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1、二、微分的幾何意義三、基本初等函數的微分公式與 微分運算法則四、微分在近似計算中的應用一、微分的定義 第五節 函數的微分 第二章 一、微分的定義實例: 正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.則再例如,既容易計算又是較好的近似值問題:這個線性函數(改變量的主要部分)是否所有函數的增量都有?它是什么?如何求?的相應于增量x 的微分,定義: 若函數在點 的增量可表示為( A 為不依賴于x 的常數)則稱函數而 稱為記作即在點可微,說明:已知在點 可微 ,即故在點 的可導,且定理: 函數即可導可微在可微的充要條件是證: “必要性: ” .可微可導已知即在點 的可導,則“充分性 : 可導 可微 ”.所以二、微

2、分的幾何意義MNT）如圖, P Q三、基本初等函數的微分公式與微分運算法則微分的求法:1. 基本初等函數的微分公式 (對照表)先計算函數的導數再乘以自變量的微分.2. 函數和、差、積、商的微分法則結論:微分形式的不變性4. 微分形式不變性例3.解:例5.解:例6.解:根據積的微分法則例7.解:根據商的微分法則方程兩邊求微分, 得已知求解：例8.利用微分形式不變性, 例9.解:在所給方程兩端分別求微分整理得例10.解: 在下列等式左端的括號中填入適當的函數,使等式成立.從幾何上解釋即用切線近似取代曲線(鄰近).則已知球體體積為鍍銅體積為例11. 有一批半徑為1cm 的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,厚度定為 0.01cm,估計一下,每只球需用銅多少克.解:因此每只球需用銅約為(g).鍍銅體積 = 球體積增量2. 工程上常用的近似公式例13.解:*3. 微分在估計誤差中的應用某量的精確值為 A ,其近似值為 a ,稱為a 的絕對誤差稱為a 的相對誤差若稱為測量 A 的絕對誤差限稱為測量 A 的相對誤差限則誤差傳遞公式 :已知測量誤差限為按公式計算 y 值時的誤差故 y 的絕對誤差限約為相對誤差限約為

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