1、2021新高考數(shù)學(xué)(江蘇專用)一輪復(fù)習(xí)課件：第七章+高考專題突破四+高考中的立體幾何問(wèn)題2021新高考數(shù)學(xué)(江蘇專用)一輪復(fù)習(xí)課件：第七章+高考專題命題點(diǎn)1求線線角例1(2019湖北知名示范高中聯(lián)合質(zhì)檢)若在三棱柱ABCA1B1C1中，A1ACBAC60，平面A1ACC1平面ABC，AA1ACAB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為_.空間角的求法多維探究題型一命題點(diǎn)1求線線角空間角的求法多維探究題型一解析方法一令M為AC的中點(diǎn)，連結(jié)MB，MA1，由題意知ABC是等邊三角形，所以BMAC，同理，A1MAC，因?yàn)槠矫鍭1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，BM平面ABC，所

2、以BM平面A1ACC1，因?yàn)锳1M平面A1ACC1，所以BMA1M，解析方法一令M為AC的中點(diǎn)，連結(jié)MB，MA1，2021新高考數(shù)學(xué)(江蘇專用)一輪復(fù)習(xí)課件：第七章+高考專題突破四+高考中的立體幾何問(wèn)題方法二如圖，在平面ABC，平面A1B1C1中分別取點(diǎn)D，D1，連結(jié)BD，CD，B1D1，C1D1，使得四邊形ABDC，A1B1D1C1為平行四邊形，連結(jié)DD1，BD1，則ABC1D1，且ABC1D1，所以AC1BD1，故A1BD1或其補(bǔ)角為異面直線AC1與A1B所成的角.連結(jié)A1D1，過(guò)點(diǎn)A1作A1MAC于點(diǎn)M，連結(jié)BM，設(shè)AA12，由A1AMBAC60，因?yàn)槠矫鍭1ACC1平面ABC，平面A1

3、ACC1平面ABCAC，A1M平面A1ACC1，所以A1M平面ABC，又BM平面ABC，方法二如圖，在平面ABC，平面A1B1C1中分別取點(diǎn)D，D2021新高考數(shù)學(xué)(江蘇專用)一輪復(fù)習(xí)課件：第七章+高考專題突破四+高考中的立體幾何問(wèn)題(1)求異面直線所成角的思路：選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系.求出兩直線的方向向量v1，v2.代入公式|cosv1，v2| 求解.(2)兩異面直線所成角的關(guān)注點(diǎn)：兩異面直線所成角的范圍是 ，兩向量的夾角的范圍是0，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.思維升華SI WEI SHE

4、NG HUA(1)求異面直線所成角的思路：思維升華SI WEI SHEN跟蹤訓(xùn)練1(2020邵陽(yáng)模擬)若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積為 ，AB1，則直線AB1與CD1所成的角為A.30 B.45 C.60 D.90跟蹤訓(xùn)練1(2020邵陽(yáng)模擬)若正四棱柱ABCDA1B以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線AB1與CD1所成的角為，又090，60，直線AB1與CD1所成的角為60.故選C.以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所命題點(diǎn)2求線面角例2如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C

5、均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)證明：AB1平面A1B1C1；命題點(diǎn)2求線面角方法一證明由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，又因?yàn)锳1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，所以AB1平面A1B1C1.方法一證明由AB2，AA14，BB12，AA1A方法二證明如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：又A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1，所以AB1平面A1B1C1.方法二證明

6、如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，O(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.方法一解如圖，過(guò)點(diǎn)C1作C1DA1B1，交直線A1B1于點(diǎn)D，連結(jié)AD.由AB1平面A1B1C1，由C1DA1B1，平面A1B1C1平面ABB1A1B1，C1D平面A1B1C1，得C1D平面ABB1.所以C1AD即為AC1與平面ABB1所成的角.得平面A1B1C1平面ABB1.方法一解如圖，過(guò)點(diǎn)C1作C1DA1B1，交直線A1B1方法二解設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為.設(shè)平面ABB1的一個(gè)法向量為n(x，y，z).方法二解設(shè)直線AC1與平面AB

7、B1所成的角為.設(shè)平面A(1)利用向量求直線與平面所成的角有兩個(gè)思路：分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角).通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.思維升華SI WEI SHENG HUA(1)利用向量求直線與平面所成的角有兩個(gè)思路：分別求出斜線跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn).(1)證明：EFBC；跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1方法一證明如圖，

