1、精選優質文檔-傾情為你奉上精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業專心-專注-專業精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業 數列求和方法匯編【教學目標】一、知識目標1熟練掌握等差數列與等比數列的求和公式；2能運用倒序相加、錯位相減、裂項相消等重要的數學方法進行求和運算； 3熟記一些常用的數列的和的公式二、能力目標培養學生的“合情推理能力”、“等價轉化”和“演繹歸納”的數學思想方法，以及創新意識，滲透運用定義、分類討論、轉化與化歸等數學思想三、情感目標通過數列求和的學習，培養學生的嚴謹的思維品質，使學生體會知識之間的聯系和差異，激發學生的學習興趣【教學重點】1求數列的和注意方法的選取：關鍵是

2、看數列的通項公式； 2求和過程中注意分類討論思想的運用；3轉化思想的運用；【教學難點】錯位相減法、裂項相消法的應用【知識點梳理】1直接法：即直接用等差、等比數列的求和公式求和。（1）等差數列的求和公式： （2）等比數列的求和公式（切記：公比含字母時一定要討論）2公式法： 3錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的比如4裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和常見拆項公式： ； 5分組求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數

3、列或可求和的數列相加或相減組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減6并項求和法：一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.7倒序相加法：如果一個數列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的8其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法，導數法等【典型例題】題型一、公式法求和 例題1：已知數列an是首項a14，公比q1的等比數列，Sn是其前n項和，

4、且4a1，a5，2a3成等差數列(1)求公比q的值；(2)求Tna2a4a6a2n的值【解析】(1)由題意得2a54a12a3.an是等比數列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1.(2)a2，a4，a6，a2n是首項為a24(1)4，公比為q21的等比數列，Tnna24n.【點評】應用公式法求和時，要保證公式使用的正確性，尤其要區分好等差數列、等比數列的通項公式及前n項和公式變式1：已知數列滿足，（1）證明是等差數列；（2）求【點評】對于等差數列的絕對值的求和，我們一般是轉化為分段求和來解決題型二、分組求和例題2：求和： 【解析】：（1

5、）當時，（2）當【點評】：1、通過分組，直接用公式求和。2、運用等比數列前n項和公式時，要注意公比討論。變式2：已知數列xn的首項x13，通項xn2npnq(nN*，p，q為常數)，且x1，x4，x5成等差數列求：(1)p，q的值；(2)數列xn前n項和Sn的公式【解析】(1)由x13，得2pq3，又因為x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12eq f(nn1,2).【點評】 對于不能由等差數列、等比數列的前n項和公式直接求和的問題，一般需要將數列通項的結構進行合理的拆分，

6、轉化成若干個等差數列、等比數列的求和題型三、裂項相消法求和例題3 ：數列的通項公式為，求它的前n項和【解析】： = 【點評】：裂項相消法求和的關鍵是數列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數列的相鄰兩項，即這兩項的結構應一致，并且消項時前后所剩的項數相同. 變式3：求和【解析】變式4在數列an中，aneq f(1,n1)eq f(2,n1)eq f(n,n1)，又bneq f(2,anan1)，求數列bn的前n項和Sn.【解析】aneq f(1,n1)eq f(2,n1)eq f(n,n1)eq f(12n,n1)eq f(nn1,2n1)eq f(n,2).bneq f(2,anan1)

7、eq f(2,f(n,2)f(n1,2)eq f(8,nn1)8eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1).Sn8eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1)8eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n1)eq f(8n,n1).變式5等比數列的各項均為正數，成等差數列，且（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和【解析】設等比數列的公比為，依題意，有即所以由于，解之得或又，所以，所以數

8、列的通項公式為（）（2）解：由（1），得 所以所以故數列的前項和【點評】有時候需要根據實際情況自己去拼湊。題型四、錯位相減法求和例題4：已知數列，求前n項和。 【解析】 當 當【點評】1、已知數列各項是等差數列1，3，5，2n-1與等比數列對應項積，可用錯位相減法求和。2、運用等比數列前n項和公式時，要注意公比討論。3、錯位相減法的求解步驟：在等式兩邊同時乘以等比數列的公比；將兩個等式相減；利用等比數列的前n項和的公式求和.變式5已知 ，求數列an的前n項和Sn.【解析】 得【點評】注意識別數列形式，運用相應的方法題型五、倒序相加法求和例題5：求證：【解析】令則 等式成立【點評】解題時，認真分

