2024—2025學年度第一學期期末學業水平質量檢測九年級數學試題（考試時間：120分鐘滿分：120分）真情提示：親愛的同學，歡迎你參加本次考試，祝你答題成功！本試題共有25道題，其中1~9題為選擇題，共27分；10~15題為填空題，共18分；16題為作圖題，共4分；17~25題為解答題，共71分．要求所有題目均在答題卡上作答，在本卷上作答無效．一、選擇題（本題滿分27分，共有9道小題，每小題3分）1.我國古代數學家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計算方法．“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體．如圖所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，則它的俯視圖是（）A. B.C. D.2.下列命題錯誤的是（）A.正方形的對角線互相垂直 B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C.對角線相等的四邊形是矩形 D.菱形的四條邊相等3.2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發射．當火箭上升到點時，雷達在與發射點相距的海平面處測得其仰角為，則此時雷達測得火箭上升的距離為（）A. B. C. D.4.已知二次函數的圖象與軸有交點，則的取值范圍是（）A. B.且 C.且 D.且5.四分儀是一種十分古老的測量儀器，其出現可追溯到數學家托勒密的《天文學大成》．圖1是古代測量員用四分儀測量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點，窺衡桿與四分儀的一邊交于點．圖2中，四分儀為正方形，方井為矩形．若測量員從四分儀中讀得為2，為1，實地測得為5，則井深為（）A.8 B.9 C.10 D.116.若將拋物線先向左平移個單位，再向下平移個單位，得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是（）A. B.C. D.7.如圖，在直角坐標系中，矩形的頂點位于坐標原點，點、坐標分別為和．若矩形與矩形關于點位似，且矩形的面積等于矩形面積的，則點的對應點的坐標是（）A B.C.或 D.或8.如圖，圭表是度量日影長度的一種天文儀器，垂直于地面的直桿叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以測量影長的標尺叫“圭”．當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，冬至日影最長，；夏至日影最短，．若圭面上冬至線與夏至線之間的距離為，則表高為（）A B. C. D.9.拋物線的對稱軸是直線，且過點，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷：①；②；③；④；⑤，（），其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）10.已知是一元二次方程的一個根，則方程的另一個根是______．11.實踐課上，小明在一張面積為的矩形卡片上繪制了圖1所示的青島市地形圖，他想知道該地形圖的面積，采取了以下辦法：將矩形卡片水平放置在地面上，在適當位置隨機地朝矩形區域拋擲小球，記錄落在該地形圖上的次數（球拋在地形圖最外圍的界線上或矩形區域外不計入試驗結果），并將若干次試驗結果繪制成圖2所示的折線統計圖，據此估計該地形圖的面積約為______．12.某手機廠商一月份生產手機50萬部，計劃二、三月份共生產手機132萬部，設二、三月份平均每月增長率為，根據題意列出方程為______．13.如圖，菱形的對角線、相交于點，作交的延長線于點，連接，若，，則______．14.如圖，矩形的頂點和正方形的頂點都在反比例函數的圖象上，若點的坐標為，則點的坐標為______．15.如圖，正方形的邊長為，為中點，為射線上的動點，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接、，則的最小值為______．三、作圖題（本題滿分4分）用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．16.已知，線段，求作：菱形，使，對角線．四、解答題（本大題滿分71分，共9小題）17.（1）解方程：（2）計算：18.湛山寺位于青島市湛山西南、太平山東麓，在寺廟的后方東側，有一座八角七級磚塔（圖所示），被稱為“藥師塔”．課題測量藥師塔的高度測量工具測角儀等測量示意圖測量過程如圖，為了測量藥師塔的高度，采用了如下的方法：先從與塔底在同一水平線上的點出發，沿斜坡行走米至坡頂處，再從沿水平方向繼續前行若干米后至點，在點測得塔頂的仰角為，塔底的俯角為．說明點、、、、在同一平面內，斜坡的坡度．要求結果精確到．（參考數據：，，）（1）求坡頂到的距離；（2）計算藥師塔的高度．19.2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，運動攀巖，依次記為，，，．體育老師把這四個項目分別寫在四張背面完全相同的卡片上，將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．（1）體育老師想從這四張卡片中隨機抽取一張，了解該項目在奧運會中得分標準，恰好抽到（沖浪）的概率是______；（2）體育老師想從中選出兩個項目，做成手抄報在學校進行普及．他先從這四張卡片中隨機抽取一張不放回，再從剩下的三張卡片（洗勻后）中隨機抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的概率．20.