1、高三畢業班數學課本學問點整理歸納之十四第十四章 極限與導數一、基礎學問1極限定義：（1）如數列 u n 滿意,對任意給定的正數 ,總存在正數m,當 nm且 nN時,恒有 |un-A|fa 且 fc=m ,就 ca,b,且 fc 為最大值,故 f c 0,綜上得證；14 Lagrange 中值定理：如 fx 在a,b 上連續,在 a,b 上可導,就存在 a,b,使f b f a f .b a 證明 令 Fx=fx-f b f a x a , 就 Fx 在a,b 上連續,在 a,b 上可導,且b aFa=Fb ,所以由 13 知存在 a,b 使 F =0,即 f f b f a .b a15曲線凸

2、性的充分條件：設函數 fx 在開區間 I 內具有二階導數, （1）假如對任意 xI,fx 0, 就曲線 y=fx在 I 內是下凸的；（2）假如對任意xI,fx0, 就 y=fx在 I 內是上凸的；通常稱上凸函數為凸函數,下凸函數為凹函數；16琴生不等式：設 1, 2, , nR +, 1+ 2+ + n=1；（1）如 fx 是 a,b 上的凸函數,就 x 1,x 2, ,x na,b 有 fa 1x 1+a2x2+ +anx n a1fx 1+a 2fx 2+ +anfx n. 二、方法與例題1極限的求法；例 1 求以下極限：（ 1）lim n12n；（ 2）lim nana0 ；（ 3）n2

3、n2n21anlim nn11n12n1n；（4）lim nnn1n.222 解 （1）lim n12n=lim nnn21 lim n121 2；n2n2n22n22n（2）當 a1 時,lim n1annlim n111lim n1n11 .an11.aa當 0a1 時,lim n1ann1lim nann1000 .aalim n當 a=1 時,lim n1annlim n1111.a2（3）由于nnn11n12n1nnn2 n2222而lim nnnnlim n111,1lim nn11lim n111,122nn2所以lim nn11n12n1n1.2221 2.（4）lim nnn

4、1nlim nnnnlim n11111n例 2 求以下極限： （1）nlim 1+x1+x21+x22 1+x2 |x|0 且x1 ；cos 2 e2xsin2x .2 解 （1）ycos 3x13 x1 3cos3x+1. 2y5x23xxx5x23xxxx210 x321xx5x23xxx25213.x（3）ycos e2xcos 2xe cos2xsin2x2x （4）yx121xx21x121x1xxx21x11.x 2（5）y12x xx eln12x x eln12x xln 1212xxln12x12xx.25用導數爭論函數的單調性；例 6 設 a0,求函數 fx= x -ln

5、x+ax0,+ 的單調區間； 解 f x 1 1 x 0 ,由于 x0,a0 ,所以 f x 0 x 2+2a-4x+a 20；2 x x af x 0 x 2+2a-4x+a+1 時,對全部 x0,有 x 2+2a-4x+a 20,即 f x0,fx 在0,+ 上單調遞增；（2）當 a=1 時,對 x 1, 有 x 2+2a-4x+a 20,即 f x 0,所以 fx 在（ 0,1）內單調遞增,在（ 1,+）內遞增,又 fx 在 x=1 處連續,因此 fx 在0,+ 內遞增；（3）當0a0,解得 x2-a+21a,因此, fx 在0,2-a-21a 內單調遞增,在2-a+21在a,+ 內也單

6、調遞增,而當2-a-21ax2-a+21a時 , x2+2a-4x+a22x. 時 , 證 明 設fx=sinx+tanx-2x, 就f x=cosx+sec2x-2 , 當x0,2c o s12c o s122（因為0cosxf0=0,即 sinx+tanx2x. 7. 利用導數爭論極值；例 8 設 fx=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 處都取得極值, 試求 a 與 b 的值,并指出這時fx在 x1 與 x 2處是取得極大值仍是微小值； 解 由于 fx 在 0,+ 上連續,可導,又 fx 在 x 1=1, x2=2 處取得極值,所以a 2 b 1 0 , a 2 ,f 1

7、f 2 0,又 f x ax +2bx+1,所以 a2 4 b 1 ,0 解得b 16 3.所以 f x 2ln x 1x 2x , f x 2 1x 1 x 1 2 x . 3 6 3 x 3 3 x所以當 x0,1 時,f x 0,所以 fx 在0,1 上遞減；當 x1,2 時,f x 0,所以 fx 在1 ,2 上遞增；當 x2,+ 時,f x 0,所以 fx 在2 ,+）上遞減；綜上可知 fx 在 x 1=1 處取得微小值,在 x2=2 處取得極大值；例 9 設 x 0, ,y 0,1,試求函數 fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx 的最小值； 解 第一,當 x0, ,y