9、析對某些前后具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求和.變式6：已知函數（1）證明：；（2）求的值.【解析】： 兩式相加得： 所以.題型六、并項求和例6：Sn10029929829722212【解析】Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.【點評】一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解題型七、其它求和方法（歸納猜想法，奇偶法等供參考）例7：已知數列。【解析】：，若若【點評】：，通過分組，對n分奇偶討論求和。變式7：已知數列的通項，求其前項和【解析】：奇數項組成以為首項，公差為12的等差數列

10、，偶數項組成以為首項，公比為4的等比數列；當為奇數時，奇數項有項，偶數項有項，當為偶數時，奇數項和偶數項分別有項， ，所以，例8：借助導數求和【解析】【點評】本題可以用錯位相減法完成，用導數法求和也可以。變式8：借助導數求和【解析】由二項式定理。求導得，令得【方法與技巧總結】1 數列求和需注意方法的選取：關鍵是看數列的通項公式，根據通項選擇適當的方法； 2求和過程中注意分類討論思想的運用；【鞏固練習】1求下列數列的前項和：（1）5，55，555，5555，； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）（7）1，eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)，eq blc(rc)(av

11、s4alco1(1f(1,2)f(1,4)，eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,4)f(1,2n1)2、已知等差數列an的前3項和為6，前8項和為4.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn(4an)qn1(q0，nN*)，求數列bn的前n項和Sn.3、已知等差數列，求4、設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，（I）求，的通項公式；（II）求數列的前n項和5、已知，求（1）；（2）【課后作業】1.等比數列的前項和S2，則_.2.設，則_.3. .4. =_5. 數列的通項公式 ，前n項和 6 的前n項和為_7、在數列an中，a11，當n2時，其前n項和Sn滿足

12、Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2).(1)求Sn的表達式；(2)設bneq f(Sn,2n1)，求bn的前n項和Tn.8、已知等差數列an滿足a20，a6a810.(1)求數列an的通項公式；(2)求數列eq blcrc(avs4alco1(f(an,2n1)的前n項和9,、設數列an滿足a13a232a33n1aneq f(n,3)，nN*.(1)求數列an的通項公式；(2)設bneq f(n,an)，求數列bn的前n項和Sn.10、已知數列的通項為：，求數列的前n項和Sn11、求證：（1）點P的縱坐標為定值；，【拓展訓練】1數列an滿足：

13、a11，且對任意的m，nN*都有：amnamanmn，則 ( )ABCD2數列an、bn都是公差為1的等差數列，若其首項滿足a1b15，a1b1，且a1，b1N*，則數列前10項的和等于 ( )A100B85C70D553設m=12+23+34+(n-1)n，則m等于 ( )A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)4若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，則S17+S3350等于 ( )A.1 B.-1 C.0 D.25設an為等比數列,bn為等差數列，且b1=0,cn=an+bn,若數列cn是1,1,2,則cn的前10項和為 ( )A.978 B.557 C.467 D.

14、97961002-992+982-972+22-12的值是 ( )A.5000 B.5050 C.10100 D.202007一個有2001項且各項非零的等差數列，其奇數項的和與偶數項的和之比為 .8若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a= ,b= ,c= .9、已知數列an是首項為a1eq f(1,4)，公比qeq f(1,4)的等比數列，設bn23logeq f(1,4)an(nN*)，數列cn滿足cnanbn.(1)求數列bn的通項公式；(2)求數列cn的前n項和Sn.10、設數列an滿足a13a232a33n1aneq f(n,3)，nN*.(1)求數列an的通項公式；

15、(2)設bneq f(n,an)，求數列bn的前n項和Sn.11、已知等差數列an的首項a11，公差d0，且其第二項、第五項、第十四項分別是等比數列bn的第二、三、四項(1)求數列an與bn的通項公式；(2)設數列cn對任意自然數n均有成立求c1c2c3c2003的值12、已知數列an的前n項和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,n1.(1)求證數列an+(-1)n是等比數列;(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對任意的整數m4,有13、已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上。（）求數列的通項公式；（）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小

16、正整數m；【參考答案】鞏固練習答案1、解：（1）（2），（3）（4）， 當時， 當時， ， ， 兩式相減得 ，（5）， 原式（6）設， 又， ，（7）和式中第k項為ak1eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,2k1)eq f(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)k,1f(1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2k).Sn2eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,22)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)2eq blcrc(avs4alc

