1、高沖三函的念象性編稿：孫永釗 審稿：張林娟【考望近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強了對三角函數的圖象與性質的考查，因為函的性質是研究函數的一個重要內容學高等數學和應用技術學科的基礎是解決生產實際問題工具，因此三角函數的性質是本章復習的重點。在復習時要充分運用數形結合的思想，把圖象與性質合起來，即利用圖象的直觀性得出函數的性質，或由單位圓上線段表示的三角函數值來獲得函數的性質同時也要能利用函數的性質來描繪函數的圖象，這樣既有利于掌握函數的圖象與性質，又能熟練地運用形結合的 思想方法三角函數是傳統知識內容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內容時有明顯的降調傾向突出正、余弦函數的主體地

2、位，加強了對三角函數的圖象與性質的考查，因此三角函數的性質是本復習的重點。第一輪復習的重點應放在課本知識的重現上，要注重抓基本知識點的落實、基本方法的再識和基本技能的掌握，力求系統化、條理化和網絡化，使之形成比較完整的知識體系；第二、三輪復習基本綜合檢測題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當然，這一部分知識最可出現的是“結合實際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應用）來考查角函數性質”的命題，因此，建議三角函數的復習應控制在課本知識的范圍和難度上，這樣就能夠適應來高考命 題趨勢。從近幾年高考試題來看，對三角函數的考查：一是以選擇填空的形式考查三角函

3、數的性質及公的應用，一般占兩個小題；二是以解答題的形式綜合考查三角恒等變換y 與向量等其他知識綜合及三角函數為背景的實際問題.的性質、三角函數預測今年，考查形式不變，選擇、填空題以考查三角函數性質及公式應用為主，解答題將會以量為載體，考查三角函數的圖象與性質或者與函數奇偶性、周期性、最值等相結合，以小型綜合題式出 【識華方法技巧：1.八大基本關系依據它們的結構為倒數關系、商數關系、平方關系，用三角函數的定義反復明強化記憶，這是最有效的記憶方法。誘導公式用角度制和弧度制表示都成立，記憶方法可概括為“奇偶不變， 符號看象限與不變是相對于對偶關系的函數而言的2.三角函數值的符號在求角的三函數值和三角

4、恒等變換中，顯得十分重要，根據三角函數的可簡記為“一全正，二正弦，三兩切，四余弦含義是：在第一象限各三角函數值皆為正；在第二象限弦值 為正；在第三象限正余切值為正；在第四象限余弦值為正第 頁 共 頁 左 0)向橫 坐標伸(00)向橫 坐標伸(00 時，=y =r 53 x t 4 , cos ， tan 5 r 5t t 4；y 3當 t0,cos0,sin- cos=75, 4 sin 5 5由 得 7 5 5第 頁 共 頁弓 扇 扇 弓 扇 扇 tan=43sin2cos2（2）21 sin cos 2 2 2 2 1 tan 2 2tan=43cos tan 1 tan 2 ( ) 2

5、) 【結華）對于 sin，sin，sin-cos這三個式子已知其中一個式子的值，其余二式的值可求。轉化的公式為sin)=12 sincos（2）關于 sin，cos的齊次式， 往往化為關于 tanx 的式子?！?4已知一扇形圓心角是，所在圓半徑是 。（1） 若=60，R=10cm,求扇的弧長及該弧所在的弓形面積。（2） 若形的周長是一定值 C（C0是多少弧度時，該扇形有最大面積？【路撥）利用弧長、面積公式求解把扇形面積用表示出來或用弧長表示出來，然后求 出函數的最值?！疚觯┗￠L為 l ，形面積為 ，弓 60 R 10, l 1S 3 2 3)( cm ). sin 60（2）方法一：扇形周長

6、C=2R+ C2S ) 2 l=2R+R=2 C 2 1 C 2 C 2 16.當且僅當 4，即=2（=-2 舍去）時，扇面積有最大值C 216。第 頁 共 頁max方法二：由已知 l =C, max R (l S Cl 2 2 )1 C C 2 (l ) 4 2 16當l C 時， ，2 16此時l R2 22.2C 2當 弧度，扇形面積有最值 。16【結華合理選擇變量，把扇形面積表示出來，體現了函數的思想，針對不同的函數類型，采用同 的方法求最值，這是解決問題的關鍵。舉反：【式若cos2sin 5,則tan=( )（A1 （B2 （） 2 2（）【析由cos 5可得：由 5 2sin ，又