8、連結(jié)A1E，因?yàn)锳1AA1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC，則A1EBC.又因?yàn)锳1FAB，ABC90，故BCA1F，又A1E，A1F平面A1EF，A1EA1FA1，所以BC平面A1EF.又EF平面A1EF，因此EFBC.方法一證明如圖，連結(jié)A1E，因?yàn)锳1AA1C，E是AC方法二證明連結(jié)A1E，因?yàn)锳1AA1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC.如圖，以E為原點(diǎn)，分別以射線EC，

9、EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.方法二證明連結(jié)A1E，因?yàn)锳1AA1C，E是AC的中點(diǎn)(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.方法一解取BC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，GF，由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四邊形EGFA1為矩形.連結(jié)A1G交EF于O，由(1)得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.則EOG是直線EF與平面A1BC所成的角(或其補(bǔ)角).則EGFA1是平行四邊形.方法一解取BC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，GF，則EGFA1是平方法二解設(shè)直線EF與平面A1BC所成

10、角為.設(shè)平面A1BC的法向量為n(x，y，z).方法二解設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為.設(shè)平面A1B命題點(diǎn)3求二面角例3(2020連云港模擬)如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形. SA平面ABCD，E，F(xiàn)分別為AD，SC的中點(diǎn)，EF與平面ABCD所成的角為45.(1)證明：EF為異面直線AD與SC的公垂線；命題點(diǎn)3求二面角證明連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E，F(xiàn)分別是AD，SC的中點(diǎn)，所以EGCD，且FGSA.又SA平面ABCD，所以GF平面ABCD，所以GFAD.又ADGE，GEGFG，GE，GF平面GEF，所以AD平面GEF，所以ADEF.

11、因?yàn)镋F與平面ABCD所成的角為45，所以FEG45，從而GEGF，所以SAAB.證明連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.取SB的中點(diǎn)H，連結(jié)AH，F(xiàn)H，從而四邊形AEFH為平行四邊形.所以EFAH.又由SAAB，知AHSB.又SABC，ABBC，SAABA，SA，AB平面SAB，所以BC平面SAB，所以AHBC.又SBBCB，SB，BC平面SBC，所以AH平面SBC.所以EF平面SBC，又SC平面SBC，所以EFSC.綜上知EF為異面直線AD與SC的公垂線.則由F，H分別為SC，SB的中點(diǎn)，取SB的中點(diǎn)H，連結(jié)AH，F(xiàn)H，從而四邊形AEFH為平行四邊2021新高考數(shù)學(xué)(江蘇專用)一輪復(fù)習(xí)

12、課件：第七章+高考專題突破四+高考中的立體幾何問(wèn)題以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為n1(x1，y1，z1)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在直線分別為x，y，z軸，設(shè)二面角BSCD的平面角為，由圖知，二面角BSCD為鈍角，設(shè)二面角BSCD的平面角為，由圖知，二面角BSCD(1)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.(2)利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：

13、求平面的垂線的方向向量.利用法向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積為零，列方程組求解.思維升華SI WEI SHENG HUA(1)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在跟蹤訓(xùn)練3(2019湖北宜昌一中模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).(1)證明：BEPD；解依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1).跟蹤訓(xùn)練3(2019湖北宜昌一中模擬)如圖，在四棱錐P(2)

14、若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BFAC，求二面角FABD的余弦值.(2)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BFAC，求二面角FAB不妨令z1，可得n1(0,3，1)為平面FAB的一個(gè)法向量，取平面ABD的法向量n2(0,0,1)，不妨令z1，可得n1(0,3，1)為平面FAB的一個(gè)又因?yàn)槎娼荈ABD為銳二面角，又因?yàn)槎娼荈ABD為銳二面角，立體幾何中的探索性問(wèn)題題型二師生共研例4(2019淄博模擬)已知正方形的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60的二面角，點(diǎn)M在線段AB上.(1)若M為AB的中點(diǎn)，且直線MF與由A，D，E三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為O，試確定點(diǎn)O的

