1、多復變簡介 周向宇中國科學院數學與系統科學研究院數學研究所 1、何為多復變？ 已故著名數學家鐘家慶先生在為中國大百科全書數學卷撰寫多復變函數論條目時，稱多復變函數論是“數學中研究多個復變量的全純函數的性質和結構的分支學科”。 從范疇(category)的語言來說 多復分析（多復變）：是研究復解析范疇的學問。1、何為多復變？（續） 這里，范疇的對象(objects)是復流形（乃至復空間），態射(morphisms) 是復流形（乃至復空間）間的復解析映照。 （Remmert綜述：從Riemann面到復空間） 衍生物：CR-結構，亞純映照，多次調和函數，currents（positive close

2、d）等等 一些著名數學家認為，現代數學的特點之一是高維，而多復變正是反映這一特點的方向之一。 1、何為多復變？（續） 顧名思義，“變”即“變量”，“復”即“復數”，“復變”指“變量在復數域取值、變化”以別于“實變”，“多”指“多個”。總之，多復變是研究多個復變量的學問，當然是研究高維的。2多復分析的產生背景（續）（1）Poincare發現： Riemann映照定理：中單連通域(非) n2 單位球 多圓盤 不雙全純等價（not biholomorphically equivalent） 2多復分析的產生背景（續） （2）Hartogs發現 , 找到全純函數不能定義在更大的域上 例： ,自然定義（

3、或存在）域: 單位圓盤 一般域: Rudins book “Real and Complex Analysis”. 穿孔單位球上的任一全純函數均可解析延拓至學位球。 說明：單、多復變有區別，從而多復變作為一個獨立研究方向獲得發展n! 3多復分析的基本內容：概念，問題，方法和結論。 ，下述概念等價： 1、復可微（complex diff）： 存在 2、全純（holomorphic function）： Cauchy- Riemanm 方程： 3、復解析（complex analytic）：展開成收斂冪 級數 3多復分析的基本內容（續）。 復可微 復解析 比較 但實可微不一定實解析 ，1、復可微

4、2、全純3、復解析 3多復分析的基本內容（續）。開映照定理，極大模原理，identity原理 Schwatz -Pick引理：單位園盤上Poincar度量經全純自映照拉回后不超過原Poincar度量3多復分析的基本內容（續） principal problem in the function theory in several complex variables is to study which domains are domains of holomorphy, and to determine which objects we can construct in the domains o

5、f holomorphy. Existence, construction and classification of analytic structures Analytic continuation3多復分析的基本內容（續）1、HCartan , Thullen 全純域 全純凸： （1） D中離散點列 （2） 相對緊集的全純包仍相對緊 全純包 多復變中很難構造全純函數。 3多復分析的基本內容（續）2、Levi問題： 概念：多次調和函數（40年代Lelong，Oka引入） 實函數： 限制在任一復直線上是次調和函數 若 ： 對 函數，complex Hessian半正定。 3多復分析的基本內容

6、（續） Levi問題就是把全純域的刻畫跳出了構造復（解析）函數的范圍，而用構造實函數（多次調和函數）來刻畫。 Cousin I、II問題（單復變Weierstrass, Mittag-Leffler類似問題的推廣） 與代數、幾何、分析緊密相關的傳統重要方法如層及其上同調論(Leray, Oka, H. Cartan, J.P. Serre, H. Grauert, R. Remmert,)，這里，關鍵角色：凝聚解析層，例子：結構層，解析集的理想層，normalization of coherent analytic sheaves, Grauerts direct image theorem

7、3多復分析的基本內容（續） 方程的 方法(Morrey, D. Spencer, J.J. Kohn, L.Hormander, Andreotti, Vessentini,) ，起始于Hodge, S. Bochner, Kodaira, 積分表示(A. Weil, Leray, Grauert, Henkin,)等； 均可用來解決上述Levi問題，Cousin I、II問題等3多復分析的基本內容（續） 新近方法： 乘子理想層（層及其上同調論， 方程的 方法之綜合）(Skoda, Bombieri, Y.-T. Siu, Demailly, Kiselman, Ohsawa,)。 Defor

