1、“一元一次不等式與一次函數(shù)（2）”教學(xué)設(shè)計設(shè)計者：深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部詹欣豪老師一、教材分析本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第二章第五節(jié)第二課時的內(nèi)容，承接第一課時，旨在進(jìn)一步研究一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)聯(lián)性，并綜合運(yùn)用一次函數(shù)與一元一次不等式解決實(shí)際問題本節(jié)課既是對前面所學(xué)知識的豐富與應(yīng)用，也是為后續(xù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)與方程、不等式的知識奠定了重要基礎(chǔ)二、學(xué)情分析1認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式等內(nèi)容，具備進(jìn)一步探索三者聯(lián)系和解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和心理需求；2認(rèn)知障礙：八年級學(xué)生處于從形象思維向抽象思維過渡的階段，對于從“數(shù)”與“

2、形”兩方面理解這三者關(guān)系存在一些困難三、教學(xué)目標(biāo)1通過具體實(shí)例，進(jìn)一步體會一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系及解決實(shí)際問題中的作用；2經(jīng)歷“代數(shù)法”和“圖象法”解決實(shí)際問題的過程，感受數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、分類討論等思想，培養(yǎng)問題解決能力，積累活動經(jīng)驗(yàn)；3通過較優(yōu)方案選擇，體會數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，感受數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的辯證統(tǒng)一，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)四、教學(xué)重難點(diǎn)1教學(xué)重點(diǎn)：探究一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系，會用“代數(shù)法”和“圖象法”解決實(shí)際問題；2教學(xué)難點(diǎn)：分段函數(shù)圖象的繪制及“圖象法”思路的形成五、教學(xué)過程（一）回顧思考，藤蔓之美回顧：一次函數(shù)與一元一次方

3、程、一元一次不等式有什么聯(lián)系呢？教師引導(dǎo)學(xué)生共同得出：當(dāng)一次函數(shù)中的一個變量的值確定時，可以用一元一次方程確定另一個變量的值；當(dāng)已知一次函數(shù)中的一個變量的取值范圍時，可以用一元一次不等式確定另一個變量的取值范圍一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+bkx+b=c（一元一次方程）kx+bc（一元一次不等式）y=cyc設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)第一課時的內(nèi)容，從“數(shù)”的角度建立了一次函數(shù)與一元一次不等式、一元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系 教師順勢總結(jié)：我們所學(xué)習(xí)的代數(shù)內(nèi)容沿著從“數(shù)式”的脈絡(luò)，進(jìn)而發(fā)展出方程與不等式，最后以函數(shù)的視角統(tǒng)領(lǐng)全局，如同一條漸次生長的藤蔓設(shè)計意圖：藤蔓之美，讓三個“一次”串珠成線，使得學(xué)生不僅擁有了整體觀

4、，而且對不同知識的整體一致與和諧美妙有了更深的理解（二）函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)，高屋建瓴例1 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過（0, 4），（3, 0）兩點(diǎn)，求不等式kx+b0的解集問題1：可以通過待定系數(shù)法求出k，b，再解一元一次不等式嗎？問題2：可以從函數(shù)圖象來解決問題嗎？教師引導(dǎo)：從一次函數(shù)的圖象上看，y0表示圖象在x軸上方的部分，這部分上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍是x0的解集是x0，即kx+b0； 圖象與x軸相交于（x, 0），表示y=0，即kx+b=0； 圖象在x軸的下方部分，表示y0，即kx+b3時，對應(yīng)的函數(shù)值要比y=kx+b對應(yīng)的函數(shù)值大變式2 如圖，已知直線，若無論x取何值，y都取y1，y2中的