圖1是某跳水運動員平時的一次跳水訓練，起跳后的運動路線可以看作是拋物線的一部分．如圖2所示建立平面直角坐標系，起跳點，入水點的水平距離，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度（單位：米）與水平距離（單位：米）近似滿足函數關系式．（1）求出與的函數關系式；（2）這次訓練，該運動員跳水最大豎直高度為______米；（3）比賽當天的某一次跳水中，這位運動員的豎直高度與水平距離近似滿足函數關系：，請問比賽當天這次跳水入水點的水平距離比訓練時入水點的水平距離是近還是遠？請說明理由．21.如圖，在平面直角坐標中，點是坐標原點，一次函數與反比例函數的圖象交于、兩點．（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）根據圖象回答，當時，的取值范圍為______；（3）軸上有一點，當以點、、、為頂點的四邊形的面積為時，求點的坐標．22.如圖，矩形中，對角線、交于點，點、分別在邊和上，在線段上，連接、，交于點．（1）求證：；（2）若是的中點，且，判斷四邊形的形狀，并說明理由．23.“元宵節”吃元宵是中國傳統習俗，在“元宵節”來臨前，某超市購進一批某品牌的元宵，每盒進價是元．根據銷售經驗，當每盒售價定為元時，日銷售量為盒．每盒售價每提高元，日銷售量就會減少盒．設每盒售價為元，日銷售量為盒．（1）直接寫出關于的函數關系式；（2）當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤（元）最大？最大利潤是多少？（3）在日銷售利潤不低于元的前提下，該超市購進這批元宵的進貨總成本最低為多少元？24.如圖，的面積為2，為邊上的中線，點是的等分點；點是的等分點；點是的等分點．其中、、為正整數，．（1）的面積為______；（2）求四邊形的面積，并說明理由；（3）四邊形的面積為______；（4）的面積為______．25.已知：把和按圖方式擺放（點與點重合），點、，在同一條直線上．，，，．如圖，從圖1位置出發，以的速度沿方向向點勻速移動，在移動的同時，點從點出發，以的速度沿方向向點勻速移動．當與重合時，與點都停止移動．關于的對稱點為，交于點，交于點，設移動時間為．解答下列問題：（1）為何值時，？（2）設面積為，求與的函數關系式？（3）是否存在某個時刻，使得？若存在，請求出值；若不存在，請說明理由．

2024—2025學年度第一學期期末學業水平質量檢測九年級數學試題（考試時間：120分鐘滿分：120分）真情提示：親愛的同學，歡迎你參加本次考試，祝你答題成功！本試題共有25道題，其中1~9題為選擇題，共27分；10~15題為填空題，共18分；16題為作圖題，共4分；17~25題為解答題，共71分．要求所有題目均在答題卡上作答，在本卷上作答無效．一、選擇題（本題滿分27分，共有9道小題，每小題3分）1.我國古代數學家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計算方法．“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體．如圖所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，則它的俯視圖是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，根據俯視圖即從物體的上面觀察得得到的視圖，進而得出答案．【詳解】解：該幾何體左邊是一個圓柱，從上面看，看到的是一個長方形，該幾何體右邊下部分是正方體，上部分是圓柱，看到的是一個正方形內里鑲嵌一個圓，即該幾何體的俯視圖是：．故選：A．2.下列命題錯誤是（）A.正方形的對角線互相垂直 B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C.對角線相等的四邊形是矩形 D.菱形的四條邊相等【答案】C【解析】【分析】本題考查的是平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定和性質定理，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解題的關鍵．根據平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A、正方形的對角線互相垂直，正確，不符合題意；B、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，正確，不符合題意；C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項錯誤，符合題意；D、菱形的四條邊相等，正確，不符合題意；故選：C．3.2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發射．當火箭上升到點時，雷達在與發射點相距的海平面處測得其仰角為，則此時雷達測得火箭上升的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數的定義是解題關鍵．根據銳角的正切的定義求解，即可解題．【詳解】解：，仰角為，，故選：A．4.已知二次函數的圖象與軸有交點，則的取值范圍是（）A. B.且 C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數的定義，二次函數與x軸的交點，先根據二次函數的定義得出，再根據二次函數的圖象與軸有交點，得出方程有實數根，結合一元二次方程根的判別式，即可解答．【詳解】解：∵是二次函數，∴，∵二次函數的圖象與軸有交點，∴方程有實數根，∴，解得：，綜上：k的取值范圍是且，故選：D．5.四分儀是一種十分古老的測量儀器，其出現可追溯到數學家托勒密的《天文學大成》．