1、傳染病模型2模型1(SI模型)模型:34模型2(SIS模型)模型:5令 s=l/m接觸數(再生數), 一個傳染期內每個病人有效接觸的平均人數7模型3(SIR模型)數值計算模型:8在相平面上討論解的性質(軌道走向):10評閱要點: 1)學生答卷中應包含對傳播機理和傳播狀況的敘述(如:傳播途徑、傳播方式、潛伏期和傳播地區等)，并且給出建模原理、方法、思路或框圖。2)模型中的人口至少有3類:易感者、患者和恢復(與死亡)者，仔細一些的可以再加入潛伏者、隔離者、疑似病人、確診病人，治愈者和留觀者等，要弄清楚他們之間的關系。3)模型還應包含對于傳染率、治愈率和死亡率等重要概念的清晰表述。模型分析和計算中要

2、給出上述參數的估計方法和估計值，還可包括平均治愈天數、隔離率和潛伏期等。11SARS建模和預測大部分答卷都在敘述了SARS傳播機理的基礎上，作出類似于下面這些基本合理的假設:單位時間內感染的人數與現有的感染者成比例;單位時間內治愈人數與現有感染者成比例;單位時間內死亡人數與現有的感染者成比例; SARS患者治愈恢復后不再被感染;各類人口的自然死亡可以忽略;忽略遷移的影響。12這些比例系數可以是常數、時間的函數、時間和各類人口的函數、或分幾段取常數。當然，還可以根據需要做其它假設。建立模型一般是將總人口分為易感者S(susceptible)、患者I(infective)、恢復者R(removed

3、)，再仔細一些的還有潛伏者E, 隔離者Q(quarantinable)、疑似病人P(peradventure)和確診病人J等類型。敘述或作出各類人口之間流動的示意圖，并根據傳染病建模的一般原理建立起如SIR, SEIR, SEQPIJR等類模型。這些模型基本思路相同，差異在于人口分類的多少，關鍵在于參數的確定。例如最簡單的SIR模型為14由于隔離等控制措施的不斷加強和治療情況的變化，b, g, d也是隨時間而變化的; 另外，由于易感者的數量特別大，可以近似看作常數，且將常數合并到b中去。在實際應用中，我們最關心的是感染者數量的變化。取時間單位為天，將模型中的第2個方程離散化得遞推關系為在離散化

4、的模型(2)中，b(t)的含義是每天每個SARS感染者傳染的人數，是一個十分重要的參數，其確定的原則是:當天新增SARS病人人數除以當天SARS感染者人數，再進行曲線擬合即可。g(t)和d(t)是SARS患者每天治愈和死亡所占的比例，可以一起確定，其方法是當天SARS感染治愈和死亡人數除以當天SARS感染人數，再進行曲線擬合即可。15例如，利用衛生部公布的4月20日至5月15日全國的數據進行計算，可以得到b(t)隨時間變化的關系如圖1中折線所示，用指數曲線b(t)=ae-bt對其進行回歸擬合得到b(t)的表達式，其曲線如圖1中的光滑曲線所示。同理得到d(t)+g(t)的表達式。將這些函數代人(

5、2)進行遞推計算得每天的SARS感染者人數(見圖2)。171、問題的提出(略)2、數學模型的分析與建立2.1 分析與假設 SARS爆發初期，政府和公眾對其重視程度遠遠不夠;當被感染者大幅度增加時，政府才開始采取多種措施以控制SARS的進一步蔓延。所以SARS的傳播可以分為三個階段:a) 控制前，接近于自然傳播時的傳播模式。b) 過渡期，在公眾開始意識到SARS的嚴重性到政府采取得力措 施前的一段時間內。c) 控制后，在介人人為因素之后的傳播模式。 我們統一將所有地區的SARS傳播規律用“控制前”和“控制后”兩個時期來分析。182.2 總體假設1.假設一個SARS康復者不會二度感染，他們已退出傳

6、染體系，因此將其歸為“退出者”。2.不考慮這段時間內的自然出生率和死亡率, 由SARS引起的死亡人數，歸為“退出者”。3.假設潛伏期為一常數t=5天。4.根據國家衛生部資料可知處于潛伏期的SARS病人不具有傳染性。192.3 控制前(包括控制力度不大的階段)的傳播模型的相關假設1.直接接觸。2.在疾病傳播期內所考察的地區的總人數N視為常數。3.設每個病人單位時間有效接觸的人數l1可視為常數。4.流入和流出的人群中的帶菌者處于潛伏期。5.將人群分為四類:健康者(易受感染者):用S表示健康者在人群中的比例。處于潛伏期者:用E表示他們在人群中的比率。病人(已受感染者):用I表示病人在人群中的比例。退

7、出者(包括“被治愈者”和“死亡者”):用R表示退出者在人群中的比例。20控前模型的建立參數設定1) l1每個病人平均每天有效接觸(足以使健康者感染)的人數。2) q退出率，為SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。3) l(流入)流出人口占本地總人口的比率。4) e1處于潛伏期的病人的日發病率。5) p流入人口中帶菌者所占的比例。21控前方程的建立22參數的確定1) l1根據醫學資料和有關數據推導而得。2) q由該城市的醫療水平和已知的統計數據分析，求其統計平均值。3) l由經濟發達程度和交通狀況決定。4) e1根據醫學研究和調查的有關結果和該城市的疫情發展狀況可得。5) p由流入該城市人群的地