7、由sin22 ，得 2 5 2sin）1 5 ， 5 可得， 5sin tan所以，2 【結華 于給出正弦與余弦的關系式的試題要能想到隱含條件：sin22 ，與它聯系成方程組，解方程組來求解。第 頁 共 頁類三誘公【 5化簡：sin( )cos( ( k )【路撥化時注意觀察題設中的出現了 k ，討論 k 是數還是偶數?！疚霎攌 ( n Z )時，原式 sin(2 n n cos( n 當k 2 n Z )時原式 sin(2 n cos(2 sin(2 cos(2 cos( cos 綜上，原式-1【結華誘導公式用角度和弧度制表示都成立憶法可以概括奇偶不變號看象限“變不相于對偶關系的函數而言的與

8、 對偶式k 2+的整數 k 來的，象限指k +中，將看作銳角時， k 2 2+所在象限，如將 2+)寫成 （ 3 + 3 是奇數為偶數符“sin 看作第四象限角 +2 2)“以 cos( +)=sin。2例 （ 宜賓縣模擬） ABC 中角 A 為角，且+cos A（1）求 fA）的最大值（2）若 ， 的三個內角和 AC 邊長【思路點撥）先利用誘導公式化簡 f（A據 A 為角，確定 f（）最大值（2）利用 f（=1 出 AB、 三角，再用正弦定理求 AC 的長.【解析） 由已知得 f（A）=取值最大值，其最大值為第 頁 共 頁（II）由 fA）=1 得 （2A+）=在ABC 中由弦定理得：【總結

9、升華三恒等變換與解三角形的綜合問題，是近幾年高考的熱點問此類型題目要先化簡再求 值。另外要特別注意角的取值范圍問.舉反：【變式 春 湛期末）若 cos= ， 第四象限角，求的值【解析】 是四象限角，cos= ，= ，=則原式= =，類四三函的象性 【 7求下列函數定義域：（1）求 y=lg(sinx-cosx)的定義域；（2）求函數 1 2cos 的定義域?！韭窊埽ǎ┬☆}實際就是求使 sinxcosx 的 的合，可用圖象或三角函數線解決 x 第（2）小題實際就是求使 0成立的 的，可用圖象或三角函數線解決?！疚觯┦购瘮涤幸饬x，必須使 sinx-cosx0方法一：利用圖象。在同一坐標系中畫出

10、0 y=sinx 和 y=cosx 的圖象，如圖所示：第 頁 共 頁1 1 在0內，滿足 sinx=cosx 的 為 ， ，結合正弦、余弦函數周期是 2所以定義域 4 為 4 kx k 4 k Z 方法二三角函數線，MN 為正線 為余弦線 sinxcosx,即 MNOM，則4x 54(在0,2)。定義域為 5 4 k Z方法 三sinx-cosx= sin(x- )0,將 x- 視為一個整體正弦函數 4 y=sinx 的象和性質可知 2k x- 5 , 解 2k + x0) 的函，可先利用誘導公式把 x 的數變為正數，得y=-Asin( x- ) ， 由 2 k2 k Z )得 到 函 數 的

11、 減 區 間 ， 由2 k2 Z )得到函數的增區間。【 9已知函數 sin 2 （1）用五點法作出它的圖象；（2）指出這個函數的振幅、周、頻率、初相和單調區間；（3）說明該函數的圖象可由 【析y sin x的圖象經過怎樣的變換而得到？（1） 2( 2 2 x) 2 x cos ) ) .列表描點繪圖如:2 30222x612371256y 020-20（2）如圖可知，此函數的振幅2周期為 ，率為1 ，初相為 . 3單調增區間為單調減區間為 , 12 12 , 12 12k ，k第 12 頁 共 頁 橫 坐標擴大為來2倍 3 1 縱 坐標擴大到來3倍 6 1 y sin xa 橫 坐標擴大為來

