1、第第 頁共8頁平行四邊形講義【平行四邊形】例1如圖，已知bABCD中，M是BC的中點，且AM=9,BD=12,AD=10,則該平行四邊形的面積為(平移AM,使分散的條件集中到一個三角形中)例2如圖bABCD中，NDAB=600點EF分別在CDAB的延長線上且AE=AD,CF=CB(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若去掉已知條件的“NDAB=600”，上述的結論還成立嗎？若成立請寫出證明過程；若不成立請說明理由例3如圖4ABC中，NC=90o點M在BC上且BM=AC點N在AC上且AN=MC,AM與BN相交于點P,求證NBPM=450(條件給出的是線段的相等關系，結論是求角的度數，條件

2、中國有直角和相等的線段，聯想到等腰直角三角形；故平移AN,構造平行四邊形)例4四邊形ABCD中，AB=BC=CD,ZBAD和NCDA都是銳角，點P是對角線BD上一點，PQAB交AD于Q,PSBC交DC于S,四邊形PQRS也是平行四邊形.(1)當P于點B重合時，圖(1)變為圖(2),若/人8口=900,求證ABR04CRD(用不同的方法)例5.四邊形ABCD中,DB交AC于P,EF過P點分別交AD、BC于E、F,且PE=PF,PA+AE=PC+CF.求證：PA=PC.【矩形、菱形】例6如圖，矩形ABCD中對角線相交于O,AE平分NBAD交BC于E,NCAE=15。,則NBOC=例7如圖，四邊形A

3、BCD是菱形，4AEF是正三角形，點E、F分別在邊CB、CD上，例8矩形紙片ABCD沿EF折疊，點B落在AD上的B1處，點A骷落在Ai處口干（1）求證：B1E=BF設AE=a,AB=b,BF=c,試猜想a,b,c之間有何等量關系，并證明。cLAZ例9（2008年湖北省咸寧市）如圖，在ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MNBC,設MN交NBCA的角平分線于點E,交NBCA的外角平分線于點F.（1）求證:EO=FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論.(A)例11A1答案：D【正方形】恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF.若CD=6,4V：3(B)3v3(

4、C)42(D)8（威海市）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF.若(A)例11A1答案：D【正方形】恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF.若CD=6,4V：3(B)3v3(C)42(D)8（威海市）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF.若AB=3,則BC的長為B.2C.五D.3例12正方形的邊長為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一個動點；則DN+MN的最小值是多少？?？诘罂诨乩?3（海南?。┤鐖D，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證：PE=PD；PEXPD；（2）設AP=x

5、,4PBE的面積為y.求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍;例14（08武漢）正方形ABCD中，O是對角線AC的中點，P是對角線AC上的一(1)如圖2,若點P在AO上(不與點A,O重合)，PEXPB且PE交CD于點E.求證：DF=EF；寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關系式，并證明你結論.(2)若(2)若P在線段OC上(不于O,C重合)，PEXPB且PE交直線CD于點E.請完成圖3,并判斷(1)中的兩個問題是否分別成立？若不成立寫出相應的結論.例15如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE.求證：CE=CF；在圖1中，若G在AD上，且NGCE=

6、45,則GE=BE+GD成立嗎？為什么？運用解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖2,在直角梯形ABCD中，ADBC(BOAD),ZB=90,AB=BC=12,E是AB上一點，且NDCE=45,BE=4,求DE的長.例小明在研究正方形ABC的有關問題時，得出“在正方形ABCD中，如果點例小明在研究正方形ABC的有關問題時，得出“在正方形ABCD中，如果點E是CD的中點，點F是BC邊上的一點，且NFAE=NEAD,那么EFLAE。小明是一個善于提問題的同學，他想：若把正方形ABCD改為矩形，其他的條件不變，是否還有EFXAE的結論呢？請你對上述的兩個問題作出解釋。按照上述的思路你會進一步提出什

7、么問題？并對你【梯形】例16：梯形ABCD中，AB#DC,ZADC+ZBCD=90o,DC=2AB，分別以DA,AB,BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1,S2,S3,求S1,S2,S3之間的關系。例17.（2008年甘肅省白銀市）如圖（1）是一個等腰梯形，由6個樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖（2）所示的一個菱形對于圖（1）中的等腰梯形，請寫出它的內角的度數或腰與底邊長度之間關系的一個正確結論：.如圖，直角梯形ABCD中，NA=NB=900,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/秒的速度運動，動點Q從C開始沿CB邊向B以3cm/秒的速度運動，P、Q

