1、線(xiàn)性代數(shù)第二章 矩陣第二章 矩陣第一節(jié) 矩陣的基本概念一、矩陣的引入 所謂具有 m 個(gè)方程 n 個(gè)未知數(shù)的線(xiàn)性方程組的一般形式是指 ( 1 ) 其中 是 n 個(gè)未知數(shù)，m 是方程的個(gè)數(shù)， （ ， ）稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的系數(shù)，稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的常數(shù)項(xiàng)由 n 個(gè)數(shù) 組成的有序數(shù)組稱(chēng)為方程組（）的解， 是指當(dāng) 分別用 替換后，（）的每個(gè)等式都變成了恒等式 方程組（）的解的全體組成一個(gè)集合，這個(gè)集合稱(chēng)為方程組（）的解集合 求解方程組實(shí)質(zhì)上就是找到方程組的所有解，即求出它的解集合 把具有相同解集合的兩個(gè)方程組稱(chēng)為同解的方程組 定義1對(duì)線(xiàn)性方程組（）進(jìn)行如下三種變形，稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的初等變換：）用一個(gè)非零數(shù) k

2、 乘以某一個(gè)方程； ）用任意數(shù) k 乘以一個(gè)方程加到另外一個(gè)方程上； ）交換兩個(gè)方程的位置 例1解線(xiàn)性方程組 我們就可以只考慮方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成的一個(gè)矩形數(shù)陣（后面我們稱(chēng)這種矩形數(shù)陣為矩陣），對(duì)于方程組（），其對(duì)應(yīng)的矩形數(shù)陣為例2某食品廠(chǎng)某月向 m 個(gè)超市配送 n 種產(chǎn)品，如 果將送往第 i 個(gè)超市的第 j 種產(chǎn)品的數(shù)量記為 ， 那么配送方案就可以用如下的矩形數(shù)陣表示：例3設(shè) A, B 為進(jìn)行某項(xiàng)決策的雙方，并且設(shè) A 方有 m 種可供選擇的策略，不妨記為 ，B 方有 n 種可供選擇的策略，記為 如果 將 A 方選擇策略 且 B 方選擇策略 時(shí)， A 方所獲得的收益記為 ，那么 A 方在

3、各種情況下的收益可以表示成如下的矩形數(shù)陣：二、矩陣的定義定義2將 mn 個(gè)數(shù) （ ； ） 排成的 m 行 n 列的的矩形數(shù)陣（為了標(biāo)明這是一個(gè)整體，將其括以圓括號(hào)）（2）稱(chēng)為一個(gè) m 行 n 列矩陣，或簡(jiǎn)稱(chēng)為 mn 矩陣，或直接簡(jiǎn)稱(chēng)為矩陣當(dāng)矩陣的元素均為實(shí)數(shù)時(shí)，稱(chēng)其為實(shí)矩陣； 當(dāng)元素均為復(fù)數(shù)時(shí)，稱(chēng)這個(gè)矩陣為復(fù)矩陣 本書(shū)中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，矩陣都是指實(shí)矩陣， 并且將實(shí)數(shù)域上的所有 mn 矩陣的集合記為 當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等，即 m = n 時(shí)，稱(chēng) 這個(gè) nn 矩陣為 n 階方陣，或 n 階矩陣將實(shí)數(shù)域上的所有階方陣的集合記為 本課程中，通常用大寫(xiě)黑體英文字母或者 表示矩陣幾種特殊形式的矩

4、陣 所有元素均為 0 的 mn 矩陣稱(chēng)為零矩陣，記為 在不發(fā)生混淆情況下，也可以簡(jiǎn)記為 將 1 行 n 列的矩陣，即只有一行的矩陣 稱(chēng)為行矩陣，或行向量 將 m 行 1 列的矩陣，即只有一列的矩陣 稱(chēng)為列矩陣，或列向量 通常用黑體希臘字母 表示列矩陣（向量）， 而用 表示行矩陣（向量） 對(duì)于一個(gè) n 階方陣 將 所在的那條對(duì)角線(xiàn)稱(chēng)為矩陣 A 的主對(duì) 角線(xiàn)，而另外一條對(duì)角線(xiàn)稱(chēng)為矩陣A 的副對(duì)角線(xiàn)，即所在的對(duì)角線(xiàn)將主對(duì)角線(xiàn)以下都是 0 的 n 階方陣，稱(chēng)為 n 階上三角矩陣，即當(dāng) 時(shí)， ，也就是形如的矩陣將主對(duì)角線(xiàn)以上都是 0 的 n 階方陣，稱(chēng)為 n 階下三角矩陣，即當(dāng) 時(shí)， ，也就是形如的矩陣