12、2倍 3 1 縱 坐標擴大到來3倍 6 1 y sin xa ,06 （3） 圖象左平移 單位 縱坐不變 x )3橫坐標縮短為來的.5倍 縱坐標不變y sin(2 x )3縱坐標擴大到來2倍 橫坐標不變【結華y 2sin(2 )3五點法作 A , )簡圖時，五點取法是設t t 取 0、2、2、來求相應的值及對應的y值，再描點作圖；由y sin x的圖象變換出y 的圖象一般先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經常出現，論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母 “角變化”多少；而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是此處的難點是函數圖象的平移，可以選擇畫出圖象后觀察；也可以直接由函數式子利用特殊置點

13、 （如：首點、波峰、波谷等）的坐標判定，但其前提是兩個函數的名稱以及x 系數是相同.舉反：【式 】y sin( x 3)的圖象得到y 的圖象需要向平移個單位【案左，6；【析y x sin( x 2)，由y sin( x ) 的象到 y sin( ) 的圖象需要向左平移 個位 3 【式 】述如何由y 1 )3 的圖象得到 sin 的圖象【析方一y 1 sin(2 ) sin( x )3 3 縱坐不變 3圖向右平 個單位 縱標不變y sin x y 3 坐標不變.方二1 1圖向右平 個單位y sin(2 x )y sin 2 3 33縱標不變橫坐標擴大為來2倍 坐標擴大原來 縱坐標不變 3 坐標不

14、變 sin x.【變式 】將函數 sin 0)的圖象按向量 平移，平移后的圖象如圖所示，則平第 13 頁 共 頁max移后的圖象所對應函數的解析式是（ ）maxAy sin( x ) B x ) C y sin(2 ) D 6 )【案；把點(12, 代入選項即得?！?】下列函數的值.（1） sin cos x x 0,）y 2 3 x）y x cos x cos 【路撥 三角式確定的函數求解值域 .一可從兩個途徑入 一是三角式化為一個三角函數的形式，從而利用三角函數性質求解值域，二是將三角式化為相同形，通過換元轉化為代數函數求值 【析(1)y 3 x x 2sin( )6，x ， 7 x ,

15、6 .由正弦函數圖象可知：當x 即 x 時 ； 6 即 時，y min.所以函數值域為.(2) 由y 2 3 sin x去分母得：3 y sin ,移項整理 x y，由輔助角公式得： x 2 1 2） 2 y 2 , , |2 y 2 , 即| 2 y y .平方整理得8 2 y , 解：3 3 3 4 4，第 14 頁 共 頁2 2 2 2 2 2 所以函數值域為 3 3 3 .（3）由(sin x x2 2sin x x 得 x cos )2y sin x cos (sin x cos x) 2 x cos x) 令t cos 2 ) ， 2, 2 4y 21 t ) 2 ,t 2當t 1

16、2時，y min54， 當t 2時，y 2 .所以函數值域為54, 2 .舉反的a【式 設關于的函數ay的值，并對此時的值求 a cos x a 的最大值。的最小值為f ( )試確定滿足f ( a 12【案令則 x ， 1,1，a a 2 t at ) 2 ，開口向上，對稱軸t a2，當a2 ，數 在 t 上遞增，y 12；當a2，即 時，函數y在t 1,1上遞減，y 1 1，得 2 8與 矛盾；當a 2，即 a 時，a 2 a min12，解得 或 （舍a 此時 y .【式 】知函數f ( a cos 3a sin x 的定義域為2，值域為1,5，求常數 、 b 的【案f ( x) cos

17、2x 3 2 x 6) x 0,2 ， 2 x , 6 6（1）若 ，不符合題意.第 15 頁 共 頁2 2 （2） a ，有 時， ； x 6 時 a 2 ， .（3）若 ，有 7 2 時， 4 6 2 6 時 ， ， .故 ， 或 ， .類五函 y=Asin(x+的象性的合應【 11】知函數 x+),xR(其中 A0,0,0 )圖象與 x 軸交點中，相鄰兩個22交點之間的距離為 ，圖象上個最低點為 M( ,-2).32(1)求 f(x)的析式；(2)當 , ，求 的域 12 T 【路撥由 x 軸的交點中相鄰兩點的距離為 可 ，從而得 T=，即可得.由圖象2 低點得 A 及 的值，從而得函數