8、分別從點A、C同時出發，當其中一點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒，求（1）t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？（2）t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？例19.等腰梯形ABCD中，DCAB,AD=BC,對角線ACBD于O,若DC=3cm,AB=8cm,求這個梯形的面積。1K一共例20已知梯形ABCD,ADBC,NABC=900,AD=3,BC=5,以D為旋轉中心，逆時針方向把DC旋轉900得線段DE,求4ADE的面積。（根據AB長的不確定，在特殊情況下探索三角形的面積，在一般情況下給出證明。利用的數學思想是：）【中點相關的問題】.任意四邊形各邊中點的連線是什么圖形？

9、當得到的四邊形是矩形、菱形時，原四邊形應滿足什么條件？.如圖，矩形ABCD的面積為4,順次連結各邊中點得到四邊形ABCD,再順次連11112222結四邊形ABCD四邊中點得到四邊形結四邊形ABCD四邊中點得到四邊形ABCD,依此類推，求四邊形ABCD的面22223333nnnn3.如圖，ABC中，CD是AB邊上的高，D為垂足，M為AB中點，DM=1AC,求證:ZA=2ZBTOC o 1-5 h z.如圖，已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點，E、FD分別是AP、RP的中點，當點P在CD上從C向D移動而點R不動時，A那么下列結論成立的是A、線段EF的長逐漸增大B、線段EF的長逐漸減

10、小PC、線段EF的長不變D、線段EF的長與點P的位置有關二RFC.（2008烏魯木齊）.如圖，在四邊形ABCD中，點E是線段AD上的任意一點（E與A，D不重合），G，F，H分別是BE，BC，CE的中點.（1）證明四邊形EGFH是平行四邊形；（2）在（1）的條件下，若EFBC，且EF=1BC，證明平行四邊形EGFH是正方形.ABC中，CD=AB,ZADB=ZBAD,AE是ABD的中線，求證:AC=2AE.梯形ABCD中，ADBC,NCAD=600,AC與BD交于O,E是OD中點，F是OC的中點，G是AB的中點。求證：4GEF是等邊三角形AE悌6AE悌6題圖）9.平行四邊形的兩條對角線的長分別為4

11、,6.則其邊的取值范圍是10.（2007山東臨沂）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點,要使四邊形EFGH是菱形,四邊形ABCD還應滿足的一個條件是。答案：AD=BC,或ABCD為等腰梯形（答案不唯一）.梯形ABCD中，ADCB,NB+NC=900,AD=1,BC=3,E,F分別是AD,BC的中點，則EF的長是多少?.AEB及4AFC是直角三角形，NAEB=ZAFC=90,ZABE=ZACF,M是BC的中點，探究ME和MF的大小關系.13.如圖，M,N,P,Q分別是五邊形ABCDE的邊的中點，O是PQ的中點，K是MN的中點，探究線段OK與BC的關系.D在A

12、B上，E在AC上，BD=CE,M是BE中點，N13.如圖，M,N,P,Q分別是五邊形ABCDE的邊的中點，O是PQ的中點，K是MN的中點，探究線段OK與BC的關系.【練習】.(08濰坊)如圖，ABCD為平行四邊形，AD=a,BEAC,DE交AC的延長線于點F,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark26 BE于E點.八(1)求證：DF=FE；廠、/I(2)若AC=2CF,NADC=60,人口求BE的長;(3)在(2)的條件下，求四邊形ABED的面積.已知，D,E分別是正4ABC的BC,AB邊上的點，且CD=BE,以AD為邊作正ADF,連接EF。a判斷四邊形CDFE的形狀。ZA當NEFD=300時，求D點的位置。/(拓展到正方形中).如圖，以4ABC的三邊AC,BC,AB為邊作等邊4ACD,等邊4BCE,等邊ABF,使D,A,F,E在BC的同側。試判斷四邊形ADEF的形狀，并說明理由ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？菱形？一4.如圖，四邊形ABCD中,若AB=BC,ZABC=ZCDA=90QBELAD于點E,四邊形ABCD=8,則4.如圖，四邊形ABCD中,若AB=BC,ZABC=ZCDA=90QBELAD于點