5、將除了主對(duì)角線(xiàn)以外全為 0 的 n 階方陣，稱(chēng)為n 階對(duì)角矩陣，即形如的矩陣通常將這個(gè)對(duì)角矩陣簡(jiǎn)記為 或 特別地，當(dāng)對(duì)角矩陣的對(duì)角線(xiàn)上的元素都相等，則稱(chēng)這個(gè)矩陣為 n 階標(biāo)量矩陣； 更特別地，對(duì)角矩陣的對(duì)角線(xiàn)上的元素都等于 1，則稱(chēng)這個(gè)矩陣為 n 階單位矩陣，簡(jiǎn)記為 在不發(fā)生混淆的情況下，我們有時(shí)也將單位矩陣簡(jiǎn)記為 E ，即第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算一、矩陣的基本運(yùn)算定義3設(shè)兩個(gè)矩陣分別為 , 則只有當(dāng) ， 且 時(shí)，稱(chēng) 矩陣 A 與 B 相等，簡(jiǎn)記為 A = B 即對(duì)于兩個(gè)矩陣，只有當(dāng)它們的行數(shù)和列數(shù)均相同（形狀相同），且對(duì)應(yīng)位置的元素也均相等時(shí)，才稱(chēng)這個(gè)兩個(gè)矩陣相等1矩陣的加法定義4設(shè)兩個(gè) mn 矩

6、陣分別為則矩陣 A 與 B 的和，簡(jiǎn)記為 A+B，規(guī)定為 矩陣滿(mǎn)足如下運(yùn)算規(guī)律： 提示：只有形狀相同（具有相同的行數(shù)和列數(shù)）的兩個(gè)矩陣才能夠相加， 1）結(jié)合律：2）交換律：3）用矩陣的簡(jiǎn)記符號(hào)表示，即為 其中 A, B, C 均為 mn 矩陣，O 為mn 零矩陣定義5設(shè)矩陣 則矩陣 的負(fù)矩陣，簡(jiǎn)記為 A，規(guī)定為 由此，可以定義矩陣的減法，規(guī)定2數(shù)與矩陣的乘法定義6設(shè)矩陣則數(shù) k 與矩陣 A 的乘積，簡(jiǎn)記成 kA 或 Ak，規(guī)定為 有時(shí)，也將數(shù)與矩陣的乘積簡(jiǎn)稱(chēng)為矩陣的數(shù)乘數(shù)與矩陣的乘積滿(mǎn)足如下運(yùn)算規(guī)律：1）分配律：2）結(jié)合律：其中 A, B 均為 mn 矩陣，k, l 為數(shù)有了數(shù)與矩陣相乘的定義

7、以后，有 通常將矩陣的加法和矩陣的數(shù)乘這兩種運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算 3矩陣的乘法例4設(shè) ； 及 是三組變量，與 之間有如下關(guān)系且而 與 之間有下面的關(guān)系將式代入式，得到 與 的關(guān)系同樣可以得到 如果假設(shè)則有如果將這些變量之間的關(guān)系用矩陣表示： 與 之間的關(guān)系為而 與 之間的關(guān)系為那么 與 的關(guān)系 可由 式?jīng)Q定我們將矩陣 稱(chēng)為矩陣 A 與 B 的乘積，簡(jiǎn)記為 AB 定義7設(shè) 是一個(gè) mn 矩陣， 是一個(gè)np 矩陣，即規(guī)定矩陣 A 與 B 矩陣的乘積是一 個(gè)mp 矩陣其中并且將矩陣 A 與 B 的乘 記為 例5設(shè)求 與 B 的乘積 AB 例6設(shè)求 與 B 的乘積 AB ，B 與 的乘積 BA 例