8、0,1 時,fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx=1-y 2x sin 1 y x 2 y 12 sin x =1-y 2x 1 y x 1 y xsin 1yxsinx 1y22sinx,令 gx=sinx, x0；1yxxyxxgxcosx x2tanx x2,x當x0,2時,由于 cosx0,tanxx,所以g x0；當x2,時,由于 cosx0,tanx0,所以g又由于 gx 在0, 上連續,所以gx 在 0, 上單調遞減；又由于 01-yxxgx,即sin 1yy xsinx0, 1xx又由于1y22sinx0,所以當 x0, ,y 0,1 時, fx,y0. yx其次,

9、當 x=0 時, fx,y=0；當 x= 時, fx,y=1-ysin1-y 0. 當 y=1 時, fx,y=-sinx+sinx=0；當 y=1 時, fx,y=sinx0. 綜上,當且僅當x=0 或 y=0 或 x= 且 y=1 時, fx,y取最小值 0；三、基礎訓練題1lim n2n13n1=_. 0_. 2n3n2已知lim nn21anb2,就 a-b=_. n13lim n1cos2n1lim n3x324x1_. 2n3x32x24lim x 1xn1 n1xn_. x1 25運算lim n21nx limx21x21 _. n6如 fx是定義在 - ,+ 上的偶函數,且f0

10、存在,就f7函數 fx 在- ,+ 上可導, 且 f 2 18如曲線 fx=x 4-x 在點 P 處的切線平行于直線,就lim h 0f2h2hf2h_.3x-y=0 ,就點 P 坐標為 _. 9函數 fx=x-2sinx的單調遞增區間是_. 10函數fx ln1x2的導數為 _. 1 ,求實數 a. 41x211如曲線yx21ax 2在點M2 ,1處的切線的斜率為412. 求 sin290 的近似值；13設 0ba0 時,比較大小：lnx+1 _x. 9. 函數 fx=x 10曲線 y=e5-5x 4+5x 3+1,x -1,2 的最大值為 _,最小值為 _. -x x 0 在點 Mt,e-

11、t 處的切線 l 與 x 軸、 y 軸所圍成的三角形面積為就 St 的最大值為 _. 11如 x0,求證： x 2-1lnxx-1 2. 12函數 y=fx 在區間 0,+ 內可導；導函數 f x 是減函數,且 f x 0, x00,+ .y=kx+m 是曲線 y=fx 在點 x 0,fx 0 處的切線方程,另設 gx=kx+m ,（ 1 ）用x0,fx 0, f x 0 表示 m；（ 2）證明：當 x0,+ 時,gx fx；（3）如關于 x 的不等2式 x 2+1ax+b3 x 3 在0,+ 上恒成立,其中 a,b 為實數,求 b 的取值范疇及 a,b 所滿2足的關系；13. 設各項為正的無

12、窮數列xn 滿意 lnxn+111 nN, 證明： xn1n N+. xn五、聯賽一試水平訓練題1設 Mn= （十進制） n 位純小數 0. a 1 a 2 a n | a i 只取 0 或 1（i=1,2, ,n-1 ）,an=1 ,Tn 是 Mn 中元素的個數,Sn 是 Mn中全部元素的和,就 lim n T Sn n_. 2如 1-2 x 9 綻開式的第 3 項為 288,就 limn 1x x 12x 1n _. 3設 fx,gx 分別是定義在 R上的奇函數和偶函數,當 x0 時,f x g x f x g x 0,且 g-3=0 ,就不等式 fxgx0, 如 對 任 意 x ln3a

13、,ln4a, 不 等 式|m-f-1x|+ln f x 0 恒成立,就實數 m取值范疇是 _. 9. 已知函數 fx=ln1+x-x,gx=xlnx,（ 1）求函數 fx 的最大值；（2）設 0ab,證明：a b0ga+gb-2 g b-aln2. 210.1 設函數 fx=xlog 2x+1-xlog 21-x 0 x1,求 fx 的最小值； （ 2）設正數p1,p 2, , p2滿意 p1+p2+p3+ + p2=1,求證： p1log 2p1+p2 log 2p2+ + p2log 2 p2-n. 2 211. 如函數 gAx 的定義域 A=a,b ,且 gAx= x1 b1 , 其中

