1、第 1 課時 2.1 平面對量的實際背景及基本概念教學目標：1.明白向量的實際背景,懂得平面對量的概念和向量的幾何表示；把握向量的模、 零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共 線向量 . 2.通過對向量的學習,使同學初步熟識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)分. . .3.通過同學對向量與數(shù)量的識別才能的訓練,培育同學熟識客觀事物的數(shù)學本質(zhì)的才能教學重點： 懂得并把握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量教學難點： 平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)分和聯(lián)系. 學法： 本節(jié)是本章的入門課,概念較多,但難度不大.同學可依據(jù)在原有的位移

2、、力等物理概念來學習向量的概念,結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念. 教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x,尺規(guī)授課類型： 新授課 教學思路：一、情形設(shè)置：如圖,老鼠由A 向西北逃跑,貓在B 處向東追去,設(shè)問：貓能否C A B D 追到老鼠？（畫圖）結(jié)論：貓的速度再快也沒用,由于方向錯了. 分析：老鼠逃跑的路線AC 、貓追趕的路線BD 實際上都是有方向、有長短的量 . 引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？二、新課學習：（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（二）請同學閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）1、數(shù)量與向量有何區(qū)分？2、如何表示向量？3、有向

3、線段和線段有何區(qū)分和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1 的向量叫什么向量？5、滿意什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關(guān)系？7、假如把一組平行向量的起點全部移到一點 量的終點之間有什么關(guān)系？（三）探究學習O,這是它們是不是平行向量？這時各向1、數(shù)量與向量的區(qū)分：數(shù)量只有大小,是一個代數(shù)量,可以進行代數(shù)運算、比較大小；向量有方向,大小,雙重性,不能比較大小 . 2.向量的表示方法：用有向線段表示；a B A 起點 （終點）用字母 、（黑體,印刷用）等表示；用有向線段的起點與終點字母：AB ；起點

4、、方向、長度. 向量 AB 的大小 長度稱為向量的模,記作| AB |. 3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段,三個要素：向量與有向線段的區(qū)分：（1）向量只有大小和方向兩個要素,就是相同的向量；與起點無關(guān), 只要大小和方向相同,就這兩個向量（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段 . 4、零向量、單位向量概念：長度為 0 的向量叫零向量,記作 0. 0 的方向是任意的 . 留意 0 與 0 的含義與書寫區(qū)分 . 長度為 1 個單位長度的向量,叫單位向量 . 說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小 . 5、平行向量定義：方向相同或相反

5、的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0 與任一向量平行. 說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義； . 6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量 . （2）向量 、平行,記作 說明：（ 1）向量 與相等,記作 ；（2）零向量與零向量相等；（ 3）任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點無關(guān). 7、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量,這是由于任一組平行向量都可移到同始終線上（與有向線段的起點無關(guān)）. 說明：（ 1）平行向量可以在同始終線上,要區(qū)分于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行,要區(qū)分于在同始終線上的線段的位置關(guān)系 . （四）懂得

6、和鞏固：例 1 書本 86 頁例 1. 例 2 判定：（1）平行向量是否肯定方向相同？（不肯定）（2）不相等的向量是否肯定不平行？（不肯定）（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）如兩個向量在同始終線上,就這兩個向量肯定是什么向量？（平行向量）（6）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（長度相等且方向相同）（7）共線向量肯定在同始終線上嗎？（不肯定）例 3 以下命題正確選項（）A.與共線, 與共線,就 與 c 也共線 B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形 的四頂點C.向量 與不共線,就 與 都是非零向量 D.有相同起

7、點的兩個非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線,所以A 不正確；由于數(shù)學中討論的向量是自由向量,所以兩個相等的非零向量可以在同始終線上,而此時就構(gòu)不成四邊形,根本不行能是一個平行四邊形的四個頂點,所以 B 不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點是否相同無關(guān),所以不正確；對于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來入手考慮,假如 與不都是非零向量, 即與至少有一個是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有 與 共線,不符合已知條件,所以有 與都是非零向量,所以應(yīng)選 C. 例 4 如圖, 設(shè) O 是正六邊形 ABCDEF 的中心, 分別寫出圖中與向量 OA 、OB 、OC 相

8、等的向量 . 變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11 個）變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）變式三：與向量共線的向量有哪些？（CB ,DO,FE）課堂練習 ：1判定以下命題是否正確,如不正確,請簡述理由 .向量 AB 與 CD 是共線向量,就 單位向量都相等；A、B、 C、D 四點必在始終線上；任一向量與它的相反向量不相等；四邊形 ABCD 是平行四邊形當且僅當 AB DC一個向量方向不確定當且僅當模為 0；共線的向量,如起點不同,就終點肯定不同 . 解：不正確 .共線向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求兩個向量AB 、 AC 在同始終線上 . 不正確