8、7設(shè)求 與 B 的乘積 AB ，B 與 的乘積 BA 矩陣的乘法不適合交換律，即AB不一定等于BA； 兩個(gè)不為零的矩陣相乘可以是零矩陣，也就是由 AB=O，不能推出 A=O 或 B=O在矩陣乘法中不成立，即由AB=AC，不一定能夠推由此得到，消去律出 B=C 矩陣的乘法滿(mǎn)足如下的規(guī)律： 1）乘法結(jié)合律：2）乘法與加法的分配律：3） （k 是一個(gè)常數(shù)）設(shè) A 是一個(gè) mn 矩陣，則有矩陣的方冪 設(shè) A 是任意一個(gè) n 階方陣，規(guī)定由矩陣乘法的結(jié)合律，對(duì)于任意的正整數(shù) r, s ， 有對(duì)于線(xiàn)性方程組由矩陣的乘法，上面的方程組可以表示成 （13）如果簡(jiǎn)記則方程組（13）可以簡(jiǎn)單地表示成下面矩陣的等式

9、并且將矩陣 A 稱(chēng)為線(xiàn)性方程組（13）的系數(shù)矩陣； 將方程組（13）的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成的矩陣稱(chēng)為方程組（13）的增廣矩陣記為 二、矩陣的轉(zhuǎn)置定義8將一個(gè) mn 矩陣 的行與列互換得到一個(gè) nm 矩陣 稱(chēng)之為矩陣 A 的轉(zhuǎn)置，記為 矩陣的轉(zhuǎn)置滿(mǎn)足如下的規(guī)律：1） ；2） ；3） （k 是一個(gè)常數(shù)）；4） 也可以將規(guī)律）推廣到多個(gè)矩陣乘積的情形，即定義9設(shè)是一個(gè) n 階方陣如果 ，即則稱(chēng) A 為對(duì)稱(chēng)矩陣 如果 ，即則稱(chēng) A 為反對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)?證明：任意一個(gè) n 階方陣都可以表示成一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣的和例9設(shè) A 與 B 均為對(duì)稱(chēng)矩陣則 AB 是對(duì)稱(chēng)矩陣的充分必要條件是 三、方陣的行列式定義

10、10設(shè)將由 A 的元素按照矩陣的位置關(guān)系所構(gòu)成的行列式，稱(chēng)為方陣 A 的行列式，記為 或 方陣的行列式滿(mǎn)足如下的運(yùn)算規(guī)律：1） ；2） ；3） 其中 A, B 均為 n 階方陣，k 是一個(gè)數(shù)定義11設(shè) 是行列式 中第 i 行第 j 列元素 的代數(shù)余子式將 n 階方陣 稱(chēng)為矩陣 A 的伴隨矩陣?yán)?0設(shè) A 是一個(gè) n 階方陣， 是 A 的伴隨矩陣證明：例11證明：奇數(shù)階的反對(duì)稱(chēng)矩陣的行列式的值為 0 .第三節(jié) 可逆矩陣的逆矩陣一、可逆矩陣及其逆矩陣的定義定義12對(duì)于 n 階方陣 A ，如果存在一個(gè) n 階方陣，使得則稱(chēng) A 是可逆矩陣（或可逆），并把矩陣 B 稱(chēng)為A 的逆矩陣定理1如果 n 階方

11、陣 A 可逆，則 A 的逆矩陣是唯一的因此，將 A 的唯一的逆矩陣用確定的符號(hào) 表示 二、可逆矩陣的判別定理2n 階方陣 A 是可逆矩陣的充分必要條件是且其中 是 A 的伴隨矩陣推論設(shè) A, B 都是 n 階方陣如果 （或者 ），那么A, B均為可逆矩陣，且A, B互為逆矩陣定義13對(duì)于 n 階方陣 A，如果 A 的行列式 ，則稱(chēng) A 是非退化矩陣，或非奇異矩陣； 否則，即當(dāng) 時(shí)，則稱(chēng) A 是退化矩陣，或奇異矩陣那么定理 2 就可以描述為： n 階方陣 A 是可逆矩陣的充分必要條件是 A 是非退化矩陣 利用矩陣的逆，我們也可以給出克萊姆法則的另外一種證明三、可逆矩陣的性質(zhì)定理3設(shè)A, B是 n