圖1是古代測量員用四分儀測量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點，窺衡桿與四分儀的一邊交于點．圖2中，四分儀為正方形，方井為矩形．若測量員從四分儀中讀得為2，為1，實地測得為5，則井深為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質和判定，矩形性質，證明，根據相似三角形的性質建立等式求解，再結合矩形性質，即可解題．【詳解】解：由題知，，，，從四分儀中讀得為2，為1，實地測得為5，，，解得，四邊形矩形，．故選：A．6.若將拋物線先向左平移個單位，再向下平移個單位，得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，根據“左加右減，上加下減”解答即可求解，掌握二次函數圖象的平移規律是解題的關鍵．【詳解】解：若將拋物線先向左平移個單位，再向下平移個單位，得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是，故選：．7.如圖，在直角坐標系中，矩形的頂點位于坐標原點，點、坐標分別為和．若矩形與矩形關于點位似，且矩形的面積等于矩形面積的，則點的對應點的坐標是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】本題考查了位似圖形的性質，坐標與圖形，由已知可得矩形與矩形的位似比為，點的坐標為，進而即可求解，掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵矩形與矩形關于點位似，且矩形的面積等于矩形面積的，∴矩形與矩形的位似比為，∵點、坐標分別為和，∴點的坐標為，∴點的對應點的坐標是或，即或，故選：．8.如圖，圭表是度量日影長度的一種天文儀器，垂直于地面的直桿叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以測量影長的標尺叫“圭”．當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，冬至日影最長，；夏至日影最短，．若圭面上冬至線與夏至線之間的距離為，則表高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數構建方程解決問題．設表高，判斷出，根據，構建方程求解．【詳解】解：設表高．∵冬至日影最長，；夏至日影最短，．則，，，解得：．∴表高．故選：B．9.拋物線的對稱軸是直線，且過點，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷：①；②；③；④；⑤，（），其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數與系數的關系，二次函數圖象上的點的特征，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．根據拋物線對稱軸為直線，且經過點，即可得出，根據圖象可得，，即可判斷①，根據和關于對稱軸對稱，得出，即可判斷③，根據，代入，即可判斷④，根據拋物線與軸有兩個交點，得出，即可判斷②，根據當時，，即可判斷⑤．【詳解】解：∵拋物線對稱軸，經過點，，，根據圖象可得，，∴，故①正確，∵拋物線對稱軸為直線，經過點，∴和關于對稱軸對稱，時，，∴，故③錯誤，，∴，故④錯誤，∵拋物線與軸有兩個交點，∴方程有兩個不相等的實數根，∴，，故②正確，當時，，當時，，∴，∴，即，（），故⑤正確，故正確的有3個，故選：C．二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）10.已知是一元二次方程的一個根，則方程的另一個根是______．【答案】9【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程的根與系數的關系，掌握“利用一元二次方程的根與系數的關系求解方程的根或方程中未知系數的值”是解本題的關鍵．設該方程的另一個根為，結合一元二次方程根與系數的關系可得：，再解一次方程即可得到答案．【詳解】解：是一元二次方程的一個根，設該方程的另一個根為，則，，所以該方程的另一個根是9．故答案為：9．11.實踐課上，小明在一張面積為矩形卡片上繪制了圖1所示的青島市地形圖，他想知道該地形圖的面積，采取了以下辦法：將矩形卡片水平放置在地面上，在適當位置隨機地朝矩形區域拋擲小球，記錄落在該地形圖上的次數（球拋在地形圖最外圍的界線上或矩形區域外不計入試驗結果），并將若干次試驗結果繪制成圖2所示的折線統計圖，據此估計該地形圖的面積約為______．【答案】100【解析】【分析】本題考查了幾何概率，由頻率估計概率，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．由題意可得小球落在該地形圖上的概率為0.5，設該地形圖的面積為，則，求解即可得出答案．【詳解】解：根據題意可得：小球落在該地形圖上的概率為0.5，設該地形圖的面積為，則，解得：，∴該地形圖的面積大約為，故答案為：100．12.某手機廠商一月份生產手機50萬部，計劃二、三月份共生產手機132萬部，設二、三月份平均每月增長率為，根據題意列出方程為______．【答案】【解析】【分析】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是明確題意，找出題目中的等量關系，列出相應的方程．設二，三月份每月的平均增長率為，根據“計劃二，三月份共生產132萬臺”，即可列出方程．【詳解】解：設二，三月平均每月增長率為，根據題意列出方程為：，故答案為：．13.