14、a,b 為任意的正實a x數,且 ab,（1）求 gAx 的最小值；（2）爭論 gAx 的單調性；（k3）g如xx1Ik=k2,k+12,x2Ik+1=k+12,k+22,證明：gIx 1Ik12k41.k六、聯賽二試水平訓練題1證明以下不等式： （1）x22 xlnxx2 xxx0 ；22 1（2）tanxxx,x0,；xsin2當 01. 2022-2022 年高三畢業班數學課本學問點整理歸納之十八第十八章 組合一、方法與例題1抽屜原理；例 1 設整數 n 4,a1,a2, ,an 是區間 0,2n 內 n 個不同的整數,證明：存在集合a 1,a 2, ,a n 的一個子集,它的全部元素之

15、和能被 2n 整除； 證明 （ 1）如 n a1,a2, ,an, 就 n 個不同的數屬于 n-1 個集合 1,2n-1,2,2n-2, ,n-1,n+1；由抽屜原理知其中必存在兩個數 ai,a ji j 屬于同一集合,從而 ai +aj=2n 被 2n 整除；（2）如 n a 1,a 2, ,a n ,不妨設 an=n,從 a1,a 2, ,a n-1n-13中任意取 3 個數 ai, aj, akai,aj0不被 n 整除,考慮 n 個數 a1,a 2,a 1+a2,a 1+a2+a3, ,a 1+a2+ +an-1；）如這 n 個數中有一個被 n 整除,設此數等于 kn,如 k 為偶數,

16、就結論成立；如 k 為奇數,就加上 an=n 知結論成立；）如這 n 個數中沒有一個被 n 整除,就它們除以 n 的余數只能取 1,2, ,n-1 這 n-1 個值,由抽屜原理知其中必有兩個數除以 n 的余數相同, 它們之差被 n 整除,而 a2-a1 不被 n 整除,故這個差必為 ai, aj, ak-1 中如干個數之和,同）可知結論成立；2極端原理；例 2 在 n n 的方格表的每個小方格內寫有一個非負整數,并且在某一行和某一列的交叉點處假如寫有 0,那么該行與該列所填的全部數之和不小于 n；證明： 表中全部數之和不小于 1 n ；2證明 運算各行的和、 各列的和,這 2n 個和中必有最小

17、的,不妨設第 m 行的和最小,記和為 k,就該行中至少有 n-k 個 0,這 n-k 個 0 所在的各列的和都不小于 n-k,從而這 n-k列的數的總和不小于 n-k 2,其余各列的數的總和不小于 k 2,從而表中全部數的總和不小于n-k2+k2nkk21n2.223. 不變量原理；俗語說,變化的是現象,不變的是本質,某一事情反復地進行,查找不變量是一種策略；例 3 設正整數 n 是奇數,在黑板上寫下數 1,2, , 2n,然后取其中任意兩個數 a,b, 擦去這兩個數,并寫上 |a-b|；證明：最終留下的是一個奇數；證明 設 S 是黑板上全部數的和,開頭時和數是 S=1+2+ +2n=n2n+

18、1 ,這是一個奇數,由于 |a-b|與 a+b 有相同的奇偶性,故整個變化過程中S 的奇偶性不變, 故最終結果為奇數；例 4 數 a1, a2, ,an中每一個是1 或-1,并且有 S=a1a2a3a4+ a 2a3a4a5+ +ana1a2a3=0. 證明：4|n. 證明 假如把 a1, a2, ,an中任意一個 ai 換成 -ai,由于有 4 個循環相鄰的項都轉變符號,S模 4 并不轉變, 開頭時 S=0,即 S0,即 S0mod4 ；經有限次變號可將每個 ai 都變成 1,而始終有 S0mod4 ,從而有 n 0mod4 ,所以 4|n ；4構造法；例 5 是否存在一個無窮正整數數列a1

19、,a2a3 ,使得對任意整數A,數列a nA n1中僅有有限個素數； 證明 存在；取 an=n. 3即可；當 A=0 時, a n 中沒有素數；當 |A| 2 時,如 n|A| ,就 an+A 均為 |A| 的倍數且大于 |A| ,不行能為素數；當 A= 1 時, an 1=n. 1 .n. 2n.+1 ,當 3 時均為合數；從而當 A 為整數時, n. 3+A中只有有限個素數；例 6 一個多面體共有偶數條棱,試證：可以在它的每條棱上標上一個箭頭,使得對每個頂點,指向它的箭頭數目是偶數； 證明 第一任意給每條棱一個箭頭,假如此時對每個頂點,指向它的箭頭數均為偶數,就命題成立； 如有某個頂點 A