15、位置，并證明直線OD平面EMC；立體幾何中的探索性問(wèn)題題型二師生共研例4(2019淄博模解因?yàn)橹本€MF平面ABFE，故點(diǎn)O在平面ABFE內(nèi)也在平面ADE內(nèi)，所以點(diǎn)O在平面ABFE與平面ADE的交線上(如圖所示)，因?yàn)锳OBF，M為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)AMFBM，所以O(shè)MMF，AOBF，所以點(diǎn)O在EA的延長(zhǎng)線上，且AO2，連結(jié)DF交EC于N，因?yàn)樗倪呅蜟DEF為矩形，所以N是EC的中點(diǎn)，連結(jié)MN，因?yàn)镸N為DOF的中位線，所以MNOD，又因?yàn)镸N平面EMC，OD平面EMC，所以直線OD平面EMC.解因?yàn)橹本€MF平面ABFE，(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60；若存在，求此時(shí)

16、二面角MECF的余弦值，若不存在，說(shuō)明理由.(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60解由已知可得，EFAE，EFDE，AEDEE，所以EF平面ADE，所以平面ABFE平面ADE，取AE的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AH，DH所在直線分別為x軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，解由已知可得，EFAE，EFDE，AEDEE，設(shè)平面EMC的法向量m(x，y，z)，因?yàn)镈E與平面EMC所成的角為60，設(shè)平面EMC的法向量m(x，y，z)，因?yàn)镈E與平面EMC解得t1或t3，所以存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60，取ED的中點(diǎn)Q，因?yàn)镋F平面ADE，AQ平面ADE，所以AQE

17、F，又因?yàn)锳QDE，DEEFE，DE，EF平面CEF，解得t1或t3，設(shè)二面角MECF的大小為，因?yàn)楫?dāng)t2時(shí)，cos 0，平面EMC平面CDEF，設(shè)二面角MECF的大小為，因?yàn)楫?dāng)t2時(shí)，cos (1)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).(2)平面圖形的翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.思維升華SI WEI SHENG HUA(1)對(duì)于線面關(guān)系中的存在

18、性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)跟蹤訓(xùn)練4(2019天津市南開區(qū)南開中學(xué)月考)如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BAD60，DEAB于點(diǎn)E，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DBE，如圖2.(1)求證：A1E平面BCDE；證明因?yàn)锳1DBE，DEBE，A1DDED，A1D，DE平面A1DE，所以BE平面A1DE，因?yàn)锳1E平面A1DE，所以A1EBE，又因?yàn)锳1EDE，BEDEE，BE，DE平面BCDE，所以A1E平面BCDE.跟蹤訓(xùn)練4(2019天津市南開區(qū)南開中學(xué)月考)如圖1，在(2)求二面角EA1DB的余弦值；(2)求二面角EA1DB的余弦值；解以E為原點(diǎn)，分別以EB，ED，

19、EA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(0， ，0)，A1(0,0,1)，設(shè)平面A1BD的法向量n(x，y，z)，因?yàn)锽E平面A1DE，因?yàn)樗蠖娼菫殇J角，解以E為原點(diǎn)，分別以EB，ED，EA1所在直線為x，y，z(3)在線段BD上是否存在點(diǎn)P，使平面A1EP平面A1BD？若 存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.(3)在線段BD上是否存在點(diǎn)P，使平面A1EP平面A1BD解假設(shè)在線段BD上存在一點(diǎn)P，使得平面A1EP平面A1BD，設(shè)平面A1EP的法向量m(x1，y1，z1)，因?yàn)槠矫鍭1EP平面A1BD，解假設(shè)在線段BD上存在一點(diǎn)P，使得平面A1EP平面A1B利

20、用空間向量求解空間角答題模板例(12分)(2019全國(guó))如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).(1)證明：MN平面C1DE；利用空間向量求解空間角答題模板例(12分)(2019全國(guó)規(guī)范解答證明連結(jié)B1C，ME.因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，由題設(shè)知A1B1DC且A1B1DC，可得B1CA1D且B1CA1D，故MEND且MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，3分所以MNED.4分又MN平面C1DE，ED平面C1DE，5分所以MN平面C1DE.6分規(guī)范解答由題設(shè)知A1B1DC且A1B1DC，可得B1C

