1、教材分析選修第1頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三 本章是人教A版必修四的第二章，“推理與證明”是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。本章內容是各知識模塊中常用推理方法和論證方法的總結，推理方法與證明方法是從思維活動中抽象出來的，是由數學思維過程凝縮而成的，是高中數學的重要基礎，在高中數學中占有極其重要的地位和作用一、地位與作用第2頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三“推理與證明”是新課標新增內容(選修2-2第二章)，主要包括合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明、數學歸納法三個部分（其中數學歸納法文科數學不作要求）“推理與

2、證明”是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式二、內容說明第3頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三推理推理與證明合情推理證明演繹推理類比推理歸納推理三段論數學歸納法分析法反證法綜合法直接證明間接證明由因導果猜想大前提、小前提、結論驗初值、證遞推、結論反設、歸謬、定論執果索因三、知識網絡第4頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三四、課時安排2.1 合情推理與演繹推理 約4課時2.2 直接證明與間接證明 約4課時小結與復習 約1課時2.3 數學歸納法 約2課時第5頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三教學目標【知識與

3、技能】 學會合情推理與演繹推理的內容，會用直接證明與間接證明對所求結論進行證明，熟記數學歸納法的一般步驟。【過程與方法】 通過具體實例，采用探究與講練結合法，讓同學得出合情推理與演繹推理，直接證明與間接證明，數學歸納法的內容。【情感態度與價值觀】 本章學習，有利于發展學生思維能力，提高學生數學素養，讓學生感受邏輯證明在數學及日常生活中的作用，從而架起數學與生活的橋梁，形成嚴謹的理性思維和科學精神。第6頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三1重點：（1）合情推理、演繹推理的理解 。 （2）直接證明與間接證明運用。2難點：（1）演繹推理和反證法； （2）對數學歸納法的理解（只限

4、理科）。本章重點、難點第7頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三 2.1 合情推理和演繹推理 本節主要內容包括:歸納推理、類比推理和演繹推理.(1)歸納推理; 1課時 (2)類比推理； 1課時(3)演繹推理; 1課時(4)綜合練習課. 1課時第8頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三教學目標【知識與技能】 掌握合情推理與演繹推理的概念，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數學發現中的作用.【過程與方法】 通過具體實例，了解合情推理與演繹推理之間的聯系與差異，運用推理理解概念的產生過程，命題的形成過程，思路的獲得過程，達到鞏固知識，發展創

5、造性思維能力，提高學習興趣的目的.【情感態度與價值觀】 通過本節課的學習，學生體會歸納和類比推理的內容美，感受數學的價值所在。第9頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三1.教學重點:了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理；了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進行一些簡單推理2.教學難點: 用歸納和類比進行推理，做出猜想；用“三段論”證明問題教學重點、難點第10頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三合情推理和演繹推理是數學推理的兩種基本推理形式 （1）“合情推理”是高中數學課程標準的亮點之一，2003年頒布的普通高中數學課程標準（實驗稿）中，

6、強調在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論的作用，而且在教材中專門設置了合情推理的內容（2）歸納推理和類比推理是合情推理的兩種常用的思維方法合情推理具有兩大功能：一是探索一般結論，二是發現解題思路（3）演繹推理是由一般到特殊的推理，“三段論”是演繹推理的一般模式教材分析第11頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三合情推理從具體問題出發觀察、分析比較、聯想歸納、類比提出猜想1.合情推理定義：歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統稱為合情推理。 2.分類 歸納推理 合情推理 類比推理3.合情推

7、理優級點及不足：優:數學中，得到一個新結論之前，合情推理幫助猜測和發現結論；證明一個結論之前，能為我們提供思路和方向。不足:結論求必正確,有待進一步證明.第12頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三2.演繹推理的正確性是不可置疑的,數學證明過程中常用到演繹推理. 演繹推理1.演繹推理定義: 把從一般性的原理出發,推出某個特殊情況下的結論的這種推理稱為演繹推理.簡言之,演繹推理是一般到特殊的推理3.演繹推理的結構特點:大前提 -已知的一般原理小前提 -所研究特殊情況 三段論.結論 -根據一般原理,對特殊情況做出的判斷第13頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星

8、期三（1）以選擇題、填空題的形式考查合情推理。（2）以選擇題或解答題的形式考查演繹推理。（3）題目難度不大，多以中低檔題為主。高考熱點第14頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三1、要注意結合實際例子，使學生了解合情推理的含義；2、要通過學生學過的簡單的數學例子，讓學生掌握歸納推理和類比推理的基本方法；3、要通過數學史事，使學生認識合情推理在數學發現中的作用。教學建議第15頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三 2.2 直接證明和間接證明 本節主要內容包括:綜合法、分析法和反證法.本節課的教學可分為4課時:(1)綜合法; 1課時(2)分析法； 1課時(3

