1、第5講 數(shù)列與不等式 一、單選題1（2022全國高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）A0.75B0.8C0.85D0.9【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D2（2022全國高考真題（理）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)

2、列：，依此類推，其中則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項的大小，即可求解.【詳解】解：因為，所以，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.故選：D.3（2022全國高考真題（文）已知等比數(shù)列的前3項和為168，則（）A14B12C6D3【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.4（2021北京高考真題）中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定指出，中國

3、共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位: cm),且長與寬之比都相等，已知，則A64B96C128D160【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，求得，得到，結(jié)合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.5（2021北京高考真題）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（）A9B10C11D12【答案】C【解析】【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及

4、求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，則，所以.對于，取數(shù)列各項為(，,則，所以n的最大值為11故選：C6（2021全國高考真題（文）記為等比數(shù)列的前n項和.若，則（）A7B8C9D10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目條件可得，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】為等比數(shù)列的前n項和，成等比數(shù)列，.故選：A.7（2021全國高考真題（理）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不

5、是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】【分析】當(dāng)時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件故選：B【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程8（2022上海高考真題）已知，下列選項中正確的是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性質(zhì)得解.【詳解】，但

6、，A、C錯，所以.B正確.，但，D錯.故選:B.9（2021全國高考真題（文）下列函數(shù)中最小值為4的是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意【詳解】對于A，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，函數(shù)定義域為，而且，如當(dāng)，D不符合題意故選：C【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)

7、合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出二、多選題10（2021全國高考真題）設(shè)正整數(shù)，其中，記則（）ABCD【答案】ACD【解析】【分析】利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【詳解】對于A選項，所以，A選項正確；對于B選項，取，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，所以，所以，因此，C選項正確；對于D選項，故，D選項正確.故選：ACD.11（2022全國高考真題）若x，y滿足，則（）ABCD【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假【詳解】因為（R），由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所

8、以C正確；因為變形可得，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤故選：BC三、雙空題12（2021全國高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_；如果對折次，那么_.【答案】 5 【解析】【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次

9、可得到如下規(guī)格：，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.四、填空題13（2022全國高考真

10、題（文）記為等差數(shù)列的前n項和若，則公差_【答案】2【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.14（2022上海高考真題）不等式的解集為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式的運算性質(zhì)分類討論求出不等式的解集.【詳解】或，解第一個不等式組，得，第二個不等式組的解集為空集.故答案為：【點睛】本題考查了分式不等式的解集，考查了數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.15（2021天津高考真題）若，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.五、解答題16（2022全國高考真題）已知為等

11、差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出(1)設(shè)數(shù)列的公差為，所以，即可解得，所以原命題得證(2)由（1）知，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為17（2022全國高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列(1)求的通項公式；(2)證明：【答案】(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關(guān)系得到當(dāng)時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（

12、2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進而證得.(1)，,又是公差為的等差數(shù)列，,當(dāng)時，,整理得：,即,，顯然對于也成立，的通項公式；(2) 18（2022全國高考真題（理）記為數(shù)列的前n項和已知(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得(1)解：因為，即，當(dāng)時，得，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列(2)解：由（1）可得，又，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時19（2

13、021全國高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值【答案】(1)；(2)7.【解析】【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項公式為：.(2)由數(shù)列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練

14、掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.20（2021全國高考真題（文）記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.【解析】【分析】先根據(jù)求出數(shù)列的公差，進一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，當(dāng)時，當(dāng)時，滿足，的通項公式為，是等差數(shù)列.【點睛】在利用求通項公式時一定要討論的特殊情況.21（2021全國高考真題（理）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明

15、數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得.【詳解】（1）方法一：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;方法二【最優(yōu)解】： 由已知條件知于是由得又，由得令，由，得所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列方法三：由，得，且，又因為，所以，所以在中，當(dāng)時，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列方法四：數(shù)學(xué)歸納法由已知，得，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時顯然成立假設(shè)當(dāng)時成立，即那么當(dāng)時，綜上，猜想對任意的都成立即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列（2

16、）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n2時,顯然對于n=1不成立,.【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項公式；22（2021全國高考真題（理）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面中選取兩個作為條件，證明另外一個成立數(shù)列是等差數(shù)列：數(shù)列是等差

17、數(shù)列；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分【答案】證明過程見解析【解析】【分析】選作條件證明時，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進行證明.選作條件證明時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選作條件證明時，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進而證明出結(jié)論.【詳解】選作條件證明：方法一：待定系數(shù)法+與關(guān)系式設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為也是等差數(shù)列，所以，解得；所以，故.方法二 ：待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)

18、列的公差為，則，將代入，化簡得對于恒成立則有，解得所以選作條件證明：因為，是等差數(shù)列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數(shù)列.選作條件證明：方法一：定義法設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為，所以，解得或；當(dāng)時，當(dāng)時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；當(dāng)時，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.方法二【最優(yōu)解】：求解通項公式因為，所以，因為也為等差數(shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時，當(dāng)時，滿足上式，故的通項公式為，所以，符合題意.【整體點評】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選時，法一：利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，

19、利用得到的通項公式，進而得到，是選擇證明的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進而得到；選時，按照正常的思維求出公差，表示出及，進而由等差數(shù)列定義進行證明；選時，法一：利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項的差求出公差，然后求出的通項公式，利用，求出的通項公式，進而證明出結(jié)論.23（2021全國高考真題（文）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足已知，成等差數(shù)列（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和證明：【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析

20、】【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）方法一：作差后利用錯位相減法求和，設(shè)，則由-得所以因此故方法二【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.方法三：構(gòu)造裂項法 由（）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以則，下同方法二方法四：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則又，所以，下同方法二【整體點評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結(jié)論,為