1、電磁場與電磁波課件之時變電磁場要點電磁場與電磁波課件之時變電磁場要點 麥克斯韋將這個名詞推廣到真空中的電場，并且認為；電位移隨時間變化也要產生磁場，因而稱一面積上電通量的時間變化率為位移電流,而電位移矢量 的時間導數為位移電流密度。它在安培環路定律中，除傳導電流之外補充了位移電流的作用，從而總結出完整的電磁方程組，即著名的麥克斯韋方程組，描述了電磁場的分布變化規律。 麥克斯韋方程表明，不僅磁場的變化要產生電場，而且電場的變化也要產生磁場。時變場在這種相互作用下,產生電磁輻射,即為電磁波。 這種電磁波從場源處以光速向周圍傳播，在空間各處按照距場源的遠近有相應的時間滯后現象。電磁波還有一個重要特點

2、，它的場矢量中有與場源至觀察點間的距離成反比的分量。這些分量在空間傳播時的衰減遠比恒定場為小。按照坡印廷定理，電磁波在傳播中攜有能量，可以作為信息的載體。這就為無線電通信、廣播、電視、遙感等技術開闊了道路。 麥克斯韋將這個名詞推廣到真空中的電場，并且認為；電位 時變場中不同于靜態場的上述一些現象，其顯著程度都與頻率的高低及設備的尺寸緊密相關。按照實際需要，在允許的近似范圍內，對時變場的部分過程可以當作恒定場處理，稱之為似穩電磁場或準靜態場。這種方法使分析工作大為簡化，在電工技術中是行之有效的方法，已為人們所廣泛采用。時變電磁場還可以進一步分為周期變化的交變電磁場及非周期性變化的瞬變電磁場。對它

3、們的研究在目的上和方法上有一些各自的特點。交變電磁場在單一頻率的正弦式變化下，可采用復數表示以化簡計算，在電力技術及連續波分析中應用甚多。 瞬變電磁場又稱脈沖電磁場，覆蓋的頻率很寬，介質或傳輸系統呈現出色散特性，往往需要采取頻域、或時序展開等方法進行分析。 時變場中不同于靜態場的上述一些現象，其顯著程度都與頻 時變電磁場 波動方程 位函數及其微分方程 時變電磁場能量 能流 坡印廷定理 時變電磁場 時諧電磁場（正弦電磁場） 時變電磁場比靜態電磁場要復雜得多，主要表現在： 時變電磁場之間相互激勵而具有的波動特性，波動使時變電磁場的疊加不僅要考慮矢量的方向，同時還要考慮波相位對疊加的影響； 電磁場的

4、大小和方向隨時間而變化，將導致介質的極化和磁化特性隨時而變，使介質呈現色散特性等等。 時變電磁場 波動方程 位函數及其微分方程 由麥克斯韋方程組微分形式1. 建立電磁場的波動方程(無源空間)在無源空間， 、 ，線性、各向同性的均勻理想媒質中電磁場的波動方程，提示了時變電磁場的運動規律，即電磁場的波動性。P172由麥克斯韋方程組微分形式1. 建立電磁場的波動方程(無源空間P172同理無源空間中 的波動方程無源空間中 的波動方程P172同理無源空間中 的波動方程無源空間中 的波動方程P173 靜態電磁場可通過位函數滿足的方程進行求解，并且可以得到簡化。時變電磁場能否引入勢函數，通過勢函數滿足的方程

5、來求解，達到求解時變電磁場的目的呢?在直角坐標系下，分解為三個標量方程波動方程的解是在空間中沿一個特定方向傳播的電磁波。P173 靜態電磁場可通過位函數滿足的方程進行2. 標量位與矢量位 式中 稱為電磁場的矢量位 已知 ，即因此 可以表示為矢量場 的旋度 將上式代入式 中，得即 矢量場 為無旋場。可以用一個標量場 的梯度來表示式中 稱為電磁場的標量位由此得即P1732. 標量位與矢量位 式中 稱為電磁場的矢量位 當與時間無關時，位與場量的關系和靜態場完全相同。 稱矢量磁位，稱標量電位。注意，這里的矢量位 及標量位 均是時間及空間函數。 已經規定了矢量位 的旋度， ，必須再規定其散度。洛倫茲條件