12、 階可逆矩陣，k 是一非零常數(shù)，則1） ， ，且 ；2） 可逆，且 ；3） 可逆，且 ；4） 可逆，且 ；5） AB 可逆，且 例12設(shè) A 是 3 階矩陣 為 A 的伴隨矩陣 ，已知求 的值四、逆矩陣的求法例13試求 2 階矩陣 的逆矩陣?yán)?4試求 3 階矩陣 的逆矩陣?yán)?5設(shè) 均為非零數(shù)試求 n 階對(duì)角矩陣的逆矩陣?yán)?6若 n 階方陣 A 滿(mǎn)足證明： 可逆，并求 例17求得一個(gè)矩陣 X ，使其滿(mǎn)足如下等式五、正交矩陣定義14設(shè) A 是一個(gè) n 階方陣如果 A 滿(mǎn)足則稱(chēng) A 為正交矩陣定理設(shè) A, B 是正交矩陣則有1） ；2） 、 及 （k 是任意整數(shù)）均為正交矩陣；3） AB 是正交矩陣

13、例18在平面解析幾何中，將坐標(biāo)系繞原點(diǎn) O 逆時(shí)針 旋轉(zhuǎn)角 ，如下圖所示：如果一個(gè)向量 在直角坐標(biāo)系 下的坐標(biāo)為 ,而在旋轉(zhuǎn) 角后的坐標(biāo)系 下的坐標(biāo)為 ， 那么 和 滿(mǎn)足下面關(guān)系： 即新舊坐標(biāo)的關(guān)系由矩陣 所決定 第四節(jié) 矩陣的初等變換 和初等矩陣一、矩陣的初等變換和初等矩陣的定義定義15將下面的三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換：）倍乘變換： 用一個(gè)非零數(shù) k 乘以矩陣的某一行 （ k 乘以第 i 行，簡(jiǎn)記為 ）； ）倍加變換： 用任意一個(gè)數(shù) k 乘以矩陣的某一行加到另外一行上 （ k 乘以第 i 行加 到第 j 行上，簡(jiǎn)記為 ）； ）對(duì)調(diào)變換：對(duì)調(diào)矩陣某兩行的位置 行和第 j 行，簡(jiǎn)記為 ） （

14、對(duì)調(diào)第 i 將定義中“行”換成“列”，即可以得到矩陣的初等列變換的定義，其簡(jiǎn)記符號(hào)只需把“ r ”換成“ c ” 如：對(duì)調(diào)第 i 行和第 j 行，簡(jiǎn)記為 矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換定義16單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等行變換所得到的矩陣稱(chēng)為行初等矩陣;單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等列變換所得到的矩陣稱(chēng)為列初等矩陣將行初等矩陣和列初等矩陣統(tǒng)稱(chēng)為初等矩陣我們將）、）、）三種初等行變換所對(duì)應(yīng)的行初等矩陣分別記為： 換所對(duì)應(yīng)的列初等矩陣分別記為： 三種初等列變于是定理5 設(shè) A 是一個(gè) mn 矩陣，則對(duì) A 做一次初等行變換得到的矩陣，等于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m階行初等矩陣；等于將 A 的第

15、i 行乘以 k（ ）所得到的矩陣；等于將 A 的第 i 行乘以 k 加到第 j 行上所得到的矩陣；等于將 A 的第 i, j 兩行對(duì)調(diào)所得到的矩陣； 對(duì) A 做一次初等列變換得到的矩陣，等于在的右邊乘以相應(yīng)的 n 階列初等矩陣 具體地說(shuō)，有等于將 A 的第 i 列乘以 k（ ）所得到的矩陣；等于將 A 的第 i 列乘以 k 加到第 j 列上所得到的矩陣；等于將 A 的第 i, j 兩列對(duì)調(diào)所得到的矩陣初等矩陣均為可逆矩陣，且容易驗(yàn)證，二、矩陣的初等變換和初等矩陣的應(yīng)用1矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形定義17 設(shè) A, B 均為 mn 矩陣如果 A 經(jīng)過(guò)一系列初等行變換得到 B，則稱(chēng) A 與 B 行等價(jià)，簡(jiǎn)記為

