1、泊松過程與泊松分布的基本知識泊松過程是隨機過程的一個經典模型，是一種累積隨機事件的發 生次數的獨立增量過程。也就是說，每次事件的發生是相互獨立的。 那么泊松分布和泊松過程又什么關系呢？可以說泊松分布是描述稀 有事件的統計規律，即可以描述一段時間內發生某個次數的概率。而 泊松過程呢，就適合刻畫“稀有事件流”的概率特性。比較：泊松分布P(X = K)=告知泊松過程的主要公式：PN(t + s) N(s) = n = Q? 廠”$其實沒多少不一樣對不對？不一樣的是泊松過程是一個可以查 看在時間t內發生次數的概率，這個t是可變的。泊松分布則是給定 了時間。泊松過程的關鍵在于，它的到達間隔序列Tn，即每

2、兩次發生的 時間是服從的獨立同指數分布的。如果每次發生的間隔時間不服從指 數分布，那么這個隨機過程就會更一般化，我們成為是更新過程，這 也是隨機過程的推廣。泊松過程分為齊次泊松過程和非齊次泊松過程，齊次的意思很簡 單，就是說過程并不依賴于初始時刻，強度函數是一個常數，從上面 的公式也看得出來。而非齊次則是變成了，這意味著什么呢？這以為 著隨著與時間的改變，強度是會改變的，改變服從強度函數，說了這 么久，強度究竟是個什么概念？強度的意思就是泊松過程的該事件發 生的頻率，或者說快慢，泊松分布中我們知道期望就是，實際含義就 是，在一段時間內，發生的次數平均水平是次。復合泊松過程：泊松過程我們已經知道

3、，用描述一段時間累積發 生的次數，但是如果每次發生帶來的后果都是不一樣的，我們怎么描 述這個過程呢？比如，火車站到達的乘客是服從泊松過程的，但是每 個乘客攜帶有不同重量的行李，我們如何刻畫在0,t 時間內行李總 重量呢，這個過程就是復合泊松過程。復合泊松過程的均值函數和方 差函數一般可以用全期望和全方差公式進行計算，因為簡單泊松過程 的期望很容易求。更新過程：上文已經說到，更新過程作為泊松過程的推廣，更具有一般性， 那么在討論更新過程時，我們更多地討來更新函數，更新函數是更新 過程的均值函數 m(t)=EN(t) ，怎么理解呢，就是說需要用t時刻 的累積計數的期望特性來表達更新過程。有一條定理

4、：7 = E 知這個定理是可以證明的，Fn (t)是分布函數，就是說：在t時 刻，更新函數值就是在這個時刻，n取遍所有值的分布之和。那么是否可以這樣理解，更新過程和泊松過程的區別就是更新間 隔序列不同，那么如果已知了更新間隔序列的概率密度函數，就可以 求解該過程的更新函數了，詳細的推導就不寫了。扔結論出來：對間隔序列概率密度函數做拉氏變換得到Lf(s),然后求 Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)，再對 Lm(s)進行逆變換，就得到了 m(t), 這就是更新函數。拉普拉斯變換就是對原函數乘以/(-st)再對t求積分，于是消 去了 t，單位變成了 s，具體的物理意義就不在這里談了，什么拉氏 變換，傅里葉變換，Z變換，多得很，大家覺得很麻煩啊，就在實數 域運算多簡潔明了，但是有一點，進行變換一定不是為了問題復雜化， 而是為了簡化問題。列一些常用的拉氏變換表：表AW常用函數的技氏變換和E變換表115 h)121五3岬)44t(ft55*直16r*血旦:旦)7 rtf 7Lz-L8沽2IT9i-L住-1遍-礦七106 -臼(*4席心422項產另外，更新過程中還有一些定理:基本更新定理：就是說時間趨于無窮時，更新速率收斂于1/平 均更新時間。關鍵更新定理，和blackwell定理