8、區分布情況和各其他地區的疫情決定。24健康者(易受感染者):用S表示健康者在人群中的比例.病人(已受感染者):用I表示病人在人群中的比例.退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”):用R表示退出者在人群中的比例.自由帶菌者:不可控的病毒攜帶者(未被發現的病人,有傳染性)。用M來表示這部分人在人群中的比例.疑似者:所有被疑似為非典病的非健康者。包括已出現有關癥狀但未確診的被隔離者，未出現癥狀但已疑似帶菌的被隔離者:用Y表示疑似者在人群中所占比例.25控后模型的建立補充參數設定1) y1疑似中每日被排除人數占疑似人數的比例;2) y2疑似者中每日確診的人數占疑似人數的比例;3) e每個自由帶菌者轉化為

9、病人的日轉化率;4) l2每個自由帶菌者發病后到被收治前平均每天感染的有效人數;5) a被自由帶菌者有效感染的人中可以控制的比率。27 此模型的優點:(1)明確了疑似者所指的范圍;(2)可從現有數據中分析出所需的參數和變量初值;(3)將l2定義為“有效接觸人數”既有利于數據的分析也可減少未知參數的數量。參數的確定(以北京為例來說明參數分析方法)a) y1疑似者的日排除比例28b) y2疑似轉化為病例的日轉化比:c) q的計算公式d) e從數據可推算出其值在12% -30%之間，經過分析取e=20 %e) a與城市的人口密度、生活習慣等因素有關，由于在強化控制階段對人員流動控制得相當嚴格，還采取

10、了諸如封校、小區隔離、公共場合的關閉、減少聚集活動等有效措施，故我們可估計a=70% 90%294)模型的求解:無解析解，可由Matlab求數值解。30考慮自愈的SARS的傳播模型該文根據對SARS傳播的分析，把人群分為5類:易感類、潛伏期類、患病未被發現類、患病已被發現類和治愈及死亡組成的免疫類，并考慮自愈因素，提出了兩個模型:微分方程模型和基于Small-World Network的模擬模型。對微分方程模型，以香港為例討論了自愈的影響，在一定意義下說明自愈現象在SARS傳播中是普遍存在的。311 基本假設與符號1.1 基本假設(2) 假設人們被感染后需先進入潛伏期，在潛伏期內不具備傳染性;

11、(3) 假設SARS患者被發現后就立即被隔離，被隔離者不具備傳染性，SARS患者只在被發現前可以傳染他人;(4) 假設SARS康復者不會被再次感染，并且不具備傳染性;(5)不考慮在SARS傳播期間人口的自然出生和自然死亡;(6)所研究地區的人口總量一定，不考慮該段時間內人口的遷入遷出;321.2 符號說明N我們所研究區域的人口總數;S易感類，該類成員沒有染上SARS，也沒有免疫能力，可以被傳染上SARS;E潛伏期類，該類成員已經感染了SARS病毒，但尚處于潛伏期，還不是SARS患者，不能把病毒傳染給S類成員;Iu患病未被發現類，該類成員已經成為真正的SARS患者，能夠把病毒傳染給S類成員;Ii

12、患病已被發現類，該類成員雖然是SARS患者，但由于發現后立即被嚴格隔離，不能傳染給S類成員;332 微分方程模型2.1 模型建立我們把一個封閉區域內的人群完備的分成5類: S類、E類、Iu類、Ii類和R類，設第t天時五類成員的人數分別為S(t), E(t), Iu(t), Ii( t ), R ( t)，該地區總人口為N。考慮自愈因素，則各類成員之間的流動情況如下圖所示:R免疫類，該類成員為SARS康復者或因患SARS死亡，已經具有免疫力，不再對其它成員產生任何影響;H潛伏期天數; L傳染期天數;34S(t)E(t)R(t)Iu(t)Ii(t)sIuSgEzIucIimE35其中: s是患病人

13、群每天接觸并傳染易感人群的比例系數;g是SARS感染者的日發病率，m是SARS感染者的日自愈率;z是患病人群每天被隔離的比率，c是免疫率;借鑒以往微分方程建立傳染病模型的思想，我們得到如下的關于SARS傳播的SEIuIiR微分方程模型:362.2 模型求解及結果分析2 .2 .1 參數意義及確定(1) s是患病人群每天接觸并傳染易感人群的比例系數易知s=lq. 其中，l為一天內一個患病者與他人的接觸率，q為一個易感者接觸一個患病者后被感染的概率(2) g是SARS感染者的日發病率，m是SARS感染者的日自愈率.假定每個SARS感染者的實際潛伏期天數服從區間1,H上的均勻分布。也就是說，SARS感染者以均等的概率在這H天之中的任何一天發病或者自愈。(H為潛伏期天數上限)容易得到:37(4)c是免疫率，也就是患病人群每天病死率和治愈率之和。可以根據實際數據得到。(由每天數據計算出當天c值，其平均值即為所求)(3) z是患病人群每天被隔離的比率，反映了社會的警覺程度及政府措施的力度。2.2.2 模型求解及結果分析人口增長模型39為簡單起見只考慮自然的出生與死亡，不計遷移等社會因素的影響。1、基本符號：一、人口模型發展方程40412、數學推導：4243定解條件：初始密度函數嬰兒出生率（可由人口調查資料得到）（對人口預測和控制起重要作用）