511250.844472.762732.8472230.0305830.538881.462731.5360830.0501480.856292.812732.8958630.0295560.551961.512731.5918740.0523190.86762.862732.942070.0277150.56441.562731.6451480.052740.880062.912732.9925690.027410.576561.612731.6973980.05250.892922.962733.0442140.0275030.588741.662731.7498860.0524170.904343.012733.0896440.025530.599561.712731.7966210