1、關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學(xué)習(xí)要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運(yùn)用“”和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價無窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù) 間斷點(diǎn)的類型。了解基本初等函數(shù)和初等函

2、數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。 理解冪級數(shù)的基本概念。掌握冪級數(shù)的收斂判別法。第二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性第六節(jié) 冪 級 數(shù)一. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)二. 冪級數(shù)及其斂散性三. 冪級數(shù)的運(yùn)算第三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義設(shè)有一函數(shù)序列為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù).一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 可以利用常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的知識來處理函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性的收斂點(diǎn) .的發(fā)散點(diǎn) .第六張，PPT共四十九

3、頁，創(chuàng)作于2022年6月它的收斂域, 記為 D .它的發(fā)散域 .第七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù).第八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的前 n 項(xiàng)之和為其部分和：不論級數(shù)在點(diǎn)處是否收斂, 均可寫出其部分和.如果級數(shù)在點(diǎn)處收斂, 則有第九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月4. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別可以適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法, 判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性.特別注意比較判別法的應(yīng)用.第十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月并求其收斂域.即原級數(shù)在整個實(shí)數(shù)域上是絕對收斂的.所求收斂域?yàn)榻饫?第十一張，

4、PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月的斂散性, 并求其收斂域.這是等比級數(shù).故該級數(shù)的收斂域?yàn)? 要打開思路!解例2第十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月幾個問題在級數(shù)一致收斂的條件下, 以上兩個問題的答案是: 肯定成立 .第十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月5. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性一致收斂性的定義由定義: 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂則必收斂.第十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 由于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和函數(shù)以及和函數(shù)都是定義在收斂域 D 上的函數(shù), 故可以運(yùn)用函數(shù)極限中的柯西準(zhǔn)則來判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性.請看書中的柯西收斂原理!第十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)

5、作于2022年6月 魏爾斯特拉斯利用正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法創(chuàng)建了一個十分有用和十分重要的一致收斂判別法魏爾斯特拉斯判別法.魏爾斯特拉斯判別法關(guān)鍵!第十六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月證例3第十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月形如的級數(shù)稱為冪級數(shù), 其中, 稱為冪級數(shù)的系數(shù).1. 冪級數(shù)的定義二. 冪級數(shù)及其斂散性第十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月冪級數(shù)的一般形式為第十九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)冪級數(shù)收斂時, 由可知, 不論“和函數(shù)”多么復(fù)雜, 我們可以用多項(xiàng)式來近似它. 當(dāng) n 的值充分大時, 這種代替可達(dá)到相當(dāng)?shù)木?第二十張，PPT共

6、四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由此可聯(lián)想到什么？2. 冪級數(shù)的斂散性首先進(jìn)行分析：則由收斂的必要條件 , 有而有極限的量必有界 , 故第二十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月它是收斂的, 結(jié)論:第二十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月（）收斂以上分析結(jié)論的圖示:第二十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月（）發(fā)散若在外部一點(diǎn)收斂, 會怎么樣？若在內(nèi)部一點(diǎn)收斂, 會怎么樣？不怎么樣推出第二十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月則由上面的分析可知, 所有滿足這與假設(shè)矛盾. 該矛盾說明: 當(dāng)原級數(shù)發(fā)散 .第二十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由以上的分析

7、發(fā)現(xiàn)：既有收斂點(diǎn), 又有發(fā)散點(diǎn), 則從坐標(biāo)原點(diǎn)開始沿?cái)?shù)軸往右(左)走, 最初只可能遇到它的收斂點(diǎn) ,然后就會只遇到它的發(fā)散點(diǎn), 這兩部分的分界是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的, 冪級數(shù)在分界點(diǎn)處可能收斂, 也可能發(fā)散.現(xiàn)將以上的分析用圖表示出來.第二十六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月（）收發(fā)冪級數(shù)在一個以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間內(nèi)收斂, 在此區(qū)間外發(fā)散 , 在區(qū)間端點(diǎn)處冪級數(shù)可能收斂 , 也可能發(fā)散 .當(dāng)冪級數(shù)僅在第二十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 現(xiàn)在請你回想并歸納一下我們剛才進(jìn)行的分析工作, 給出你的結(jié)論.第二十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月阿貝爾定理第二十九

8、張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月冪級數(shù)斂散性定理都存在一個非負(fù)第三十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月冪級數(shù)的收斂半徑我們稱上述定理中的非負(fù)數(shù) R 為冪級數(shù)的收斂半徑. 如何求收斂半徑？第三十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月求收斂半徑的定理 你能證明嗎? 有點(diǎn)像達(dá)朗貝爾判別法？第三十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由達(dá)朗貝爾判別法：討論要證第三十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月故此時冪級數(shù)發(fā)散, 僅當(dāng)?shù)谌鶑垼琍PT共四十九頁，創(chuàng)作于202

9、2年6月例3解綜上所述, 得:第三十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月誰的收斂半徑？例4解第三十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由交錯級數(shù)判別法, 可知此時級數(shù)收斂.第三十九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例5解第四十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由級數(shù)收斂的必要條件, 可知綜上所述, 第四十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月這是一個缺項(xiàng)的冪級數(shù), 不能直接運(yùn)用求冪級數(shù)收斂半徑的計(jì)算公式. 今后遇到這類級數(shù)應(yīng)該按照函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的情形處理, 通常是采用達(dá)朗貝爾判別法.例6解第四十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 冪級數(shù)的運(yùn)算 冪級數(shù)的四則運(yùn)算 冪級數(shù)的解析運(yùn)算三. 冪級數(shù)的運(yùn)算第四十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月冪級數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)有兩個冪級數(shù)則有以下運(yùn)算規(guī)則第四十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 加、減法第四十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 乘 法 ( 對角線法 )第四十