5、較小值，求y的最大值實(shí)際上，這是一個“三函數(shù)”的問題，y是由y1，y2產(chǎn)生的新函數(shù)，理解題意、數(shù)形結(jié)合，描繪出y的函數(shù)圖象，確定何處取得最值為關(guān)鍵由圖得：ymax=1設(shè)計意圖：在例1學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過變式及問題串，實(shí)現(xiàn)“垂直數(shù)學(xué)化”，幫助學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化理解“利用函數(shù)圖象解不等式”的威力（三）生活情境，學(xué)以致用例2 某單位計劃在新年期間組織員工到某地旅游，參加旅游的人數(shù)估計為10至25人，甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人200元經(jīng)過協(xié)商，甲旅行社表示可給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游費(fèi)用，其余游客八折優(yōu)惠該單位選擇哪家旅行社支付的費(fèi)用較少？請大家先猜想一下

6、，你選哪家旅行社？再通過計算驗(yàn)證教師引導(dǎo)學(xué)生分析：首先要根據(jù)題意，分別表示出兩家旅行社關(guān)于人數(shù)的費(fèi)用，然后才能比較而且比較情況有三種：等于、大于、小于解：設(shè)該單位參加這次旅游的人數(shù)是x人，選擇甲旅行社時, 所需的費(fèi)用為y1元；選擇乙旅行社時，所需的費(fèi)用為y2元，則：y1=2000.75x=150 x，y2=2000.8（x1）=160 x160 由y1=y2，得150 x=160 x160，解得：x=16； 由y1y2，得150 x160 x160，解得：x16；由y1y2，得150 x16因?yàn)閰⒓勇糜蔚娜藬?shù)為10至25人，所以： 當(dāng)x=16時，甲、乙兩家旅行社的收費(fèi)相同； 當(dāng)17x25時，選

7、擇甲旅行社費(fèi)用較少； 當(dāng)10 x15時，選擇乙旅行社費(fèi)用較少設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用一元一次不等式解決一次函數(shù)問題的過程，師生共同梳理解決決策型應(yīng)用題的步驟及格式規(guī)范，起到示范作用（四）推陳出新，深化理解例3 小明買了部手機(jī)準(zhǔn)備入網(wǎng)，咨詢了電信公司后，得到了以下兩種計費(fèi)套餐，他該如何選擇？A套餐B套餐月租費(fèi)50元0每分鐘收費(fèi)0.4元0.6元解法1：設(shè)每月通話時間為x分鐘，A套餐每月話費(fèi)為yA元，B套餐每月話費(fèi)為yB元，則：yA=0.4x+50，yB=0.6x 由yA=yB，得0.4x+50=0.6x，解得：x=250； 由yAyB，得0.4x+500.6x，解得：x250；由yAyB，得0.4

8、x+50250答：當(dāng)x=250時，A套餐與B套餐相同；當(dāng)0 x250時，選擇A套餐較為省錢教師整理：在解決這一問題時我們采用了分類討論的思想這種利用方程和不等式的思想來解決較優(yōu)方案問題的方法我們稱之為代數(shù)法解法2：由解法1得：yA=0.4x+50，yB=0.6x，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，得：當(dāng)x=250時，A套餐與B套餐相同；當(dāng)0 x250時，選擇A套餐較為省錢教師整理：這種利用函數(shù)圖象來解決較優(yōu)方案問題的方法我們稱之為圖象法設(shè)計意圖：對同一問題多種解法的思考，意在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力以及勇于創(chuàng)新的精神變式 小穎也買了部手機(jī)準(zhǔn)備入網(wǎng)，咨詢了電信公

