1、數列基礎學問點和方法歸納 1. 數列的通項 求數列通項公式的常用方法： （ 1）觀看與歸納法：先觀看哪些因素隨項數 n 的變化而變化,哪些因素不變：分析符號,數字,字母與 項數 n 在變化過程中的聯系,初步歸納公式； （ 2）公式法：等差數列與等比數列； （ 3）利用 Sn 與 an 的關系求 an ： an S1, n 1 Sn Sn 1, n 2 2. 等差數列的定義與性質 定義： an 1an d （ d 為常數）,通項： an a1 n 1 d am n md 等差中項： x, A, y 成等差數列 2 A x y 前 n 項和 S a1 an nna nn 1 d22性質： an 是

2、等差數列 （ 1）如 m np q,就 am an a p aq； 2 n d ； （ 2）數列 a 2n 1, a2 n , a2 n 1 仍為等差數列, Sn, S2 n Sn, S3 n S2 n 仍為等差數列,公差為 （ 3）如三個成等差數列,可設為 a d,a,a dSn 的最值可求二次函數 Sn 2 an bn 的最值；或者求出 an 中的正,負分界項, 即：當 a1 0, d 0 ,解不等式組 an 0 可得 Sn 達到最大值時的 n 值. an 1 0當 a1 0, d 0 ,由 an 0 可得 Sn 達到最小值時的 n 值. 1 0 an . 1第 1 頁,共 3 頁（ 3）

3、 kan 也成等差數列； 4 兩等差數列對應項和 差 組成的新數列仍成等差數列 . 5 a1 a2 L am , am 1 am 1 L a2m , a2m 1 a2m 1 L a3m L 仍成等差數列 . 8 “首正”的遞減等差數列中,前 n 項和的最大值是全部非負項之和； 3. 等比數列的定義與性質 定義： an 1an q （ q 為常數, q 0 ）, a nn 1 a q . amqn m 等比中項： x, G, y 成等比數列 2 G xy ,或 G xy . 前 n 項和： Sn na1 anq n a1 1 q q 1 na1 n q 1 a1 q 1 a1 q1 q a1 q

4、 （要留意！） 1 1q1q1q性質： an 是等比數列 （ 1）如 m np q,就 am anap aq（ 2） Sn, S2n Sn, S3 n S2n n 仍為等比數列 ,公比為 q. 留意 ：由 Sn 求 an 時應留意什么？ n 1 時, a1 S1 ； an bn 成等比數列 . n 2 時, an Sn Sn 1 . （ 3） | an | , kan 成等比數列； an, bn 成等比數列 （ 4）兩等比數列對應項積 商 組成的新數列仍成等比數列 . （ 5） a1 a2 Lam ,ak ak 1Lak m1,L 成等比數列 . （6）數列 a2 n 1 , a 2 n ,

5、a2 n 1 仍為等比數列, 2第 2 頁,共 3 頁（ 7） p q mn bp bq bm bn ； 2m pq bm 2bp bq Sm n Sm q Sn mSn q Sm . n（ 8）等比數列的符號 特點 全正或全負或一正一負 ,等比數列的首項,公比與等比數列的單調性 ；. （ 9） 等差數列與等比數列的聯系 ：各項都不為零的常數列既是等差數列又是等比數列 4. 求數列前 n 項和的常用方法 1 裂項法 把數列各項拆成兩項或多項之和,使之顯現成對互為相反數的項 . 11如： an 是公差為 d 的等差數列,求 n11k 1 akak 解： 由 1ak ak 1ak 1d1111d0

6、ak dak ak 1n11n111111111 1 ak ak k 1 d ak ak da1 a 2 a2 a3 an an k 111da1 an 1練習求和： 111131231n122an , Sn 21n1（ 2）錯位相減法 如 an 為等差數列, bn 為等比數列, 求數列 anbn （差比數列） 前 n 項和,可由 Sn qSn , 求 Sn ,其中 q 為 bn 的公比 . 如： S n1 2 x 3x23 4 xnxn1n nx nn n 1 xSn2 x 2x 3 3x 4 4x n 1 n1 x 1 x Sn 2 1 x x n 1 x n nx 123x 1 時, Sn 1n x 2n nx , x 1 時, Sn 1 x 1x 2（ 3）倒序相加法