如圖，菱形的對角線、相交于點，作交的延長線于點，連接，若，，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，由菱形的面積可得，進而由菱形的性質和勾股定理可得，得到，即得，最后根據直角三角形的性質即可求解，掌握菱形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，故答案為：．14.如圖，矩形的頂點和正方形的頂點都在反比例函數的圖象上，若點的坐標為，則點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了待定系數法求反比例函數，反比例函數圖象上點的坐標特征，正方形的性質，先求出反比例函數的解析式，設，則，根據可得，求得的值即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：∵點的坐標為且在反比例函數的圖象上，∴，∴，∴反比例函數的解析式為，∵四邊形是正方形，∴，又∵點在反比例函數圖象上，不妨設，則，∴，解得，，∵，∴，∴，故答案為：．15.如圖，正方形的邊長為，為中點，為射線上的動點，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接、，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】過點作交的延長線于點，在的延長線上取一點，使得，連接，過點作于點，證明，推出，，可得，推出平分，因為關于對稱，所以，推出，可知當點在上時，的值最小，最小值為線段的長.【詳解】解：如圖，過點作交的延長線于點，在的延長線上取一點，使得，連接，過點作于點，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴平分，∵，∴關于對稱，∴，∴，∴當點在上時，的值最小，最小值為線段的長，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉的性質，正方形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱-最短問題等知識，解題的關鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構造全等三角形．三、作圖題（本題滿分4分）用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．16.已知，線段，求作：菱形，使，對角線．【答案】作圖見解析【解析】【分析】在平面內任選一點，以為端點作射線，再用作兩個角相等的方法作，再作的角平分線，再由作兩條線段相等的方法在的角平分線上截取，最后作線段的垂直平分線，交兩邊于點，連接、即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：【點睛】本題考查作菱形，涉及基本尺規作圖中作兩個角相等、作角平分線、作兩條線段相等、作垂直平分線，熟練掌握五種基本尺規作圖的方法步驟是解決問題的關鍵．四、解答題（本大題滿分71分，共9小題）17.（1）解方程：（2）計算：【答案】（1）（2）0【解析】【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，特殊角三角函數值的混合運算，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先移項，再配方得，最后開方，即可作答．（2）先化簡特殊角的三角函數值，再運算乘方和乘法，最后運算減法，即可作答．【詳解】解：（1），∴則∴∴（2）18.湛山寺位于青島市湛山西南、太平山東麓，在寺廟的后方東側，有一座八角七級磚塔（圖所示），被稱為“藥師塔”．課題測量藥師塔的高度測量工具測角儀等測量示意圖測量過程如圖，為了測量藥師塔的高度，采用了如下的方法：先從與塔底在同一水平線上的點出發，沿斜坡行走米至坡頂處，再從沿水平方向繼續前行若干米后至點，在點測得塔頂的仰角為，塔底的俯角為．說明點、、、、在同一平面內，斜坡的坡度．要求結果精確到．（參考數據：，，）（1）求坡頂到的距離；（2）計算藥師塔的高度．【答案】（1）坡頂到的距離為米；（2）藥師塔的高度約為米．【解析】【分析】（）過點作，垂足為，根據已知可設米，則米，然后在中，利用勾股定理進行計算即可解答；（）延長交于點，根據題意可得，米，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，最后利用線段的和差關系進行計算即可解答；本題考查了解直角三角形的應用—仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．【小問1詳解】解：如圖，過點作，垂足為，∵斜坡的坡度，∴，設米，則米，在中，由勾股定理得：（米），∵米，∴，解得:，∴米，∴坡頂到的距離為米；【小問2詳解】解：如圖，延長交于點，由題意可得，米，∵塔底的俯角為，，∴，∴，∴米，在中，，∴（米），∴（米），∴藥師塔的高度約為米．19.2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，運動攀巖，依次記為，，，．體育老師把這四個項目分別寫在四張背面完全相同的卡片上，將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．（1）體育老師想從這四張卡片中隨機抽取一張，了解該項目在奧運會中的得分標準，恰好抽到（沖浪）的概率是______；（2）體育老師想從中選出兩個項目，做成手抄報在學校進行普及．他先從這四張卡片中隨機抽取一張不放回，再從剩下的三張卡片（洗勻后）中隨機抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，正確畫出樹狀圖是解題的關鍵．