1、1數(shù)值積分與微分21.從矩形公式到梯形公式數(shù)值積分平均，得到梯形公式3 對(duì)k求和，得辛普森公式：二次函數(shù)sk(x)2.辛普森(Simpson)公式（拋物線公式）4即梯形公式Tn的誤差是h2階的估計(jì) 梯形公式的誤差辛普森公式的誤差估計(jì)其中即辛普森公式Sn的誤差是h4階的。5梯形公式和辛普森公式的收斂性若對(duì)I某個(gè)數(shù)值積分In有（非零常數(shù)）則稱 In是 p 階收斂的。梯形公式 2 階收斂，辛普森公式 4 階收斂。6用MATLAB 作數(shù)值積分矩形公式Sum(x)輸入數(shù)組x(即fk),輸出x的和(數(shù))cusum(x)輸入數(shù)組x,輸出x的依次累加和(數(shù)組)梯形公式trapz(x)輸入數(shù)組x,輸出按梯形公式

2、x的積分(單位步長)trapz(x,y)輸入同長度數(shù)組 x,y,輸出按梯形公式y(tǒng)對(duì)x的積分(步長不一定相等)7用MATLAB 作數(shù)值積分辛普森公式quad(fun,a,b,tol)用辛普森(2階)公式計(jì)算以 fun.m命名的函數(shù)在 (a, b) 上的積分tol為相對(duì)誤差，缺省時(shí)為10-3quad8(fun,a,b,tol)用辛普森(8階)公式計(jì)算8用MATLAB 作數(shù)值積分例. 計(jì)算1）矩形公式和梯形公式將(0,pi/2)10等分,步長h=pi/202）辛普森公式精確、方便無法計(jì)算用數(shù)值給出的函數(shù)的積分shiyan311.mshiyan312.m9數(shù) 值 微 分 實(shí) 例人 口 增 長 率已知2

3、0世紀(jì)美國人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為(單位：百萬)年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4計(jì)算這些年份的人口(相對(duì))增長率(%).記 t 時(shí)刻的人口為 x(t), 則人口(相對(duì))增長率為需要用數(shù)值方法計(jì)算。10數(shù) 值 微 分函數(shù) y=f(x) 以離散值給出(如已知 f(a), f(a+h), f(a-h) )，T0 xAy=f(x)BCa-haa+h計(jì)算在點(diǎn) x=a 處的導(dǎo)數(shù) 前差公式后差公式最常用的中點(diǎn)公式11數(shù) 值 微

4、 分誤差估計(jì)三個(gè)公式代入可知,前(后)差公式的誤差為O(h), 中點(diǎn)公式誤差為O(h2)數(shù)值微分的常用公式區(qū)間(a,b)n等分,y=f(x)在分點(diǎn)處數(shù)值為(xk,yk),a=x0 x1xn=b, h=(b-a)/n12以上3式稱三點(diǎn)公式，誤差為O(h2)問題是不是步長 h 越小，結(jié)果越好？數(shù)值微分的常用公式13例clear;for n = 1:1:13 h(n) = 1/8(n-1); df(n) = (sqrt(2+h(n)-sqrt(2-h(n)/2/h(n); exact_df(n) = 1/2/sqrt(2);end-h- df-exact_dfvpa(h,df,exact_df,8)

5、14h太小時(shí) yk+1與yk-1很接近,二者相減引起很大的舍入誤差 1., .36602540, .35355340 .12500000, .35372632, .35355340 .15625000e-1, .35355609, .35355340 .19531250e-2, .35355343, .35355340 .24414063e-3, .35355339, .35355340 .30517578e-4, .35355339, .35355340 .38146973e-5, .35355339, .35355340 .47683716e-6, .35355339, .35355340

6、 .59604645e-7, .35355339, .35355340 .74505806e-8, .35355340, .35355340 .93132257e-9, .35355341, .35355340 .11641532e-9, .35355282, .35355340 .14551915e-10, .35355377, .35355340-h- df-exact_df15數(shù)值微分實(shí)例 人口增長率自1900年起人口記xk , 年增長率記rkr0 r9(%)的計(jì)算結(jié)果為 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 0.011 0.166 0.147

7、0.102 0.104 0.158 0.149 0.116 0.00916上 機(jī)目的 用 MATLAB 掌握梯形公式、辛普森公式、計(jì)算數(shù)值積分； 通過實(shí)例學(xué)習(xí)用數(shù)值積(微)分解決實(shí)際問題內(nèi)容1. 分別用梯形（trapz）、辛普森（quad）求下列函數(shù)在指定區(qū)間的積分17二、（計(jì)算瑞士國土面積的近似值）對(duì)瑞士地圖（圖上18mm=實(shí)際40km)作如下測量：以西向東方向?yàn)閤軸，南向北方向?yàn)閥軸，并選取方便的原點(diǎn)。將從最西端的邊界點(diǎn)到最東邊的邊界點(diǎn)在x軸上的區(qū)間劃分成若干段，在每個(gè)分點(diǎn)的y方向測出南邊界點(diǎn)和北邊界點(diǎn)的坐標(biāo) ，得到下表：187.010.513.017.534.040.544.548.056.0444547505038303034445970729310011011011061.068.576.580.59196101104106.5363441454643373328117118116118118121124121121111.5118123.5136.514214615015715832655554525066666812112211683818286856819假設(shè)美國人口的增長規(guī)律可用Logisitic模型描述試估計(jì)參數(shù)練習(xí)三已知20世紀(jì)美國人口的統(tǒng)