6、為了簡化計算，通常規定 根據位函數定義式及麥克斯韋方程，得 P174 當與時間無關時，位與場量的關系和靜態場完全相 已知電流及電荷分布，即可求出矢量位 和標量位 。求出 及 以后，即可求出電場與磁場。 這樣，麥克斯韋方程的求解歸結為位函數方程的求解，而且求解過程顯然得到了簡化。P175達朗貝爾方程 電磁位滿足的非齊次波動方程 原來電磁場方程為兩個結構復雜的矢量方程，在三維空間中需要求解 6 個坐標分量 已知電流及電荷分布，即可求出矢量位 和位函數方程為一個矢量方程和一個標量方程 在三維空間中僅需求解 4 個坐標分量。在直角坐標系中，實際上等于求解 1 個標量方程。 必須指出的是，盡管磁感應強度

7、在形式上只與磁矢勢有關，不能據此認為磁感應強度由磁矢勢決定而與電標勢無關。因為在時變情形下，電磁場相互激發，而時變電場由磁矢勢和電標勢共同描述，使得時變磁場本質上與磁矢勢和電標勢都有聯系。 P175位函數方程為一個矢量方程和一個標量方程 在三維達朗貝爾方程 無源空間中的波動方程洛倫茲條件標量位矢量位 達朗貝爾方程 無源空間中的波動方程洛倫茲條件標量位矢量位 3. 能量密度與能流密度矢量 靜態場的能量密度公式及損耗功率密度公式完全可以推廣到時變電磁場。電場能量密度磁場能量密度損耗功率密度對于各向同性的線性媒質P175因此，時變電磁場的能量密度為 時變場的能量密度是空間及時間的函數，而且時變電磁場

8、的能量還會流動。3. 能量密度與能流密度矢量 靜態場的能 為了衡量這種能量流動的方向及強度，引入能流密度矢量，其方向表示能量流動方向，其大小表示單位時間內垂直穿過單位面積的能量。以 表示， 單位為W/m2 (瓦/米2)。P176 設無外源 ( = 0, = 0) 的區域 V 中，媒質是線性且各向同性的，則此區域中麥克斯韋方程為利用矢量恒等式 ，將上式代入, , V能流密度矢量又稱為坡印廷矢量。 為了衡量這種能量流動的方向及強度，引入能流密整理后求得將上式兩邊對區域 V 求積，得 P176考慮到 ，那么根據能量密度的定義，上式又可表示為 上式稱為時變電磁場的能量定理，即坡印廷定理。表征電磁場能量

9、守恒關系。任何滿足麥克斯韋方程的時變電磁場均必須服從該能量定理。整理后求得將上式兩邊對區域 V 求積，得 P176考慮到 P177 矢量（ ）代表垂直穿過單位面積的功率，因此，就是前述的能流密度矢量 ， 即 此式表明， 與 及 垂直。又知 ，因此， ， 及 三者在空間是相互垂直的，且由 至 與 構成右旋關系，如圖示。 能流密度矢量的瞬時值為可見，能流密度矢量的瞬時值等于電場強度和磁場強度的瞬時值的乘積。 只有當兩者同時達到最大值時，能流密度才達到最大。若某一時刻電場強度或磁場強度為零，則在該時刻能流密度矢量為零。, , P177 矢量（ ）代表垂直穿4. 惟一性定理 在閉合面 S 包圍的區域

