1、從擲硬幣打賭看投資組合問題什么是投資組合？首先我們從擲硬幣打賭談起。假設有一種可以不斷重復的投資或打賭，其收益由擲硬幣確定，硬幣兩面出現的可能性相同；出面你投一虧一，出面你投一賺二；假設你開始只有10元0，輸了沒法再借?，F在問怎樣重復下注可以使你盡快地由百元戶變為百萬元戶?我們可以象小孩子玩登山棋那樣，幾個人下不同的賭注，然后重復擲硬幣，看誰最先變成百萬富翁。你可能為了盡快地變為百萬富翁而全部押上你的資金?？墒侵灰幸淮文爿斄耍憔妥兂筛F光蛋，并且永遠失去發財機會。你可能每次下注10元。但是，如果連輸10次，你就完了。再說，如果你已經是萬元戶了，下10元是不是太少了?每次將你的所有資金的10用

2、%來下注，這也許是個不錯的主意。首先，你永遠不會虧完假設下注的資金可以無限??；第二，長此以往，贏虧的次數大致相等時，你總是賺的。假設平均兩次，你輸一次贏一次，則你的資金會變為原來的X倍?？墒?，以這樣的速度變為百萬富翁是不是太慢了，太急人了?有沒有更快的方法?有!理論研究表明，每次將你所有資金的25或%0.2倍5用來下注，你變為百萬富翁的平均速度將最快。幾個不同下注比例帶來的資金變化如圖所示擲幣結果分別是B,.。.實.驗）表明，張大膽每次投100，嬴時嬴得多，可虧時虧得慘，一次虧損就永遠被淘汰出局。李糊涂每次下50，收益大起大落，到頭來白忙。王保守每次下10，穩賺但少賺；“你”每次下25，長期看

3、結果最好。前面的打賭中，硬幣只有一個。如果同時有兩個、三個或更多，各個硬幣盈虧幅度不同，兩面出現的概率（頻率或可能性）也可能不同；怎樣確定在不同硬幣上的最優下注比例？如果不同硬幣出現面面是不同程度相關的比如一個出面，另一個十有八九相同正相關，或相反一一反相關）又如何確定最優下注比例？股票、期貨、期權、放貸、房地產、高科技等投資象擲硬幣打賭一樣，收益是不確定的且相互關聯的。如何確定不同證券或資產上的投資比例，以使資金穩定快速增長并控制投資風險，這就是投資組合理論要解決的問題。投資組合也就是英文說的f當今世界上著名的投資組合理論是美國的馬科維茨理論。筆者則從自己建立的一個廣義信息理論（參見專著廣義

4、信息論，中國科技大學出版社，199和3自）己的投資實踐出發，得到了投資組合的幾何增值理論，或者叫熵理論（因為其中采用了同物理學和信息論中的熵函數相似的熵函數作為優化標準），并完成了專著投資組合的熵理論和信息價值-兼析股票期貨等風險控制（中國科技大學出版社，9現在筆者知道美國的和最早提出了用幾何平均產出比-即1+幾何平均收益或平均復利-作-為優化證券組合的準則；后來等人研究了用幾何平均產出比的對數作為優化準則最近有人提出也是信息論研究者曾提出過這一準則。不同的是，筆者的研究更注重應用。具體說來：1）結合打賭模型討論了分散和相關問題；提供了各種復雜情況下（考慮手續費，賣空，透支，銀行利率等）的最優

5、投資比例公式；2）提出一些適用結論：比如分散投資極限定理，投資容量，新的風險測度.幾何級數增值的魅力1988-年1，9日8本9股市從215點6上4漲了80，到達389點2；1然后開始大跌，199年28月跌到141點9，4跌幅達63。雖然80大于63，算術平均大于0，可是總的來說是跌的，跌了約1/，3因為累積產出比是0累積收益是=%炒過股票的人都知道，如果你總是將所有的資金買入股票，則先賺50再%虧50；%或者先虧后賺，雖然算術平均收益是0，可是你的資金會變少（變成0.義倍從可見算術平均收益不能反映實際增值情況。能反映實際增值的收益是什么呢？是幾何平均收益。設每一元資金投資N年后變為元，則累計產

6、出比是1累計產出比的次開方被稱為幾何平均產出比，我們記為,M投資的平均復利又叫幾何平均收益，我們記為，則有可見幾何平均產出比或幾何平均收益才能反映長期投資業績。因為年累積產出比投資組合的幾何增值理論（或者說熵理論）就是用幾何平均產出比作為優化投資組合的標準，根據這一標準，使幾何平均收益達最大的投資比例就是最好的投資比例。穩定的幾何增長具有無比的魅力。幾何平均收益的微小優勢，在長期累計后可能導致驚人的成功。下表顯示了幾何平均收益對2年0累積產出比的影響。表1幾何平均股益對2D年累積產出比的最幾何平均收益10%15%敏23.8%年產出比6.716.4臉371.5其中23.就是8%巴費特管理的伯克希