9、 .單位向量模均相等且為 1,但方向并不確定 . 不正確 .零向量的相反向量仍是零向量,但零向量與零向量是相等的 . 、正確 .不正確 .如圖 AC 與 BC 共線,雖起點不同, 但其終點卻相 同. 2書本 88 頁練習三、小結(jié)：1、 描述向量的兩個指標：模和方向 . 2、 平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡潔類比 . 3、 向量的圖示,要標上箭頭和始點、終點 . 四、課后作業(yè) ：書本 88 頁習題 2.1 第 3、5 題第 2 課時 2.2.1 向量的加法運算及其幾何意義教學目標：1、 把握向量的加法運算,并懂得其幾何意義；2、 會用向量加法的三角形法就和平行四邊形法就作兩個向量的和向量,

10、培育數(shù)形結(jié)合解決問題的才能；3、 通過將向量運算與熟識的數(shù)的運算進行類比,使同學把握向量加法運算的交換律和結(jié)合律,并會用它們進行向量運算,滲透類比的數(shù)學方法；教學重點： 會用向量加法的三角形法就和平行四邊形法就作兩個向量的和向量 .教學難點： 懂得向量加法的定義 . 學 法：數(shù)能進行運算, 向量是否也能進行運算呢？數(shù)的加法啟示我們,從運算的角度看, 位移的合成、力的合成可看作向量的加法 法,讓同學順理成章接受向量的加法定義.借助于物理中位移的合成、力的合成來懂得向量的加 .結(jié)合圖形把握向量加法的三角形法就和平行四邊形法就 .聯(lián)系數(shù)的運算律懂得和把握向量加法運算的交換律和結(jié)合律 . 教 具：多媒

11、體或?qū)嵨锿队皟x,尺規(guī)授課類型： 新授課教學思路：一、設(shè)置情形：1、 復習：向量的定義以及有關(guān)概念強調(diào)： 向量是既有大小又有方向的量.長度相等、 方向相同的向量相等.因此, 我們研究的向量是與起點無關(guān)的自由向量,即任何向量可以在不轉(zhuǎn)變它的方向和大小的前提下,移到任何位置2、 情形設(shè)置：（1）某人從 A 到 B,再從 B 按原方向到C,C,A B A B C B C 就兩次的位移和：ABBCACC （2）如上題改為從A 到 B,再從 B 按反方向到就兩次的位移和：ABBCACABA （3）某車從 A 到 B,再從 B 轉(zhuǎn)變方向到C,C AC就兩次的位移和：ABBCAC（4）船速為 AB ,水速為

12、BC ,就兩速度和：BC二、探究討論：、向量的加法：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法 . A B 、 三角形法就（ “ 首尾相接,首尾連”）如圖,已知向量 a、 .在平面內(nèi)任取一點 A ,作 AB a, BC ,就向量 AC 叫做a 與的和,記作 a ,即 a AB BC AC,規(guī)定：a + 0-= 0 + a a a a C b b a+ b A a a+ b B 探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量；（2）當向量 a 與 b 不共線時, a + b 的方向不同向,且|a + b |b |,a 就 a +b 的方向與 a 相同,且 | a + b |=| a |-|b |；如|a |0 時

13、 a 與 a 方向相同； 0內(nèi)分 外分 0 -1 外分 0 -1 0, a b = |a|b|cos ,a b = |a|b|cos ,a b = |a|b|cos ,如 0, a b =| a|b|cos = |a|b| cos = |a|b|cos ,a b = |a|b|cos ,a b =|a| b|cos = |a|b| cos = |a|b|cos . 3安排律： a + b c = a c + b c在平面內(nèi)取一點O,作 OA = a,AB = b, OC = c,a + b （即 OB ）在 c 方向上的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即|a + b| cos = |

14、a| cos 1 + |b| cos 2| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos 2, c a + b = c a + c b即：a + b c = a c + b c說明：（1）一般地, （ ）（2）, 0 （3）有如下常用性質(zhì)： ,（）（） 三、講解范例：例 1 已知 a、b 都是非零向量,且a + 3b 與 7a 5b 垂直, a 4b 與 7a 2b 垂直,求 a 與 b的夾角 . 解：由 a + 3b7a 5b = 0 7a2 + 16a b15b2 = 0 a 4b7a 2b = 0 7a 2 30a b + 8b2 = 0 兩式相

