1、哈爾濱工業大學數值分析歷年試題(五套)第一套xiyi123204y xiyi123204今用復化梯形公式近似計算積分 1ex2dx，問為使誤差不超過104 ，應復化多少次？0用線性多步法推導如下形式的微分方程數值求解公式y ay by chy ， y f (x , ) 要求二階方法n1n1nnnnnax (x2 3a)aii證明迭代公式xiii13x2 a是求i的三階方法AxbLU分解 pcac 111pc222 11pc222bacb222q1cba q1n1 nnnpn求解Ly=b,Ux y第二套f(x) x3 0 x1x 0.1處的近似值f (x) x3 的近似值誤差不超過 0.02。,

2、 n(x 0 x , n(x 0i0,x1)。選取適當的兩個節點構造一次插值多項式，n并用它計算f (0.1)的近似值。今用復化梯形公式計算積分4 x2dx1.0用這個復化梯形公式計算積分4 x2dx的近似值。0 x (x2 3a)aii證明迭代公式xaiii13x2 a是求i的三階方法LU分解法求下列三元一次方程組解3x y z x 2 y z 0 x y z 35.（1）用線性多步法方法確定下列形式的微分方程數值解公式y h(b b yby)n1n131 0n1 n1要求是三階方法（只要求列出關于系數的方程組）ya y h ( 4y ) 的誤差n11 n1n1nn1Eulern1 yn12

3、hy的穩定性ny 1(y y) h(4y y 3y)n12n14n1n1是截斷誤差首項，回答該法是幾階方法. 8.用賽代爾迭代法求解方程組3x y 1x 5y 2要求（1）寫出迭代公式x0 1, y0 1 求 x1 ?, y ?1求迭代矩陣第三套p(xj) f (xj)( j 0,1,2) 及 p(x1) f (x1) ， p(x2) f (x2) 余項表達式2x2, x ,是插值節點，而l(x),(x),(x)x3l (x) ?012012k kk 0推導矩形公式abf ) b f (x)dx (b a)f ()(b a)a224用復化高斯勒讓德表示下列積分 2 f (x)dx0要求：用二點

4、高斯勒讓德公式并復化二.x tgxx 4.5（弧度）附近的根.要求：寫出迭代公式并以 x0 4.5 為初值求 x ?1f (x 0 有單根ax (xf (x 0 的等價方程，其中 (x x m(xf (x，證明當m(a)f (a)時迭代法：x (x ) 是一階的，而m(a)f (a)1 時迭代法：kkx(x 至少是二階的.kk驗證三階龍格庫塔法y y h (k ) n1n1413k f (x y ) 1nnhh是三階的.k f (x 3 , y 3 k ) 2nn1k f (x 2 h, y 2h k ) 3n3n31 第四套f n(x在abf n1) (x在(aba x0 x 1 x b,L

5、n(x)是滿足條件L (xn) yj, j 0,1,n的插值多項式， 則對任何 xab， 插值余項R (x) f (x) (x) （n+）(x x)(x x)nnn這里 (ab)(n1)!0p(xj) f(xjj 0,1,2) p(x1) f (x1) 的插值多項式及其余項表達式。f (x) sin xI 1 sin x dx x0 xn1802x0140.98120.95n1802x0140.98120.95340.901f(x)10.84(x)()4 f (4) LU分解法求下列方程組2x x 11x 22x x2 0 x 2x 423五、 用賽代爾迭代法求解方程組4x x 3 12x 4

6、x x 4 123x 4x 1023（ 1,2, 2 xx (0) xx (0) xx (0) 0 ）123（1）xk (xk p 階收斂的。敘述關于迭代x(x )p 階收斂的定理。kkxk 1 1 (x24 2 階的（x2 40的牛頓迭代公式）xk七、結合具體例子簡述求解微分方程組初值問題 y f (x, y)y(x0) y0的各種方法。第五套一、 求滿足 p(xj) f (xj)( j 0,1,2) 及 p(x1) f (x1) 的插值多項式。二、 用復化梯形公式近似計算積分 1 ex2dx ，問為使誤差不超過10 4 ，應復化多少次？0(ba12f (2) ( )h2 )三（1）何謂迭代過程x(x )是p 階收斂的。kk敘述關于迭代x(x )p 階收斂的定理。kkxk 1 1 (x24 2 階的（x2 40的牛頓迭代公式）xk用線性多步法推導如下形式的微分方程數值求解公式（要求二階方法）y ay by chy , y f (x , y )n1n1nnnnn五、分析微分