1、8.3 直線、平面平行的判定與性質高考數學考點一直線與平面平行的判定與性質類別文字語言圖形語言符號語言一條直線與一個平面沒有公共點,則稱這條直線與這個平面平行a=a平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行(即線線平行線面平行)ab,a,ba一條直線和一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(即線面平行線線平行)a,a,=bab考點清單考點二平面與平面平行的判定與性質1.判定定理序號文字語言圖形語言符號語言判定定理1如果一個平面內有兩條相交的直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行面面平行”) 判定定理2如果兩個平面同垂直于一條直線

2、,那么這兩個平面平行判定定理3平行于同一個平面的兩個平面平行 2.性質定理序號文字語言圖形語言符號語言性質定理1如果兩個平面平行,那么在一個平面內的所有直線都平行于另一個平面且aa性質定理2如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行(簡記為“面面平行線線平行”)且=a且=bab性質定理3如果兩個平行平面中有一個垂直于一條直線,那么另一個平面也垂直于這條直線且ll知識拓展線線平行、線面平行、面面平行的相互轉化利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉化,解決平行關系的判定時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而應用性質定理時,其順序

3、正好相反.在實際應用中,判定定理和性質定理一般要相互結合,靈活運用.考法一直線與平面、平面與平面平行的證明方法知能拓展例1正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一點P、Q,且AP=DQ.求證:PQ平面BCE.解題導引證法一:證法二: 證明證法一:如圖所示,作PMAB交BE于M,作QNAB交BC于N,連接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB,AE=BD.又AP=DQ,PE=QB,PMABQN,=,=,=,PMQN,即四邊形PMNQ為平行四邊形,PQMN.又MN平面BCE,PQ平面BCE,PQ平面BCE.證法二:如圖,在平面ABEF內,過點P作PMBE,交

4、AB于點M,連接QM,、則PM平面BCE,且=,易知AE=BD,又AP=DQ,PE=BQ,=,=,MQAD,又ADBC,MQBC,MQ平面BCE,又PMMQ=M,平面PMQ平面BCE,又PQ平面PMQ,PQ平面BCE.方法總結1.利用直線與平面平行的判定定理.使用該定理時,應注意定理成立時所滿足的條件.2.利用面面平行的性質定理,把面面平行轉化為線面平行.(1)已知直線在一平面之內,若兩平面平行,則該平面內的所有直線與另一平面無公共點,推得線面平行.(2)若一條直線在兩平行平面外,且與其中一平面平行,則這條直線與另一平面平行.例2如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B

5、1,A1D1的中點,E,F分別是B1C1,C1D1的中點.(1)求證:四邊形BDFE為梯形;(2)求證:平面AMN平面EFDB.解題導引證明(1)連接B1D1.在B1D1C1中,E,F分別是B1C1,C1D1的中點,EFB1D1且EF=B1D1,又知四邊形BDD1B1為矩形,BDB1D1,EFBD且EF=BD.四邊形BDFE為梯形.(2)連接FM,在A1B1D1中,M,N分別為A1B1,A1D1的中點,MNB1D1.由(1)知,EFB1D1,MNEF.在正方形A1B1C1D1中,F為C1D1的中點,M為A1B1的中點,FMA1D1,又四邊形ADD1A1為正方形,ADA1D1,FMAD,四邊形A

6、DFM為平行四邊形.AMDF.又AMMN=M,DFFE=F,平面AMN平面EFDB.方法總結平面與平面平行的判定方法:(1)定義法:兩個平面沒有公共點.(2)判定定理法:一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面.(3)轉化為線線平行:若平面內的兩條相交直線與平面內的兩條相交直線分別平行,則.(4)利用平行平面的傳遞性:若,則.(5)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(6)證明兩個平面的法向量共線.考法二平行關系中的探索性問題例3如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形.(1)求證:平面AB1C平面DA1C1;(2)在直線CC1上是否存在點P,使BP平面DA1C1? 解題導引(1

7、)要證平面AB1C平面DA1C1,只需證一平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面,由四棱柱的性質得到A1C1AC,AB1DC1從而A1C1平面AB1C,DC1平面AB1C,繼而證得平面AB1C平面DA1C1.(2)利用點動成線,思考C1C上不可能有兩個點P滿足BP平面DA1C1(原因是平面BC1C不平行平面DA1C1),另外發現平面DA1C1中,A1DB1CA1D平面BC1C,則只需BPB1C即可.解析(1)證明:由四棱柱的性質知,AB1DC1.DC1平面AB1C,AB1平面AB1C,DC1平面AB1C.同理,A1C1平面AB1C,DC1,A1C1平面DA1C1,且DC1A1C1=C1,平面AB1C平面DA1C1.(2)在直線CC1上存在這樣的點P,使BP平面DA1C1.A1B1ABDC,四邊形A1B1