15、減： 2a b = b2代入或得：a2 = b 2AB2 |AD設(shè) a、b 的夾角為,就 cos =|a|b|2b22 |1 = 60ab|b2例 2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和. 解：如圖：平行四邊形ABCD 中,ABDC,ADBC, AC =AD| AC |2=|ABAD2 |AB2AD22ABAD而 BD =ABAD,| BD |2=|ABAD2 |AB2AD22ABAD| AC |2 + | BD | 2 = 2AB22AD2= |AB|2|BC|2|DC|2|例 3 四邊形 ABCD 中, AB , BC , CD , DA ,且 ,試問四邊形ABCD 是什么

16、圖形 . . 分析：四邊形的外形由邊角關(guān)系確定,關(guān)鍵是由題設(shè)條件演化、推算該四邊形的邊角量解：四邊形ABCD 是矩形,這是由于：一方面： 0, （ ）, （ ）即 由于 , 同理有 由可得 ,且 即四邊形ABCD 兩組對邊分別相等. 四邊形 ABCD 是平行四邊形另一方面,由 ,有 （）,而由平行四邊形 ABCD 可得 ,代入上式得 2,即 , 也即 ABBC. 綜上所述,四邊形 ABCD 是矩形 . 評述： 1在四邊形中,AB , BC , CD , DA 是順次首尾相接向量,就其和向量是零向量,即 0,應(yīng)留意這一隱含條件應(yīng)用；2由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積,由于數(shù)量積的定義式中含

17、有邊、角兩 種關(guān)系 . 四、課堂練習：1.以下表達不正確選項（）A. 向量的數(shù)量積滿意交換律B.向量的數(shù)量積滿意安排律C.向量的數(shù)量積滿意結(jié)合律D.ab 是一個實數(shù). ）2.已知 |a|=6,|b|=4,a 與 b 的夾角為 ,就 a+2b a-3b等于（A.72 B.-72 C.36 D.-36 3.|a|=3, |b|=4,向量 a+3b 與 a-3b 的位置關(guān)系為（）44A. 平行B.垂直C.夾角為3D. 不平行也不垂直4.已知 |a|=3,|b|=4,且 a 與 b 的夾角為 150,就 a+b5.已知 |a|=2,|b|=5,ab=-3,就 |a+b|=_,|a-b|= . 6.設(shè)|

18、a|=3,|b|=5,且 a+ b與 a b垂直,就 . 五、小結(jié)（略）六、課后作業(yè)（略）七、板書設(shè)計（略）八、課后記：第 9課時三、平面對量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角教學目的：要求同學把握平面對量數(shù)量積的坐標表示 把握向量垂直的坐標表示的充要條件,及平面內(nèi)兩點間的距離公式 . 能用所學學問解決有關(guān)綜合問題 . 教學重點：平面對量數(shù)量積的坐標表示 教學難點：平面對量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程：一、復習引入：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量 與,作 OA , OB ,就 （ ）叫 與的 夾角 . 2平面對量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個

19、非零向量與,它們的夾角是 ,就數(shù)量|a|b|cos 叫 與的數(shù)量積,記作a b,即有 a b = |a|b|cos ,（ ）.并規(guī)定 0 與任何向量的數(shù)量積為 0. 3向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a b 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘積 . C 4兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè) a、 b 為兩個非零向量,e 是與 b 同向的單位向量. |a|b|. 特殊的 a a = |a|2 或1e a = a e =|a|cos ；2a ba b = 0 3當 a 與 b 同向時, a b = |a|b|；當 a 與 b 反向時, a b = |a |aa4cos =|a|

20、b|；5 |a b| |a|b| ab5平面對量數(shù)量積的運算律交換律： a b = baa b = a b 數(shù)乘結(jié)合律： a b =安排律： a + b c = a c + b c 二、講解新課： 平面兩向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量ax1y 1,bx2y2,試用a和 b 的坐標表示ab. x 2iy2j設(shè) i 是 x 軸上的單位向量,j 是 y 軸上的單位向量,那么ax 1iy1jb,所以abx 1iy1jx2iy2jx 1x2i2x1y2ijx2y 1ijy1y2j2y 1y2又ii1,jj1,ijji0,所以abx1x2y 1y22這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的

21、和.即abx1x2. 平面內(nèi)兩點間的距離公式八、 設(shè)ax,y,就|a2|x2y2或|a|x2y2. x1y 1、x2y2,那么（2）假如表示向量a 的有向線段的起點和終點的坐標分別為|a|x 1x22y 1y 22平面內(nèi)兩點間的距離公式 九、 向量垂直的判定設(shè) a x 1y 1 ,b x 2y 2 ,就 a b x 1 x 2 y 1 y 2 0十、 兩向量夾角的余弦（0）a b x 1 x 2 y 1 y 2cos =| a | | b | x 1 2y 1 2x 2 2y 2 2十一、講解范例：十二、設(shè) a = 5,7,b = 6,4,求 ab 及 a、b 間的夾角 精確到 1o 例 2