20、,指向它的箭頭數為奇數,就必存在另一個頂點 B,指向它的箭頭數也為奇數（由于棱總數為偶數）,對于頂點 A與 B,總有一條由棱組成的“ 路徑” 連結它們, 對該路徑上的每條棱,轉變它們箭頭的方向,于是對于該路徑上除 A,B外的每個頂點,指向它的箭頭數的奇偶性不變,而對頂點A,B,指向它的箭頭數變成了偶數；假如這時仍有頂點, 指向它的箭頭數為奇數,那么重復上述做法,又可以削減兩個這樣的頂點,由于多面體頂點數有限,經過有限次調整,總能使和是對每個頂點,指向它的箭頭數為偶 數；命題成立；5染色法；例 7 能否在 5 5 方格表內找到一條線路,它由某格中心動身,經過每個方格恰好一次,再回到動身點,并且途

21、中不經過任何方格的頂點？ 解 不行能； 將方格表黑白相間染色,不妨設黑格為13 個,白格為 12 個,假如能實現,因黑白格交替顯現,黑白格數目應相等,得出沖突,故不行能；6凸包的使用；給定平面點集A,能蓋住 A 的最小的凸圖形,稱為A的凸包；例 8 試證：任何不自交的五邊形都位于它的某條邊的同一側； 證明 五邊形的凸五包是凸五邊形、凸四邊形或者是三角形,凸包的頂點中至少有 3 點 是原五邊形的頂點；五邊形共有 5 個頂點,故 3 個頂點中必有兩點是相鄰頂點；連結這兩 點的邊即為所求；7賦值方法；例 9 由 2 2 的方格紙去掉一個方格余下的圖形稱為拐形,用這種拐形去掩蓋 5 7 的方格板,每個

22、拐形恰掩蓋 3 個方格,可以重疊但不能超出方格板的邊界,問：能否使方格板上每個方格被掩蓋的層數都相同？說明理由； 解 將 5 7 方格板的每一個小方格內填寫數-2 和 1；如圖 18-1 所示,每個拐形掩蓋的三個數之和為非負； 因而無論用多少個拐形掩蓋多少次,蓋住的全部數字之和都是非負的；另一方面,方格板上數字的總和為 12 -2+23 1=-1 ,當被掩蓋 K 層時,蓋住的數字之和等于 -K,這說明不存在滿意題中要求的掩蓋；-2 1 -2 1 -2 1 -2 1 1 1 1 1 1 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2 1 1 1 1 1 1 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2 8圖論

23、方法；例 10 生產由六種顏色的紗線織成的雙色布,在所生產的雙色布中,每種顏色的紗線至少與其他三種顏色的紗線搭配過；證明：可以挑出三種不同的雙色布,它們包含全部的顏色；證明 用點 A 1,A2,A3,A4,A5,A6表示六種顏色,如兩種顏色的線搭配過,就在相應的兩點之間連一條邊；由已知,每個頂點至少連出三條邊；命題等價于由這些邊和點構成的圖中有三條邊兩兩不相鄰（即無公共頂點）；由于每個頂點的次數3,所以可以找到兩條邊不相鄰,設為A 1A 2,A 3A 4；（1）如 A5 與 A 6 連有一條邊,就（2）如 A 5 與 A 6 之間沒有邊相連,A 1A 2,A 3A 4,A 5A6 對應的三種雙

24、色布滿意要求；不妨設 A 5 和 A 1 相連, A 2 與 A 3 相連, 如 A 4 和 A 6 相連,就 A 1A 2,A 3A 4,A 5A 6 對應的雙色布滿意要求；如A 4 與 A6 不相連,就A 6 與 A 1 相連, A 2與 A 3 相連, A1A 5,A 2A 6,A 3A 4 對應的雙色布滿意要求；綜上,命題得證；二、習題精選1藥房里有如干種藥,其中一部分藥是烈性的；藥劑師用這些藥配成 68 副藥方,每副藥方中恰有 5 種藥,其中至少有一種是烈性的,并且使得任選 3 種藥恰有一副藥方包含它們；試問：全部藥方中是否肯定有一副藥方至少含有4 種烈性藥？（證明或否定）221 個女孩和 21 個男孩參與一次數學競賽,（1）每一個參賽者最多解出 6 道題；（2）對每一個女孩和每一個男孩至少有一道題被這一對孩子都解出；求證：有一道題至少有 3 個女孩和至少有 3 個男孩都解出；3求證：存在無窮多個正整數 n,使得可將 3n 個數 1, 2, , 3n 排成數表a1, a2 anb1, b2 bnc1, c2 cn滿意：（1）a1+b1+c1= a2+b2+c2= = an+bn+cn=,且為 6 的倍