10、V 中，當t = 0時刻的電場強度 及磁場強度 的初始值給定時，又在 t0 的時間內，只要邊界 S 上的電場強度切向分量 或磁場強度的切向分量 給定后，那么在 t 0 的任一時刻，體積 V 中任一點的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。利用麥克斯韋方程導出的能量定理，采用反證法即可證明這個定理。&P179V or 4. 惟一性定理 在閉合面 S 包圍5. 時諧電磁場（正弦電磁場） 一種特殊的時變電磁場，其場強的方向與時間無關，但其大小隨時間的變化規律為正弦函數，即式中 僅為空間函數，它是正弦時間函數的振幅。 為角頻率。 為正弦函數的初始相位。 由傅里葉變換得知，任一周期性或非周期性的時間函數在一定

11、條件下均可分解為很多正弦函數之和。因此，我們著重討論正弦電磁場是具有實際意義的。 P180 正弦電磁場是由隨時間按正弦變化的時變電荷與電流產生的。雖然場的變化落后于源，但是場與源隨時間的變化規律是相同的，所以正弦電磁場的場和源具有相同的頻率。5. 時諧電磁場（正弦電磁場） 一種特殊的時變電磁 對于這些相同頻率的正弦量之間的運算可以采用復數方法，即僅須考慮正弦量的振幅和空間相位 ，而略去時間相位 t 。那么，對于電場強度可用一個與時間無關的復矢量 表示為原來的瞬時矢量和復矢量的關系為 復矢量僅為空間函數，與時間無關。只有頻率相同的正弦量之間才能使用復矢量的方法進行運算。P181 對于這些相同頻率

12、的正弦量之間的運算可以采用復6. 麥克斯韋方程的復數形式 已知正弦電磁場的場與源的頻率相同，因此可用復矢量形式表示麥克斯韋方程。P182可得 以及上述方程稱為麥克斯韋方程的復數形式。6. 麥克斯韋方程的復數形式 已知正弦電磁場的場麥克斯韋方程的復數形式 瞬時形式 ( r, t )復數形式 ( r )麥克斯韋方程的復數形式 瞬時形式 ( r, t )復數形式 7. 復電容率和復磁導率 高頻場中存在損耗導電媒質(,)，歐姆損耗稱為等效復介電常數或復電容率電介質中電極化損耗稱為復介電常數或復電容率定義損耗角正切導電媒質相似地，磁介質中稱為復磁導率P1837. 復電容率和復磁導率 高頻場中存在損耗導電

13、媒質(,8. 亥姆霍茲方程 將 ，由波動方程得式中即時諧電磁場的復矢量 和 在無源空間中的波動方程（亥姆霍茲方程） 媒質的損耗時，導電媒質(0)亥姆霍茲方程 P1848. 亥姆霍茲方程 將 9. 時諧場的位函數 對于正弦電磁場，位函數也可用復矢量表示。式中P185洛倫茲條件變為達朗貝爾方程變為 由洛倫茲條件，標量位即9. 時諧場的位函數 對于正弦電磁場，位函數也可用復矢已知能流密度矢量 S 的瞬時值為 其周期平均值為 P18510. 平均能量密度和平均能流密度矢量由時諧場坡印廷矢量S電場能量密度和磁場能量密度的時間平均值已知能流密度矢量 S 的瞬時值為 其周期平均值為 P1851即復數形式的坡

14、印廷定理。右端表示體積V內的有用功率和無用功率。左端的面積分是穿過閉合面S 的復功率，其實部為有用功率，即功率的時間平均值，被積函數的實部即為平均能流密度矢量Sav。 由此可見，復能流密度矢量的實部表示能量流動，虛部表示能量交換。 P187能量定理也可用復矢量表示為即復數形式的坡印廷定理。右端表示體積V內的有用功率和無用功率 例 已知某真空區域中的時變電磁場的電場瞬時值為試求其能流密度矢量的平均值。解 根據時變電場瞬時值，求得其有效值的復數形式為又知由于時變電場僅有 y 分量，且與變量 y 無關，即 。那么 例 已知某真空區域中的時變電磁場的電場瞬時值為試求其能流求得復能流密度矢量為其實部就是平均值，即由求得復能流密度矢量為其實部就是平均值，即由解題思