17、o1(111o(,sdo4(n個)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,22)f(1,2n)2eq blcrc(avs4alco1(nf(f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n),1f(1,2)eq f(1,2n1)2n22、(1)設an的公差為d，則由已知得eq blcrc (avs4alco1(a1a2a36，,a1a2a84，)即eq blcrc (avs4alco1(3a13d6，,8a128d4，)解得a13，d1，故an3(n1)4n.(2)由(1)知，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1，若q1，上式兩邊同乘以q.qSn1q1

18、2q2(n1)qn1nqn，兩式相減得：(1q)Sn1q1q2qn1nqneq f(1qn,1q)nqn.Sneq f(1qn,1q2)eq f(nqn,1q)eq f(nqn1n1qn1,1q2).若q1，則Sn123neq f(nn1,2)，Sneq blcrc (avs4alco1(f(nn1,2)q1，,f(nqn1n1qn1,1q2) q1.)3、4、5、課后作業答案1、 2、 3、 4、5、 6。7、解(1)Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)，anSnSn1(n2)，Seq oal(2,n)(SnSn1)eq blc(rc)(av

19、s4alco1(Snf(1,2)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1Sn0，式兩邊同除以Sn1Sn，得eq f(1,Sn)eq f(1,Sn1)2，數列eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是首項為eq f(1,S1)eq f(1,a1)1，公差為2的等差數列eq f(1,Sn)12(n1)2n1，Sneq f(1,2n1).(2)又bneq f(Sn,2n1)eq f(1,2n12n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)，Tnb1b2bneq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4

20、alco1(1f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n1)eq f(n,2n1).8、解(1)設等差數列an的公差為d，由已知條件可得eq blcrc (avs4alco1(a1d0，,2a112d10，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,d1.)故數列an的通項公式為an2n.(2)設數列eq blcrc(avs4alco1(f(an,2n1)的前n項和為Sn，eq f(an,2n1)eq f(2n,

21、2n1)eq f(1,2n2)eq f(n,2n1)，Sneq blc(rc)(avs4alco1(21f(1,2)f(1,22)f(1,2n2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,2)f(3,22)f(n,2n1).記Tn1eq f(2,2)eq f(3,22)eq f(n,2n1)，則eq f(1,2)Tneq f(1,2)eq f(2,22)eq f(3,23)eq f(n,2n)，得：eq f(1,2)Tn1eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,2n1)eq f(n,2n)，eq f(1,2)Tneq f(1f(1,2n),1f(1,2)eq f(n,2n

22、).即Tn4eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)eq f(n,2n1).Sneq f(2blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n),1f(1,2)4eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)eq f(n,2n1)4eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)4eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)eq f(n,2n1)eq f(n,2n1).9、解(1)a13a232a33n1aneq f(n,3)，當n2時，a13a232a33n2an1eq f(n1,3)，得：3n1aneq

23、 f(n,3)eq f(n1,3)eq f(1,3)，aneq f(1,3n).當n1時，a1eq f(1,3)也適合上式，aneq f(1,3n).(2)bneq f(n,an)n3n，Sn13232333n3n，則3Sn32233334n3n1，得：2Sn332333nn3n1eq f(313n,13)n3n1eq f(3,2)(13n)n3n1.Sneq f(3,4)(13n)eq f(n3n1,2)eq f(3,4)eq f(2n13n1,4).10、11、3、拓展訓練答案1解：amnamanmn，an1ana1nan1n，利用疊加法得到：，答案：A.2解：ana1n1，bnb1n1a

24、1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3則數列也是等差數列，并且前10項和等于：答案：B.3解：因為 an=n2-n.，則依據分組集合即得.答案;A.4解：對前n項和要分奇偶分別解決，即： Sn=答案：A5解 由題意可得a1=1,設公比為q,公差為d,則q2-2q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n,Sn=978.答案：A6解：并項求和，每兩項合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B7 解： 設此數列an,其中間項為a1001,則S奇=a1+a3+a5+a2001=1001a1001,S偶=a2

25、+a4+a6+a2000=1000a1001.答案: 8解： 原式=答案：9、(1)由題意，知aneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)n(nN*)，又bn3logeq f(1,4)an2，故bn3n2(nN*)(2)由(1)，知aneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)n，bn3n2(nN*)，cn(3n2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)n(nN*)Sn1eq f(1,4)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)27eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)3(3n5)eq blc(rc)(avs4alco1

26、(f(1,4)n1(3n2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)n，于是eq f(1,4)Sn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)24eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)37eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)4(3n5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)n(3n2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)n1，兩式相減，得eq f(3,4)Sneq f(1,4)3eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)3blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)n)(3n2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)n1eq f(1,2)(3n2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)n1，Sneq f(2,3)eq f(3n2,3)eq blc(r