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文檔簡介

1、柯西證明均值不等式的方法byzhangyuong(數學之家)本文主要介紹柯西對證明均值不等式的一種方法，這種方法極其重要。一般的均值不等式我們通常考慮的是AG:nn一些大家都知道的條件我就不寫了x+x+.+x12nnxx.xn12n我曾經在幾個重要不等式的證明中介紹過柯西的這個方法，現在再次提出二維已證，四維時：a+b+c+d，(a+b)+(c+d)2ab+2cd4abed，44abed八維時:(a+b+c+d)+(e+f+g+h)44abed+44efgh8sabcdefgh這樣的步驟重復n次之后將會得到x+x+.+xTOC o 1-5 h z12n2n2n122nx+x+.+xx，x,x，

2、x；x，x，x=24，11nnn+1n+22nn由這個不等式有A，nA+(2一n)A2nxx.xA2-n，(xx.x)2nA2即得到2n12n12nx+x+.+x12nnxxxn12n這個歸納法的證明是柯西首次使用的，而且極其重要，下面給出幾個競賽題的例子：例1：若0a1(1，i，n),記RTOC o 1-5 h ziiiiininiiiT=丄工t,U=丄工u,V=丄工v,求證下述不等式成立：nininiiiiPJrstuv+1、,RSTUV+1、(_ii)()nrstuv1RSTUV-1i=1iiiii要證明這題，其實看樣子很像上面柯西的歸納使用的形式其實由均值不等式，以及函數f(x)=In

3、ex1是在R上單調遞減ex1因此我們要證明：證明以下引理：)ni=1.x1X1Jxx1n=2時，,()()(m)2x-1x-1Jxx-112V12令A=xx,A2(xx1xx)(xx1xx)1212121212-2A(xxxx1)A2(xx1-x-x)(1xx-x-x)1212121212122A(xx1-x-x)1212,(A21)(xx1)2A(xx1)1212顯然成立因此叫xxi=1i2n一n2nn(GnG2n1)2n,G=2n-nGnG2n1FLi=1所以原題目也證畢了)n這種歸納法威力十分強大，用同樣方法可以證明Jensen:竺嚴f（），則四維：xxxxxxxxf(x)f(x)f(x)f(x)2f(_X)2f(-X)4f(-_-3_)1234224直進行n次有f(x1)f(x2)+f(x2”)f(x1x2x2n),令令x=x,11xxxx一x；x一x一一x一2n一nnn1n22nn有/(x1)/(x”)+(2n一n)f(A)f(nA(2n一n)A)=f(A)所以得到f(x1)+f(3)+f(化)f(x1x2xn)所以基本上用Jensen證明的題目都可以用柯西的這個方法來證明而且有些時候這種歸納法比Jen

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