專題28幾何綜合壓軸題（29題）一、單選題1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點(diǎn)B．C．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是等邊三角形D．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，2．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在正方形中，分別以點(diǎn)A和為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和，作直線，再以點(diǎn)A為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧交直線于點(diǎn)（點(diǎn)在正方形內(nèi)部），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，則正方形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．4．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則的半徑是（

）A． B． C． D．5．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后停止，連接．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，為．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻，分別對(duì)應(yīng)和，若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④二、填空題6．（2024·河北·中考真題）如圖，的面積為，為邊上的中線，點(diǎn)，，，是線段的五等分點(diǎn)，點(diǎn)，，是線段的四等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（1）的面積為；（2）的面積為．7．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，，，線段繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過(guò)點(diǎn)B作的垂線，交射線于點(diǎn)E．若，則的最大值為，最小值為.8．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．線段與關(guān)于過(guò)點(diǎn)O的直線l對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，交于點(diǎn)E，則與四邊形的面積比為9．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，直角三角板的直角頂點(diǎn)C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一條直角邊與直線交于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，線段的最小值為．10．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個(gè)全等的三角形(，，)與中間的小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角形．連接BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，若，則：（1）的度數(shù)是；（2）的長(zhǎng)是．11．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，則的最大值為．

12．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，是半圓的直徑，是一條弦，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③當(dāng)，時(shí)，；④當(dāng)，時(shí)，的面積是．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有．13．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在矩形紙片中，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接．若，則．三、解答題14．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在中，，．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．

圖1

圖2

圖3(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，的平分線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿折疊，在變化過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置時(shí)，連接．①求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；②若，求的面積．15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．16．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，點(diǎn)D在邊上．若，則，請(qǐng)證明；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，在中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)E在上，連接，．若，求的長(zhǎng)；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)G．若，，求的長(zhǎng)．17．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：與相切；(2)若，求的長(zhǎng)．18．（2024·浙江·中考真題）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，連結(jié)，使．(1)若，為直徑，求的度數(shù)．(2)求證：①；②．19．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫線不得超過(guò)三條．(1)在圖（1）中，畫射線交于點(diǎn)D，使平分的面積；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在射線上畫點(diǎn)E，使；(3)在圖（2）中，先畫點(diǎn)F，使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C，再畫射線交于點(diǎn)G；(4)在（3）的基礎(chǔ)上，將線段繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，畫對(duì)應(yīng)線段（點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)）．20．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點(diǎn)，使得；（不寫作法，保留痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，，則的長(zhǎng)是多少？（請(qǐng)直接寫出的值）21．（2024·江蘇常州·中考真題）將邊長(zhǎng)均為的等邊三角形紙片疊放在一起，使點(diǎn)E、B分別在邊上（端點(diǎn)除外），邊相交于點(diǎn)G，邊相交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)E是邊的中點(diǎn)時(shí)，兩張紙片重疊部分的形狀是________；(2)如圖2，若，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；(3)如圖3，當(dāng)，時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說(shuō)明理由．22．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了圖形的相似后，對(duì)三角形的相似進(jìn)行了深入研究．（一）拓展探究如圖1，在中，，垂足為．（1）興趣小組的同學(xué)得出．理由如下：①______②______請(qǐng)完成填空：①______；②______；（2）如圖2，為線段上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．（二）學(xué)以致用（3）如圖3，是直角三角形，，平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，且，當(dāng)線段的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求線段的長(zhǎng)．23．（2024·江蘇常州·中考真題）對(duì)于平面內(nèi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形，若將其中一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離后與另一個(gè)圖形重合，則稱這兩個(gè)圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個(gè)圖形叫做另一個(gè)圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”．(1)如圖，是線段的四等分點(diǎn)．若，則在圖中，線段的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是________，________（寫出符合條件的一種情況即可）；(2)如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)是．用直尺和圓規(guī)作出的一個(gè)“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、1,0、0,4，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓．若對(duì)上的任意點(diǎn)，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足，直接寫出的取值范圍．24．（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開(kāi)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)【操作判斷】操作一：如圖①，對(duì)折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點(diǎn)E，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點(diǎn)F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點(diǎn)分別為G、H．根據(jù)以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過(guò)點(diǎn)G作的垂線，分別交于點(diǎn)P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請(qǐng)求出的值（用含k的代數(shù)式表示）．25．（2024·湖北·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在上，以CE為直徑的經(jīng)過(guò)AB上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．(1)求證：AB是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．26．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，上，將矩形沿折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊CD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，交于點(diǎn)H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)P為CD的中點(diǎn)，，時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，連接，當(dāng)P，H分別為CD，的中點(diǎn)時(shí)，探究與AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．27．（2024·四川巴中·中考真題）綜合與實(shí)踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開(kāi)拼成一個(gè)矩形，拼接示意圖如圖1、圖2．在圖2中，四邊形為梯形，，是邊上的點(diǎn)．經(jīng)過(guò)剪拼，四邊形為矩形．則______．(2)探究與證明：探究將任意一個(gè)四邊形剪開(kāi)拼成一個(gè)平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、圖5．在圖5中，是四邊形邊上的點(diǎn)．是拼接之后形成的四邊形．①通過(guò)操作得出：與的比值為_(kāi)_____．②證明：四邊形為平行四邊形．(3)實(shí)踐與應(yīng)用：任意一個(gè)四邊形能不能剪開(kāi)拼成一個(gè)矩形？若能，請(qǐng)將四邊形剪成4塊，按圖5的方式補(bǔ)全圖6，并簡(jiǎn)單說(shuō)明剪開(kāi)和拼接過(guò)程．若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W外一點(diǎn)，點(diǎn)Q在的延長(zhǎng)線上，使得，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱點(diǎn)P是圖形W的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，例如：如圖1，是線段外一點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上，且，因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段上，所以點(diǎn)P是線段的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．(1)如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”；(2)如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，求b的最小值：(3)如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點(diǎn)的等腰直角三角形上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是圖形的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．29．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）綜合與實(shí)踐某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組用一張矩形紙片（如圖1，矩形中，且足夠長(zhǎng)）進(jìn)行探究活動(dòng)．【動(dòng)手操作】如圖2，第一步，沿點(diǎn)A所在直線折疊，使點(diǎn)D落在上的點(diǎn)E處，折痕為，連接，把紙片展平．第二步，把四邊形折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，折痕為，再把紙片展