（1）直接運用概率公式求解即可；（2）先畫出樹狀圖，可知共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的結果有2種，最后由概率公式求解即可．【小問1詳解】解：體育老師想從中隨機抽取一張，恰好抽到（沖浪）的概率是；故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹狀圖如下：，共有12種等可能的結果，其中抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的結果數為2，體育老師抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的概率．20.圖1是某跳水運動員平時的一次跳水訓練，起跳后的運動路線可以看作是拋物線的一部分．如圖2所示建立平面直角坐標系，起跳點，入水點的水平距離，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度（單位：米）與水平距離（單位：米）近似滿足函數關系式．（1）求出與的函數關系式；（2）這次訓練，該運動員跳水的最大豎直高度為______米；（3）比賽當天的某一次跳水中，這位運動員的豎直高度與水平距離近似滿足函數關系：，請問比賽當天這次跳水入水點的水平距離比訓練時入水點的水平距離是近還是遠？請說明理由．【答案】（1）（2）米（3）遠【解析】【分析】本題考查二次函數的實際應用，解題的關鍵是正確的求出函數解析式．（1）將點，代入根據待定系數法求出解析式，即可求解；（2）將（1）中解析式化為頂點式，求出頂點縱坐標即可求解．（3）求出中，當時，x的值，進行比較即可．【小問1詳解】解：將點，代入可得：，解得：，故與的函數關系式為．小問2詳解】解：∵，∴當時，，故這次訓練，該運動員跳水的最大豎直高度為米．【小問3詳解】解：在中，令，則，解得：（舍去），，∴比賽當天這次跳水入水點水平距離比訓練時入水點的水平距離是遠．21.如圖，在平面直角坐標中，點是坐標原點，一次函數與反比例函數的圖象交于、兩點．（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）根據圖象回答，當時，的取值范圍為______；（3）軸上有一點，當以點、、、為頂點的四邊形的面積為時，求點的坐標．【答案】（1）一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為；（2）或；（3）點的坐標或．【解析】【分析】（）把代入得，可得反比例函數的解析式為，然后求出，最后把，代入求出解析式即可；（）根據函數圖象即可得到不等式的解集；（）由得，當時，，當時，，求出，，然后分當時，和當時，兩種情況可得關于的一元一次方程，然后解方程即可；本題考查了待定系數法求函數的解析式，三角形的面積，解一元一次方程，正確地求出函數的解析式是解題的關鍵．【小問1詳解】解：把代入得，∴，∴反比例函數的解析式為，把代入得，，∴，把，代入得，，∴，∴一次函數的解析式為；【小問2詳解】解：由圖象得，當時，即時，的取值范圍為或，故答案為：或；【小問3詳解】解：設，由得，當時，，當時，，∴，，當時，，∴，∴點的坐標為，當時，，∴，∴點的坐標為，綜上可知：點的坐標或．22.如圖，矩形中，對角線、交于點，點、分別在邊和上，在線段上，連接、，交于點．（1）求證：；（2）若是的中點，且，判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）四邊形是菱形，理由見解析【解析】【分析】（）利用矩形的性質可證，得到，進而證明即可求證；（）由得，即可得四邊形是平行四邊形，再證明為等邊三角形，得到，即得，再根據三線合一可得，即可求證．【小問1詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：四邊形是菱形，理由如下：由（）得，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴為等邊三角形，∵是的中點，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴四邊形是菱形．【點睛】本題考查了矩形的性質，菱形的判定，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，掌握矩形的性質和菱形的判定是解題的關鍵．23.“元宵節”吃元宵是中國傳統習俗，在“元宵節”來臨前，某超市購進一批某品牌的元宵，每盒進價是元．根據銷售經驗，當每盒售價定為元時，日銷售量為盒．每盒售價每提高元，日銷售量就會減少盒．設每盒售價為元，日銷售量為盒．（1）直接寫出關于的函數關系式；（2）當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤（元）最大？最大利潤是多少？（3）在日銷售利潤不低于元的前提下，該超市購進這批元宵的進貨總成本最低為多少元？【答案】（1）（2）當每盒售價定為元時，日銷售利潤最大，最大利潤是元（3）該超市購進這批元宵的進貨總成本最低為元【解析】【分析】本題考查二次函數的實際應用，一次函數的實際應用，解一元二次方程，根據題意列出函數關系式，再根據二次函數以及一次函數的性質求最值是解答本題的關鍵．（1）根據銷售量等于原來的銷售量減去減少的銷售量列式求解即可；（2）根據題意表示出日銷售利潤，然后利用二次函數的性質求解即可；（3）先根據日銷售利潤不低于元求出售價的范圍，設該超市購進這批元宵的進貨總成本為元，根據題意用表示出，再根據一次函數的性質求解即可．【小問1詳解】解：根據題意，得；【小問2詳解】解：根據題意，得，，當時，有最大值，最大值為，答：當每盒售價定為元時，日銷售利潤最大，最大利潤是元；【小問3詳解】解：根據題意，得，解得：，，，當時，日銷售利潤不低于元，設該超市購進這批元宵的進貨總成