1、2023學年高考數學模擬測試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并

2、交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設等差數列的前項和為，若，則（ ）A23B25C28D292函數在上的最大值和最小值分別為（ ）A，-2B，-9C-2，-9D2，-23已知m為實數，直線：，：，則“”是“”的（ ）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件4已知、是雙曲線的左右焦點，過點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點，若點在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）ABCD5在中，角的對邊分別為，若則角的大小為()ABCD6已知是虛數單位，若，則實數（ ）A或B

3、-1或1C1D7已知等比數列滿足，等差數列中，為數列的前項和，則（ ）A36B72CD8已知集合，則=（ ）ABCD9已知，則的大小關系是（ ）ABCD10記為數列的前項和數列對任意的滿足.若，則當取最小值時，等于（ ）A6B7C8D911復數滿足，則復數等于（）ABC2D-212已知我市某居民小區戶主人數和戶主對戶型結構的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區戶主對戶型結構的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數分別為A240，18B200，20C240，20D200，18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知雙曲線：（，），

4、直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點.若（點為坐標原點）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為_.14設復數滿足,則_.15已知兩個單位向量滿足，則向量與的夾角為_.16若變量，滿足約束條件則的最大值是_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓：的長半軸長為，點（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，為直線上任一點，過點橢圓上點處的切線為，切點分別，直線與直線，分別交于，兩點，點，的縱坐標分別為，求的值.18（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行一次安全意識測試，根據測試成績評定“合格

5、”、“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記分，“不合格”記分.現隨機抽取部分學生的成績，統計結果及對應的頻率分布直方圖如下所示：等級不合格合格得分頻數624（）若測試的同學中，分數段內女生的人數分別為，完成列聯表，并判斷：是否有以上的把握認為性別與安全意識有關？ 是否合格 性別 不合格合格總計男生女生總計（）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中，共選取人進行座談，現再從這人中任選人，記所選人的量化總分為，求的分布列及數學期望；（）某評估機構以指標（，其中表示的方差）來評估該校安全教育活動的成效，若，則認定教育活動是有效的；否則認定教育活動無效，應調整安全教

6、育方案.在（）的條件下，判斷該校是否應調整安全教育方案？附表及公式：，其中.19（12分）對于正整數，如果個整數滿足，且，則稱數組為的一個“正整數分拆”.記均為偶數的“正整數分拆”的個數為均為奇數的“正整數分拆”的個數為.()寫出整數4的所有“正整數分拆”;()對于給定的整數，設是的一個“正整數分拆”，且，求的最大值;()對所有的正整數，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數分拆”與，當且僅當且時，稱這兩個“正整數分拆”是相同的.)20（12分）如圖，在棱長為的正方形中，分別為，邊上的中點，現以為折痕將點旋轉至點的位置，使得為直二面角（1）證明：；（2）求與面所成角的正弦值

7、21（12分）如圖，四邊形是邊長為3的菱形，平面.（1）求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.22（10分）如圖，正方形所在平面外一點滿足，其中分別是與的中點.（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】由可求，再求公差，再求解即可.【題目詳解】解：是等差數列，又，公差為，故選：D【答案點睛】考查等差數列的有關性質、運算求解能力和推理論證能力，是基礎題.2、B【答案解析】由函數解析式中

8、含絕對值，所以去絕對值并畫出函數圖象，結合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【題目詳解】依題意，作出函數的圖象如下所示；由函數圖像可知，當時，有最大值，當時，有最小值.故選：B.【答案點睛】本題考查了絕對值函數圖象的畫法，由函數圖象求函數的最值，屬于基礎題.3、A【答案解析】根據直線平行的等價條件，求出m的值，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【題目詳解】當m=1時，兩直線方程分別為直線l1：x+y1=0，l2：x+y2=0滿足l1l2，即充分性成立，當m=0時，兩直線方程分別為y1=0，和2x2=0，不滿足條件當m0時，則l1l2，由得m23m+2=0得m=1或m=2，由得m2，則m=

9、1，即“m=1”是“l1l2”的充要條件，故答案為：A【答案點睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 本題也可以利用下面的結論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.4、A【答案解析】雙曲線=1的漸近線方程為y=x，不妨設過點F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（xc），與y=x聯立，可得交點M（，），點M在以線段F1F1為直徑的圓外，|OM|OF1|，即有+c1，3，即b13a1，c1a13a1，即c1a則e=1雙曲線離心率的取值范圍是（1，+）故選：A點睛：解決

10、橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.5、A【答案解析】由正弦定理化簡已知等式可得，結合，可得，結合范圍，可得，可得，即可得解的值【題目詳解】解：，由正弦定理可得：，故選A【答案點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題6、B【答案解析】由題意得，然后求解即可【題目詳解】，.又，.【答案點睛】本題考查復數的運算，屬于基礎題7、A【答案解析】根據是與的等比中項，可求得，再利用等

11、差數列求和公式即可得到.【題目詳解】等比數列滿足，所以，又，所以，由等差數列的性質可得.故選：A【答案點睛】本題主要考查的是等比數列的性質，考查等差數列的求和公式，考查學生的計算能力，是中檔題.8、D【答案解析】先求出集合A，B，再求集合B的補集，然后求【題目詳解】，所以 .故選：D【答案點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎題.9、B【答案解析】利用函數與函數互為反函數，可得，再利用對數運算性質比較a,c進而可得結論.【題目詳解】依題意，函數與函數關于直線對稱，則，即，又，所以，.故選：B.【答案點睛】本題主要考查對數、指數的大小比較，屬于基礎題.10、A【答案解析】先令，找出的關