8、mation invariance of plurigenera for projective algebraic manifolds, Nonexistence of Levi-flat hypersurfaces in complex projective space,3多復分析的基本內容（續） Numerical characterization of the Kahler cone on a compact Kahler manifold Existence of a compact Kahler manifold without the homotopy type of any pr

9、ojective algebraic manifolds (negative answer to a longstanding problem of Kodaira) Analytic continuation of holomorphic functions on analytic subvarieties to the Stein manifolds4多復分析與其它方向的密切聯系： 從對象而言，復流形是介于拓撲空間、微分流形與代數簇（概型）之間；從態射（函數論角度）而言，復解析映照是介于連續、光滑映照與多項式映照之間。這一獨特位置，注定了多復變與復幾何一方面與一般拓撲、代數拓撲、微分幾何、

10、微分拓撲，另一方面與代數幾何有著必然聯系。復變量與實變量的關系，復解析函數作為一組 Cauchy-Riemann 方程的解，這就注定了多復變與實分析、偏微分方程、泛函分析的天然關系。4多復分析與其它方向的密切聯系（續）： 又由于多復變與復幾何中豐富的代數結構，它與代數、李理論、群表示論等有著千絲萬縷的聯系。另外它還與數學物理及理論物理有著不可忽視的聯系。總之，多復變與復幾何是一門交叉性極強的方向，反映了數學的統一性，是現代數學的核心與前沿之一。我們知道，交叉性強是現代數學的一大特點。 4多復分析與其它方向的密切聯系（續）： 如果說各學科的相互滲透和影響日益廣泛是現代數學的特征，那么對多復變函數

11、論而言，這一特點尤為顯著。 許多著名數學家如Wolf獎、Fields獎獲得者涉足過多復變與復幾何。他們中有許多人并非以多復變與復幾何為主業。這同樣也反映了多復變與復幾何的強交叉性。 Chern, Moser, Fefferman, Lewy, 4多復分析與其它方向的密切聯系（續）： H. Grauert： 復流形上的Levi問題 實解析流形實解析嵌入到N 色散關系（第一個實際應用, edge of the wedge, N.N. Bogoliubov, V. Vladimirov） 促進了擬微分算子理論的產生及超定偏微分方程等分支的發展 對代數幾何，數論等的發展有重要影響5多復分析在中國的研究

12、（續）： 顯式給出了典型域上的平方全純函數空間的完備正交系，Bergman核, Cauchy核, Poisson核等， 從而解決了相關問題。這一工作在調和分析，復分析， 微分方程, 李群表示論等有關研究中有著廣泛而深入的影響。 華羅庚還在多復變方向培養了杰出的學生如陸啟鏗院士、龔升教授。5多復分析在中國的研究（續）： 在最近二十年中，我國多復變工作者取得的成績有： 獲何梁何利獎一項（陸啟鏗）， 華羅庚數學獎二項（陸啟鏗，龔升）， 陳省身數學獎二項（鐘家慶，周向宇）， 國家自然科學獎二等獎一項（鐘家慶）， 國際數學家大會45分鐘應邀報告人一位 （周向宇）等等。 問題：擴充未來光管是擬凸域（全純域

13、）嗎？擴充未來光管高維復空間中的區域擴充：Lorentz群作用做擴充 作者的工作（續）：1-point future tube(past) 4 4 4 n-point future tube作者的工作（續）： Lorentz變換：Lorentz群 ()= ) () (4 4) 對角作用 D關于 -不變 () , 比D要大。 = (), (4)n 擴充未來光管（extended future tube ） 作者的工作（續）：擴充未來光管猜想：擴充未來光管是全純域（Extended future tube conj.: extended future tube is a domain of holomorphy）S. Wightmam, R. Streater , R. Jost, N. Bogoliubov Vladimirov 問： 是不是全純域， ,不難 ,物理學家已做出 ,周解決作者的工作（續）： 該猜想在國際權威的數學百科全書大辭典中及其它許多文獻中被列為未解決問題。 這猜想五十年代末源自于量子場論，但純粹是多復變方面的問題，而證明方法卻已超越多復變領域，前述華羅庚的工作在證明中也要用到。作者的工作（續） D. Kazhdan: Introduction to QFT . in “Quantum fields an