18、 的解析式，進而得 f(x)值域.2 【析(1)由最低點為 ,-2),得 A=2.由 軸上鄰兩個交點之間的距離為 ,得3 2T 2 ,即 T=,=2 T 2 =2.由點 M( ,-2)在象上得 2sin(2 )=-2, sin( +3 3 3故 k Z k Z . 3 6 又(0, 故f x 2sin(2x 2 6（2） x , 12 2 3 當 2x+ = ,即 x= 時f(x)得最大值 2;6 6 當 2x+ = ,即 x= 時f(x)得最小-1, f(x)的值域為-1,2. 6 【結華確y +b 的析式的步驟：（1）求 A，b 確定數的最大值 M 和小值 m則 A=M M ，b= 。2

19、（2）求，確定函數的周期 T則 2；（3）求 常用方法有：代法：把圖象上的一個已知點代此、 知）或代入圖象與直線 y=b 的點求解。 （此時要注意交點在上升區間上還是在下降區間上第 16 頁 共 頁向 平 個單位 倍、五點法：確時，往往以尋找“五點法”中的第向 平 個單位 倍，0）為突破口。具體如下：第一點（即圖象上升時與 x 軸交點）為 ；第二點（即圖象的“峰點 2；第三點（即圖象下降時與 x 軸的點）為 ；第四點（即圖象的“谷點 32；第五點為 舉反：【式 1】把數 ( x )的圖象上所有的點向左平行移動 個位長度，再把所得圖象上所有3點的橫坐標縮短到原來的12倍（縱坐標不變到圖象所表示的

20、函數是（ ）A sin 2 x ， B ， R C sin 2 x ， D 2 x ， 【析y=sin xy sin( x )31 y sin(2 x )3，故選【式 】同一平面直角坐標系中，函數y x 1 x 0 的象和直線 y 2 2 2的交點個數是( )（A）（B（）2（D【析原數可化為：x xy x 0 = sin x 0, 2 2 2 2作出原函數圖像，截取 1部分，其與直線 的點個數是 2 個2【 】知函數f ( x) sin 2 ) 4 cos 2 （1）求函數 )的最小正周期和單調遞增區間；（2）函數 f ( x)的圖象經過怎樣的變換可以得到 sin 的圖象？【路撥根倍角公式將

21、函數解析化為一般要轉化為 y=Asin( 的形式求解。【析(1)f ( ) sin2(43 ) cos 2 2第 17 頁 共 頁= x) x= 2 x cos 21 sin(2 )2 3最小正周期 單調遞增區間, ， k 向平移 1 個單位；向下平移 個單位【結華解析式與三角函數有關的函數若求函數的周期、單調區間、對稱軸、值域等問題時，一要 轉化為 y=Asin( )+k 的形式。舉反：【式 1 高清視三函的念圖和質 4 368995】已知函數（）求f ( x) f ( x的最小正周期：6) 。（）求f ( x在區間 , 4 上的最大值和最小值?！疚鲆驗閒 ( x) cos 6) 3 14

22、cos x( x cos ) 2 3 2 2cos 2 3 sin 2 x 6)所以f ( x的最小正周期.（）因為6x 4, 所以 6 623.于是，當2 62,即x 6時，f ( x取得最大值 2；當2 x ,x 時, f ( ) 6 取得最小值1【式 】知函數f ( x) x2 第 18 頁 共 頁ma（）求maf ( x的最小正周期和單調遞增區間；（）求f ( x在區間 上的最大值與最小值【析由已知可得f ( ) 2cosxsin 2 sin( x ) f 的最小正周期是 由 k 得 k x k , Z 3 x k , 4，所以函數 f ( )的單調遞增區間為 ,2k , k Z （）由（） f sin( x ) 因為 x 0, ，所以 5x 4，當 sin( x ) 時，即 x 時， f ( )取得最大值 【 13已知程2x x x 2 sin cos 2 2 （