12、系，再令，得到的關系，從而可求出，然后令，可得，得出數列為等差數列，得，可求出取最小值.【題目詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數列，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當時，取最小值.故選：A【答案點睛】此題考查的是由數列的遞推式求數列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.11、B【答案解析】通過復數的模以及復數的代數形式混合運算，化簡求解即可.【題目詳解】復數滿足，故選B.【答案點睛】本題主要考查復數的基本運算，復數模長的概念，屬于基礎題12、A【答案解析】利用統計圖結合分層抽樣性質能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數【題目詳解】樣本

13、容量為：（150+250+400）30%240，抽取的戶主對四居室滿意的人數為：故選A【答案點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意統計圖的性質的合理運用二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【答案解析】用表示出的面積，求得等量關系，聯立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【題目詳解】聯立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，所以.聯立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.【答案點睛】本題考查雙曲線的方程與性質，考查運算求解能力以及函數與方程思想，屬中檔題.14、.【答案解析】利用復數的運算法則首先可得

14、出，再根據共軛復數的概念可得結果.【題目詳解】復數滿足，故而可得，故答案為.【答案點睛】本題考查了復數的運算法則，共軛復數的概念，屬于基礎題15、【答案解析】由得，即得解.【題目詳解】由題意可知，則.解得，所以，向量與的夾角為.故答案為：【答案點睛】本題主要考查平面向量的數量積的計算和夾角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、9【答案解析】做出滿足條件的可行域，根據圖形，即可求出的最大值.【題目詳解】做出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，目標函數過點時取得最大值，聯立，解得，即，所以最大值為9.故答案為:9.【答案點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區域，利用數形結合求線

15、性目標函數的最值，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【答案解析】（1）因為點在橢圓上，所以，然后，利用，得出，進而求解即可（2）設點的坐標為，直線的方程為，直線的方程為，分別聯立方程：和，利用韋達定理，再利用，即可求出的值【題目詳解】（1）由橢圓的長半軸長為，得.因為點在橢圓上，所以.又因為，所以，所以（舍）或.故橢圓的標準方程為.（2）設點的坐標為，直線的方程為，直線的方程為.據得.據題意，得，得，同理，得，所以.又可求，得，所以.【答案點睛】本題考查橢圓標準方程的求解以及聯立方程求定值的問題，聯立方程求定值的關鍵在于利用韋達定理

16、進行消參，屬于中檔題18、（）詳見解析；（）詳見解析；（）不需要調整安全教育方案.【答案解析】（I）根據題目所給數據填寫好列聯表，計算出的值，由此判斷出在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認為性別與安全測試是否合格有關.（II）利用超幾何分布的計算公式，計算出的分布列并求得數學期望.（III）由（II）中數據，計算出，進而求得的值，從而得出該校的安全教育活動是有效的，不需要調整安全教育方案.【題目詳解】解：（）由頻率分布直方圖可知，得分在的頻率為，故抽取的學生答卷總數為，.性別與合格情況的列聯表為： 是否合格 性別 不合格合格小計男生女生小計即在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認為性別與安全測試是否

17、合格有關.（）“不合格”和“合格”的人數比例為，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值為, .的分布列為：20151050所以. （）由（）知： .故我們認為該校的安全教育活動是有效的，不需要調整安全教育方案.【答案點睛】本小題主要考查列聯表獨立性檢驗，考查超幾何分布的分布列、數學期望和方差的計算，所以中檔題.19、 () ，；() 為偶數時，為奇數時，；()證明見解析，【答案解析】()根據題意直接寫出答案.()討論當為偶數時，最大為，當為奇數時，最大為，得到答案.() 討論當為奇數時，至少存在一個全為1的拆分，故，當為偶數時， 根據對應關系得到，再計算，得到答案.【題目詳

18、解】()整數4的所有“正整數分拆”為：，.()當為偶數時，時，最大為；當為奇數時，時，最大為；綜上所述：為偶數，最大為，為奇數時，最大為.()當為奇數時，至少存在一個全為1的拆分，故；當為偶數時，設是每個數均為偶數的“正整數分拆”，則它至少對應了和的均為奇數的“正整數分拆”，故.綜上所述：.當時，偶數“正整數分拆”為，奇數“正整數分拆”為，；當時，偶數“正整數分拆”為，奇數“正整數分拆”為，故；當時，對于偶數“正整數分拆”，除了各項不全為的奇數拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數分拆”，故.綜上所述：使成立的為：或.【答案點睛】本土考查了數列的新定義問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（1）證明見詳解；（2）【答案解析】（1）在折疊前的正方形ABCD中，作出對角線AC，BD，由正方形性質知，又/，則于點H，則由直二面角可知面 ，故.又，則面，故命題得證；（2）作出線面角，在直角三角形中求解該角的正弦值.【題目詳解】解：（1）證明：在正方形中，連結交于因為/，故可得，即又旋轉不改變上述垂直關系，且平面,面，又面，所以（2）因為為直二面角，故平面平面,又其交線為,且平面,故可得底面，連結，則即為與面所成角，連結交于，在中，在中，所以與面所成角的正弦值為【答案點睛】本題考查了線面垂直的證明與性質，利用定義求線面角，屬于中檔題.21、（1）證明見解析（2）【答案解析】