16、如果 A 經(jīng)過(guò)一系列初等列變換得到 B， A 與 B 列等價(jià)，簡(jiǎn)記為如果 A 經(jīng)過(guò)一系列初等變換得到 B，則稱(chēng) A 與 B 等價(jià)，簡(jiǎn)記為 則稱(chēng)2）對(duì)稱(chēng)性：如果 ，那么 ；3）傳遞性：如果 ， ，那么 ，其中 A, B 均為 mn 矩陣容易驗(yàn)證，矩陣之間的等價(jià)滿(mǎn)足如下性質(zhì)： 1）自反性： ；定理6設(shè) A 是一個(gè) mn 矩陣那么 A 必與形如的矩陣等價(jià)，其中 將上式中的矩陣稱(chēng)為矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形上式可以簡(jiǎn)寫(xiě)成推論1 設(shè) A 是一個(gè) n 階方陣那么，A 是可逆矩陣的充分必要條件為 A 可以寫(xiě)成一些 n 階初等矩陣的乘積推論2設(shè) A 是一個(gè) n 階方陣則下列結(jié)論等價(jià)：1） A 是可逆矩陣；2） ；3）

17、；4） 定理7 設(shè) A, B 均為 mn 矩陣 那么1） 的充分必要條件是存在 m 階可逆矩陣 R ，使得 B = RA；2） 的充分必要條件是存在 n 階可逆矩陣 C ，使得 B = AC ；3） 的充分必要條件是存在 m 階可逆矩陣 R及 n 階可逆矩陣 C ，使得 B = RAC 2初等變換法求逆矩陣 下面介紹一種利用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法初等變換法求逆矩陣 將可逆矩陣 A 及單位矩陣 左右并排放在一起，組成一個(gè) n2n 矩陣于是即 另外，經(jīng)過(guò)一系列初等列變換可以將 A 變到單位矩陣 ，經(jīng)過(guò)同樣的一系列初等列變換可以將單位矩陣 變?yōu)?因此，也可以將可逆矩陣 A 及單位矩陣 上下

18、并排放在一起，組成一個(gè) 2nn 矩陣于是例19判斷矩陣是否可逆如果可逆，求其逆矩陣 例20設(shè)求解矩陣方程第五節(jié) 分塊矩陣一、分塊矩陣的定義 所謂分塊矩陣，就是把一個(gè)高階矩陣看作是由一些低階的小矩陣組成的，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，把這些小矩陣當(dāng)作元素一樣看待 通常，用橫、縱的虛線(xiàn)將高階矩陣分成若干個(gè)小矩陣，這些小矩陣稱(chēng)為高階矩陣的子塊 分塊矩陣能夠把高階矩陣的運(yùn)算化為一些低階的矩陣的運(yùn)算，從而使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便 例如，將 mn 矩陣 A 按行進(jìn)行分塊A 的每一行看作一個(gè)整體考慮 類(lèi)似地，也可以將矩陣 A 按列進(jìn)行分塊 其中 是 A 的第 i 列元素組成的 m 維列向量 其中 是 A 的第 i 行元素組成的 n 維列向量， 即把另外，有了分塊矩陣的表示以后，行列式 就可以寫(xiě)成其中這樣，第一章的例 8 的結(jié)論就可以表示成利用行列式的性質(zhì)，我們也可以得到 設(shè) A 是一個(gè) n 階方陣，如果對(duì) A 進(jìn)行分塊，使得 A 只在對(duì)角線(xiàn)上有非零子塊，且這些子塊都是方陣，而其余子塊均為零矩陣 O，即其中 都是方陣，則稱(chēng)方塊矩陣 A 為對(duì)角分塊矩陣對(duì)于矩陣 A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形也是