22、已知 A1, 2,B2, 3,C 2, 5,試判定ABC 的外形,并給出證明 . 例 3 已知 a = 3,1,b = 1, 2,求滿意 x a = 9 與 x b = 4 的向量 x. 解：設(shè) x = t, s,x a 9 3 t s 9 t 2由x = 2,3 x b 4 t 2 s 4 s 3例 4 已知 a（,3 ）,b（3 ,3 ）,就 a 與 b 的夾角是多少 . 分析：為求 a 與 b 夾角,需先求 ab 及 a b,再結(jié)合夾角 的范疇確定其值 . 解：由 a（,3 ）,b（3 ,3 ）有 ab3 3 （3 ）,a, b 2 記 a 與 b 的夾角為 ,就 a b 2a b 2又

23、 , 4評述：已知三角形函數(shù)值求角時,應(yīng)留意角的范疇的確定 . 例 5 如圖, 以原點和 A5, 2為頂點作等腰直角OAB,使 B = 90 ,求點 B 和向量 AB 的坐標 . 解：設(shè) B 點坐標 x, y,就 OB = x, y, AB = x 5, y 2 OBABxx 5 + yy 2 = 0 即： x2 + y25x 2y = 0 又 |OB | = | AB | x2 + y2 = x 52 + y 22 即： 10 x + 4y = 29 由x2xy2y5x2y0 x173或x2322 710429y1y222B 點坐標7,3或3,7 2； AB =3,7或7,32222222例

24、 6 在 ABC 中, AB =2, 3, AC =1, k,且 ABC 的一個內(nèi)角為直角,求 k 值. 解：當 A = 90 時, ABAC = 0, 2 1 +3 k = 0 k =32當 B = 90 時, AB BC = 0, BC = ACAB = 1 2, k 3 = 1, k 3 2 1 +3 k 3 = 0 k =11x= . 3當 C = 90 時, AC BC = 0,1 + kk 3 = 0 k =3213十三、課堂練習：1.如 a=-4,3,b=5,6,就 3|a| ab（）A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知 A1,2,B2,3, C-2,5,就 ABC

25、為（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不等邊三角形3.已知 a=4,3,向量 b 是垂直 a 的單位向量,就b 等于（）A.3,4或4,3B.3,4或3,455555555C.3,4或4,3D.3,4或3,4555555554.a=2,3, b=-2,4,就 a+b a-b= . 5.已知 A3,2,B-1,-1,如點 Px, -1在線段 AB 的中垂線上,就26.已知 A1,0,B3,1, C2,0,且 a= BC ,b= CA ,就 a 與 b 的夾角為 . 十四、小結(jié)（略）十五、課后作業(yè)（略）十六、板書設(shè)計（略）十七、課后記：第 12 課時復習課一、教學目標1. 懂得向量

26、.零向量 .向量的模 .單位向量 .平行向量 .反向量 .相等向量 .兩向量的夾角等概念；2. 明白平面對量基本定理 . 3. 向量的加法的平行四邊形法就（共起點）和三角形法就（首尾相接）；4. 明白向量形式的三角形不等式：| a |-| b | | a b | | a |+| b | 試問：取等號的條件是什么 . 和向量形式的平行四邊形定理：2| a | 2 +| b | 2 =| a b | 2 +| a +b | 2 . 5. 明白實數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）：6. 向量的坐標概念和坐標表示法7. 向量的坐標運算（加 .減.實數(shù)和向量的乘法 .數(shù)量積）8. 數(shù)量積（點乘或內(nèi)積）的概念

27、,a b =| a |b |cos =x 1x 2 +y 1y 2留意區(qū)分“ 實數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”二、學問與方法向量學問,向量觀點在數(shù)學.物理等學科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用,而它具有代數(shù)形式和幾何形式的 “ 雙重身份”能融數(shù)形于一體, 能與中學數(shù)學教學內(nèi)容的很多主干學問綜合,形成學問交匯點, 所以高考中應(yīng)引起足夠的重視 . 數(shù)量積的主要應(yīng)用：求模長； 求夾角；判垂直 三、典型例題例 1. 對于任意非零向量a 與 b ,求證：a - b a b a + b 證明： 1 兩個非零向量a 與 b 不共線時, a +b 的方向與 a , b 的方向都不同,并且a - b a b a + b 3 兩個非零向量 a 與 b 共線時, a 與 b 同向,就 a +b 的方向與 a . b 相同且 a +b =ab. a與b異向時,就a+b的方向與模較大的向量方向相同,設(shè) |a| | b | ,就 | a + b |=| a |-| b |. 同理可證另一種情形也成立；例 2 已知 O 為 ABC 內(nèi)部一點, AOB=150 ,B