7、爾公司32年里的幾何平均收益。在過去的32年里，伯克希爾公司每股資產從19美元增長到190美1元1，算術平均年收益大約是1000/32=，可3是1幾2何5平均年收益只有23.（8稅%后）.美國的基金管理大師彼得林奇之所以有成功，是因為他十年里使基金的幾何平均收益達到30。據說李家誠的幾何平均收益是28，索羅斯的量子基金幾何平均收益也是28（早期是35）。有人做過計算說明，雖然兩百年前美國政府從印地安人手里以極便宜的價格買了大片土地，但是如果印地安人把錢存入銀行每年得到現在美國長期國債的收益，則利滾利后，印地安人現在將極其富有，足以買回更大面積的土地。可見穩定的幾何平均收益的威力。有人炒期貨看到

8、可能的盈利幅度大于虧損幅度就大量投入；有人炒期貨還要透支。中國人在期貨市場上破產的比例極大，原因就是因為許多人看不到穩定增值的重要性。許多股民類似，他們對收益波動極大的虧損垃圾股、莊股、新股、權證等倍加追捧；而對收益較為穩定的年收益達2030的投資（比如認購新股）不以為然。這不能不說是中國股市不成熟的表現。筆者特別羨慕那些有穩定收入的年輕人。只要他們有耐心，采取穩健的策略（比如每年認購新股，如果認購新股效益不變的話），一、二十年后成為百萬富翁將極其容易。當然，對于包括筆者在內的許多人既不年輕又有生活壓力，要成為百萬富翁，我們當采取更加進取的投資策略，即選擇多種投資方式，優化投資組合，贏得更高的

9、幾何平均收益。擲硬幣打賭問題的數學解答擲硬幣打賭問題是：有一種可以不斷重復的投資或打賭，其收益由擲硬幣確定，硬幣兩面出現的可能性相同；出面你投一虧一，出面你投一賺二；假設你開始只有10元0，輸了沒法再借?，F在問怎樣重復下注可以使你盡快地由百元戶變為百萬元戶?不知讀者是否記得中學學過的拋物線公式+。拋物線可以用來描述炮彈飛行軌跡，它有一個最高點當水平距離時，高度達最大。下面我們說明中學數學知識如何能幫助我們盡快成為百萬富翁。對于上面的擲硬幣打賭，幾何平均產出比隨下注比例的變化是R蕓=（11）”+藥產=（_%工+0+1產要使達最大，只需使上式右邊括號中的內容達最大。根據中學數學知識，義時，括號中的

10、內容和幾何平均收益達最大。這就是說，對于上面的擲硬幣打賭，高5是最優投資比例。圖1幾何平均收益，和算術平均收益.遁q的變化對于上面的擲硬幣打賭，算術平均收益和幾何平均收益隨下注比例ag的變化如圖所示。容易看出，算術平均收益和投資比例成正比關系；而g幾何平均收益不是，太大反而不好，如果則從長遠看必然虧損。上面假設硬幣的兩面出現的可能性或概率相同，即；嬴虧幅度是12給定的（1和2）。如果硬幣是彎的，一面出現的可能性大，另一面出現的可能性小和皆不等于并且嬴虧幅度也是變的為小于和大于，1212這時幾何平均收益等于Rg=Q+zqq）門口+馬口）”則這時最優比例如何求法？現在我們用表示資金翻一番數目，如果

11、，則如果不等于呢我們可以用表示翻番數，即這一公式很象通信理論中的熵公式，所以我們把翻番數叫做增值熵。這樣求幾何平均收益最大和求增值熵最大就是一回事?？上н@時不能用中學生的方法求最優投資比例。這時要用到大學生學到的求極值的方法（可見數學還是有用的）令對的導數等于可以求出最優投資比例是注意上式分子括號中正好是算術平均收益。有了這一公式，我們就可以對付收益更復雜的打賭或投資。比如重復擲骰子打賭，可能出現的數字是1到6；出1虧一倍，出345嬴一倍。一。于是可以求出最優下注比例上面結論?？梢郧蟪鲎顑炏伦⒈壤厦娼Y論。=。讀33者.不妨3%通過反復擲硬幣或擲骰子檢驗股票和國債的投資組合優化-漫談投資組合的

12、幾何增值理論上一節我們介紹了擲硬幣打賭下注比例的優化公式：有人會問：剩下的資金不投資不是浪費掉了？回答是：剩下的資金如能產生穩定收益更好，即使不能產生，那也不是浪費。就象打仗要有后備軍一樣，風險投資也要有后備軍，它能在前次投資虧損后發揮更大效用。可幸的是，目前深圳上海交易所允許股民同時從事股票和國債買賣，使得股民可以用“后備軍”購買國債，同時得到穩定的國債收益。TOC o 1-5 h z假設只有購買二級市場股票和購買國債兩種投資方式，股票收益近似用擲硬幣打賭收益來模擬，即已知國債收益率和股票收益的概率預測。01122如何優化股票和國債的投資比例？這時資金的平均翻番數或增值熵變為H=lRog=lPog【12+（r1-）q+rq】+Plo【g21+（r1-）q+rq】2101202一是投資國債的比例。令對的導數等于可以求出最優投資比例：q*=d-+（PdP）R/（d）.1122012其中是投資國債的產出比；和是超出國債收益00110220的收益。國債收益也可以說是市場平均收益，我們可以說和是超常收益。12因為國債利率反映了資金成本，我們也說上式是考慮資金成本的優化公式。例：可選擇的投資是股票和國債，投資人每年年終調整投資比例,股市每年的漲跌幅由擲硬幣確定，收益預測，8年