21、(2)求二面角AMA1N的正弦值.(2)求二面角AMA1N的正弦值.規(guī)范解答解由已知可得DEDA，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz， 7分設(shè)m(x，y，z)為平面A1MA的一個(gè)法向量，規(guī)范解答解由已知可得DEDA，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)， 設(shè)n(p，q，r)為平面A1MN的一個(gè)法向量，可取n(2,0，1).10分設(shè)n(p，q，r)為平面A1MN的一個(gè)法向量，可取n(2答題模板DA TI MU BAN利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)；第三步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)，并轉(zhuǎn)化為所求

22、角.答題模板DA TI MU BAN利用向量求空間角的步驟課時(shí)精練基礎(chǔ)保分練1.(2019南京模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC和AA1C均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，平面AA1C1C平面ABC.(1)證明：A1O平面ABC；證明AA1A1C，且O為AC的中點(diǎn)，A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC.12345課時(shí)精練基礎(chǔ)保分練1.(2019南京模擬)如圖，在三棱柱A12345(2)求直線AB與平面A1BC1所成角的正弦值.12345(2)求直線AB與平面A1BC1所成角的正弦值.解如圖，以O(shè)

23、為原點(diǎn)，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面A1BC1的法向量為n(x，y，z)，平面A1BC1的一個(gè)法向量為n(1,0,1)，12345解如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸、12345設(shè)直線AB與平面A1BC1所成的角為，12345設(shè)直線AB與平面A1BC1所成的角為，2.如圖1，在ABC中，BC3，AC6，C90，且DEBC，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DCD，如圖2.(1)求證：BC平面A1DC；12345證明DEA1D，DEBC，BCA1D，又BCCD，A1DCDD，A1D，CD平面A1CD，BC平面A1DC，2.

24、如圖1，在ABC中，BC3，AC6，C90，(2)若CD2，求BE與平面A1BC所成角的正弦值.12345(2)若CD2，求BE與平面A1BC所成角的正弦值.123在直角梯形CDEB中，過(guò)E作EFBC，EF2，BF1，BC3，B(3,0，2)，E(2,0,0)，C(0,0，2)，A1(0,4,0)，設(shè)平面A1BC的法向量為m(x，y，z)，令y1，m(0,1，2)，設(shè)BE與平面A1BC所成角為，12345在直角梯形CDEB中，過(guò)E作EFBC，EF2，BF1，123453.(2020重慶診斷)如圖1，在邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，AC6，現(xiàn)沿對(duì)角線AC把ADC翻折到APC的位置得到四面體PABC，

25、如圖2所示.已知PB .(1)求證：平面PAC平面ABC；123453.(2020重慶診斷)如圖1，在邊長(zhǎng)為5的菱形12345證明取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，BO得到PBO.四邊形ABCD是菱形，PAPC，POAC.DC5，AC6，OC3，POOB4，POOB.OBACO，OB，AC平面ABC，PO平面ABC.PO平面PAC，平面PAC平面ABC.12345證明取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，BO得到PBO.123451234512345解ABBC，BOAC.易知OB，OC，OP兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則B(4,0,0)，C

26、(0,3,0)，P(0,0,4)，A(0，3,0).設(shè)點(diǎn)Q(x，y，z).12345解ABBC，BOAC.設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面BCQ的法向量.取平面ABC的一個(gè)法向量n2(0,0,1).由圖可知二面角QBCA為銳角，12345設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面BCQ的法向量.取平面AB技能提升練123454.如圖所示，在正四棱錐PABCD中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為 .(1)若點(diǎn)E為PD上的點(diǎn)，且PB平面EAC，試確定E點(diǎn)的位置；解設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OE，PB平面AEC，平面AEC平面BDPOE，PBOE.又O為BD的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn).技能提升練123454.如圖所示，在正四棱錐PABCD中，12345(2)在(1)的條件下，在線段PA上是否存在點(diǎn)F，使平面AEC和平面BDF所成的銳二面角的余弦值為 ，若存在，求線段PF的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.12345(2)在(1)的條件下，在線段PA上是否存在點(diǎn)F，解連結(jié)OP，由題意知PO平面ABCD，且ACBD，設(shè)平面AEC的法向量為m(x1，y1，z1)，12345解連結(jié)OP，由題意知PO平面ABCD，且ACBD，設(shè)平設(shè)平面BDF的法向量n(x2，y2，z2)