9、)反證法; 1課時(4)綜合練習課. 1課時 第16頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三教學目標【知識與技能】了解直接證明的方法綜合法和分析法；了解間接證明的方法反證法【過程與方法】通過師生互動，讓學生掌握三種證明方法。【情感、態度與價值觀】培養學生嚴謹的思維習慣。第17頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三1.教學重點:綜合法、分析法和反證法的思考過程和特點.2.教學難點: 分析法和反證法的思考過程和特點.教學重點、難點第18頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三（1）綜合法的思維特征是：由因導果即由已知條件出發，利用已知的數學定

10、理、性質和公式，推出結論的一種證明方法2）分析法的思維特征是：執果索因即從結論入手進行反推，看看需要知道什么，最后推出一個已證的命題（定義、公理、定理、公式等）或已知條件，從而得到證明很多演繹推理的證明題都是采用這種方法進行思考的，有時也將綜合法和分析法結合起來使用（3）反證法是間接證明的一種基本方法，任何一個問題都有正反兩面，當直接證明有困難時，便可以考慮使用反證法反證法證題的步驟可歸結為：反設歸謬結論教材分析第19頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三1、綜合法:利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等,經過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫

11、做綜合法用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結論.則綜合法用框圖表示為:綜合法推證過程:已知條件結論由因導果第20頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三2、分析法 一般地,從要證明的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等)為止.這種證明的方法叫做分析法(analytical method).分析法又叫逆推證法或執果索因法 用Q表示所要證明的結論,則分析法可用框圖表示為：QP1P1 P2P2 P3得到一個明顯成立的條件第21頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25

12、分，星期三(1)用反證法證明命題的一般步驟是什么? 用反證法在歸謬中所導出的矛盾可以是與題設矛盾,與假設矛盾,與已知定義、公理、定理矛盾，自相矛盾等反設歸謬存真(2)用反證法證題,矛盾的主要類型有哪些?3、反證法是一種常用的間接證明方法.(3)適宜使用反證法的情況: 結論以否定形式出現； 結論以“至多-,” ,“至少-” 形式出現； 唯一性、存在性問題; 結論的反面比原結論更具體更容易研究的命題.正難則反!第22頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三（1）本考點在高考中每年都要涉及，主要以考查直接證明中的綜合法為主。（2）反證法僅作為客觀題的判斷方法不會單獨命題。高考熱點第

13、23頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三先講綜合法，后講分析法綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數學問題時常用的思維方式綜合法是學生使用較多、較為熟悉的一種方法分析法雖然在過去也經常使用，但學生在理解上顯然不如綜合法那樣容易。要突破分析法這一教學難點分析法的主要困難有兩點：一是學生對這種證明方法的思考過程不理解；二是學生對這種證明方法的表達方式不習慣突破難點的方法有兩點：一是結合具體的數學實例，讓學生感受分析法證明的可靠性，以及“要證只需證”這種表達的必要性；二是將分析法與綜合法對比著進行講解，幫助學生加深對分析法思考過程及特點的理解教學建議第24

14、頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三 2.3 數學歸納法 本節的教學內容只有一個知識點，即數學歸納法.本節課的教學可分為2課時:(1)數學歸納法; 1課時(2)鞏固練習課. 1課時第25頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三教學目標【知識與技能】1）通過對數學歸納法的學習，使學生初步掌握觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴密的邏輯推理能力。（2） 進一步發展學生的抽象思維能力和創新能力，讓學生經歷知識的構建過程, 體會類比的數學思想 （3） 在學習中培養學生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質以及發現問題、提出問題的意識和數學交流的能力。第26頁，共49頁，20

15、22年，5月20日，16點25分，星期三教學目標【過程與方法】（1）了解由有限多個特殊事例得出的一般結論不一 定正確，初步理解數學歸納法原理。（2）能以遞推思想為指導，理解數學歸納法證明數學命題的兩個步驟一個結論。（3）初步會用數學歸納法證明一些與正整數相關的簡單的恒等式。第27頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三教學目標【情感態度與價值觀】（1）通過對數學歸納法原理的探究，親歷知識的構建過程，領悟其中所蘊含的數學思想和辨正唯物主義觀點。（2）體驗探索中挫折的艱辛和成功的快樂，感悟數學的內在美，激發學生學習熱情，使學生喜歡數學。（3）學生通過置疑與探究，初步形成正確的數學