9、司后，得到了兩種新的計費(fèi)套餐，她該如何選擇？C套餐D套餐月租費(fèi)30元50元每月免費(fèi)通話時間50分鐘150分鐘超出后每分鐘收費(fèi)0.4元0.4元頭腦風(fēng)暴：結(jié)合該背景，思考如下問題：1服務(wù)質(zhì)量相同，選擇套餐的依據(jù)是什么？2每月付費(fèi)金額與什么有關(guān)？3涉及哪些量？哪些已知？哪些未知？4怎樣用式子來表示每月話費(fèi)與通話時間的關(guān)系？5怎樣求這個數(shù)學(xué)問題的解？6解法是否具有多樣性？7用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題一般要經(jīng)歷哪幾個環(huán)節(jié)？設(shè)計意圖：套餐的變更既是知識的鞏固又是知識的拓展，它激發(fā)了學(xué)生思考的欲望，頭腦風(fēng)暴則引導(dǎo)著學(xué)生對新問題的自主思考解法1：設(shè)每月通話時間為x分鐘，C套餐每月話費(fèi)為yC元，D套餐每月話費(fèi)為yD

10、元，則：，這兩個函數(shù)均為分段函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象：結(jié)合圖象得：當(dāng)x=100時，C套餐與D套餐相同；當(dāng)0 x100時，選擇D套餐較為省錢解法2：由解法1得：， 當(dāng)0 x50時，yCyD； 當(dāng)50 x150時，由0.4x+1050，解得：x50，解得：x100； 當(dāng)x150時，由0.4x100.4x+10，得：yDyC綜上所述：當(dāng)x=100時，C套餐與D套餐相同；當(dāng)0 x100時，選擇D套餐較為省錢教師總結(jié)：代數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確嚴(yán)密，缺點(diǎn)是分類要求高且運(yùn)算量大；圖象法的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，缺點(diǎn)是畫圖要求高就本題而言，圖象法更為簡便，選擇較優(yōu)方法能讓我們節(jié)省時間，少犯錯設(shè)計意圖：本題的

11、兩種解法，既是對前面知識的鞏固和拓展，又可以檢查學(xué)生知識的掌握情況，而對解法優(yōu)劣的判斷又可以幫助學(xué)生選擇較優(yōu)解法教師帶領(lǐng)學(xué)生共同整理問題解決的一般環(huán)節(jié)：實(shí)際問題實(shí)際問題理想化問題尋找變量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型純數(shù)學(xué)問題求解數(shù)學(xué)模型解釋數(shù)學(xué)結(jié)果反思發(fā)散、評價、引申設(shè)計意圖：本例意在培養(yǎng)學(xué)生的“識圖”和“釋圖”能力，將提取的有效信息進(jìn)行分析、整合、數(shù)學(xué)化的能力，以及數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)（五）小結(jié)反思，布置作業(yè)小結(jié)清單：1你在學(xué)習(xí)過程中獲得了哪些知識？感受到了哪些思想方法？2你在學(xué)習(xí)過程中碰到哪些困難？有哪些收獲？教師與學(xué)生共同整理，這節(jié)課我們解決了一個問題：怎樣選擇較優(yōu)方案；得出了兩種

12、方法：代數(shù)法和圖象法；滲透了多種思想：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模思想等布置作業(yè)：1（基礎(chǔ)練習(xí)）課本53頁習(xí)題2.7第1-3題；2（拓展練習(xí)）如果將例3中的A，B，C，D四個套餐共同納入考慮，又應(yīng)該如何選擇？3（課題研究）任選一個生活中的選擇性問題，以研究報告的形式上交研究成果要求：問題是有意義的且自己想解決的；提供盡可能多的數(shù)學(xué)方法；有研究后的思考與體會設(shè)計意圖：學(xué)生總結(jié)收獲，有利于學(xué)生理清思路、整理經(jīng)驗(yàn)；教師在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步小結(jié)內(nèi)容，可提綱挈領(lǐng)、升華主題由淺入深的分層作業(yè)，能夠強(qiáng)化本節(jié)課所學(xué)知識，也能尊重個體差異，滿足不同程度學(xué)生的需求六、教學(xué)反思1本節(jié)課的要讓學(xué)生體會：刻畫運(yùn)到變化的規(guī)律需要用函數(shù)模型；刻畫變化過程中同類量之間的大小，需要用不等式模型；刻畫運(yùn)動變化過