16、觀，創新意識和嚴謹的科學精神。第28頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三1教學重點借助具體實例了解數學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數有關的簡單恒等式，特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恒等變換的運用。2教學難點（1 ）如何理解數學歸納法證題的嚴密性和有效性。（2）遞推步驟中如何利用歸納假設，即如何利用當n=k+1時假設證明當時結論正確。教學重點、難點第29頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三教材分析（1）綜合法的思維特征是：由因導果即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法（2）分析法的思維

17、特征是：執果索因即從結論入手進行反推，看看需要知道什么，最后推出一個已證的命題（定義、公理、定理、公式等）或已知條件，從而得到證明很多演繹推理的證明題都是采用這種方法進行思考的，有時也將綜合法和分析法結合起來使用（3）反證法是間接證明的一種基本方法，任何一個問題都有正反兩面，當直接證明有困難時，便可以考慮使用反證法反證法證題的步驟可歸結為：反設歸謬結論第30頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三 (歸納奠基)證明當n取第一個值_ 時,命題成立. (歸納遞推)假設_ _(kn0, kN*)時命題成立，證明當_ 時命題也成立. 只要完成這兩個步驟就可以斷定命題對從n0開始的所有

18、正整數n都成立.數學歸納法證題的步驟遞推基礎不可少歸納假設要用到結論寫明莫忘掉第31頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三數學歸納法的應用：（1）恒等式（3）不等式（6）三角方面（2）整除性（5）幾何方面（4）計算、猜想、證明 對于由歸納法得到的某些與自然數有關的數 學 命 題, 我們常采用數學歸納法來證明它們的正確性:第32頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三（1）歸納猜想證明仍是高考重點。（2）與函數、數列、不等式等知識結合，在知識的交匯處命題是熱點。高考熱點第33頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三（1）通過遞推數列求通項問

19、題，引發學習數學歸納法的欲望，說明探索新的證明方法的必要性（2）分析“多米諾骨牌”全部倒下的原理遞推思想（3）給出數學歸納法的基本原理教學建議第34頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三 第三章 數系的擴充和復數的引入3.1 數系的擴充和復數的概念 2課時3.2 復數代數形式的四則運算 2課時小結與復習 1課時 （演講者：張鵬飛 制作者：趙殿武）第35頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三課 標 內 容1. 在具體情境中了解數系擴充的過程, 體會實際需求與數學內部的矛盾在數系擴充過程中的作用, 感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系.2. 理解復數

20、的基本概念以及復數相等的充要條件.3. 掌握復數的代數形式及其幾何意義.4. 能進行復數代數形式的四則運算,了解復數代數形式的加減運算的幾何意義.第36頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三標準與教學大綱的比較教學內容 標準 大 綱 比較數系的擴充 在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規則，方程求根）在數系擴充中的作用，感受人類理性思維的作用以及數學與現實世界的聯系. 了解引進復數的必要性. 了解數系從自然數到有理數，到實數再到復數擴充的基本思想.在擴充情境、需求、感受方面的要求提高了.復數概念 理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件.理

21、解復數的有關概念.特指與泛指復數的表示法 了解復數的代數表示及其幾何意義.掌握復數的代數表示與幾何意義.了解與掌握復數的運算 能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義.能進行復數代數形式的加減乘除運算，掌握復數代數形式的運算法則.了解與掌握第37頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三第三章 知識結構復數的概念 數系的擴充與復數的引入復數代數形式的四則運算 復數的幾何意義第38頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三數系擴充與復數引入復數復數概念復數的運算復 數 相 等共 軛 復 數復數的加減法復數的乘除法復數的幾何意義復 數 的

22、 分 類互為共軛復 數 的 模第39頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三內容與課時安排（約5課時）3.1.1數系的擴充與和復數的概念約1課時3.1.2復數的幾何意義約1課時3.2.1復數代數形式的加減運算及其幾何意義約1課時3.2.2復數代數形式的乘除運算約1課時小結約1課時第40頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三3.1 數系的擴充和復數的概念一、教學目標：知識與技能目標：了解解方程等實際需要也是數系發展的一個主要原因；理解復數的有關概念以及符號表示；掌握復數的代數表示形式及其有關概念；過程與方法目標：在問題情境中了解數系的擴充過程；體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規則、方程求根）在數系擴充過程中的作用；情感、態度及價值觀：感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系。第41頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三3.1 數系的擴充和復數的概念二、教學重難點重點：引進虛數單位i的必要性、對i的規定以及復數的有關概念難點：復數概念的理解第42頁，共49頁，2022年，5月20日，16點25分，星期三3.1 數系的擴充和復數的概念三、教