1、3.6 線性變換及其矩陣表示 定義3.6.1 設A、B是兩個集合，若有一個確定的法則，使對A中每個元素x，都有B中唯一確定的元素y與之對應，則稱這個法則是A到B的一個映射。 此時稱y為x在 下的象，稱x為y在 下的原象。 如果 是A到B的映射，則記為如果 通過 對應 ，則記為一、映射 例3.6.1 設 則 是A到B的映射。 例3.6.2 在解析幾何中，設A表示空間中所有點的集合， 則在建立空間直角坐標系后，存在A到B的一個映射。 例3.6.3 設 則 是A到B的映射。由上面三個例子可知： （1）A與B可以是相同的集合，也可以是不同的集合； （3）一般來說，B的元素不一定都是A中元素的象。 （2

2、）對A中每個元素x，需要B中一個唯一確定的元素與它對應； 設 : AB,記 (A) = (x), xA，稱之為A在映射 下的象集合。顯然 (A) B。 定義3.6.2 設 是A到B的映射，若 則稱 為滿射；若 ,均有 則稱 為單射；若 既是單射又是滿射，則稱 為雙射，也稱為一一對應。 定義3.6.3 設 是A到B的兩個映射， 若 都有 ，則稱 與 相等，記為 定理3.6.1 設 是集合A到B的映射， 是集合B到C的映射,則確定集合A到C的一個映射，稱之為 與 的乘積，記為 ，即 不難發現 在解析幾何中，常需要把空間中的點向某一固定平面作投影，例如向xoy面投影。在線性代數中，這實際上是實數域R

3、上的3維向量空間R3到自身的一個映射 :二、線性變換的概念 定義3.6.4 設 是數域F上的線性空間V的一個變換。如果對任意的 均有 (3.6.1)那么就稱 是V的一個線性變換。 一個集合 S 到自身的映射稱為 S 的變換。所以， 是向量空間 的一個線性變換。我們引入其中 與 是 中任意向量， 是任一實數。即， 保持 中的線性運算的線性性質，因此 可稱為是線性的。 例3.6.5 變換是 的一個線性變換。 例3.6.4 求導變換D:是 的一個線性變換。 是線性變換的充要條件為證明 設 ，則 例3.6.6 取定 定義V 的變換易證 是V 的一個線性變換，稱之為數乘變換。 故命題得證。事實上， 特別

4、地，當 時，稱此變換為零變換，記為 ， 即 當 時，稱此變換為恒等變換或單位變換，記為 ,即 例3.6.8 設 是V上的線性變換， 是V的恒等變換，則 = = 。 因而所以由此可知，該變換不是線性的。 例3.6.7 在 中，定義變換 例 在 中定義變換則 不是 的一個線性變換因為，對（當 時）所以， 不是線性變換。性質3.6.1 設 為線性變換，則 （1）（2） 保持線性組合與線性關系式不變（3） 把線性相關的向量組變成線性相關的 向量組。 證故 注 也可能把非零向量變為零向量。即線性組合的象等于象的線性組合且組合系數相同（3）由（1）與（2）可證（3）.（2）設 ,則 定義3.6.5 設是線

5、性空間V的一個變換。若存在V的另一個變換,使則稱是可逆變換，稱是的逆變換,記為 注 （3）的逆不成立， 也可能把線性無關的向量組變成線性相關的向量組。 定理3.6.2 可逆線性變換的逆變換也是線性變換。 則由逆變換的定義可得已知 是線性的，故 證 設 是可逆線性變換， 是它的逆變換。任取 ，令 注 變換 可逆當且僅當 是雙射，并且當 可逆時， -1 唯一。 由此得同理，由 ，又得所以， 也是線性的。小結要證一個變換 是線性變換，必須證 保持加法和數量乘法，即若證一個變換 不是線性變換，只須證 不保持加法或數量乘法，并且只須舉出一個反例即可。 設 是 n 維線性空間V 的一個基。三、線性變換的矩

6、陣表示若 是V 的一個線性變換，則 唯一確定仍在V 中的像 定義3.6.6 設 是線性空間Vn 中的線性變換，在Vn中取定一個基 ，如果這個基在變換 下的象為上式記其中可表示為那么，A就稱為線性變換 在基 下的矩陣。 例3.6.9 零變換 0*在任一組基下的矩陣都是零矩陣，恒等變換 I*在任一組基下的矩陣都是單位矩陣。 注 取定數域F 上的n 維線性空間V 的一組基 1,2, n，則V 的線性變換 在基 1,2,n 下的矩陣是數域 F 上的n 階方陣且唯一確定。 反之，對數域F上的任一n階方陣A，將A的每一列作為關于基1, 2, , n 的坐標，則可以得到n個向量 1 , 2 , , n ,

7、以 1 , 2 , , n 為1, 2, , n 的像，可唯一確定V 的一個線性變換 ，使其在基1,2,n下的矩陣是 A。 實際上，規定即，在取定基后，線性變換與其矩陣一一對應。其中 a1, a2, , an 是 關于基 1, 2, , n 的坐標，則 就是所求的線性變換，同時， 是唯一的。 例 在3維向量空間R3中，構造變換 ： (x1,x2,x3)= (x3,0, x2 -2x1)， (x1,x2,x3)R3（1）證明 是線性變換；（2）求在R3的自然基下的矩陣。 解 （1）任取 ，因所以， 是線性變換。（2）取R3的自然基故因即， 在R3的自然基 下的矩陣為 例3.6.10 設D是多項式

8、空間Fxn上的求導變換，求D在Fxn的自然基下的矩陣。 解 取Fxn的自然基 f1=1, f2=x, f3=x2, fn=xn-1則由 D(f1)=0, D(f2)=1, D(f3)=2x, D(fn)=(n-1)xn-2可得所以， D在Fxn的自然基 f1, f2, fn下的矩陣為 例 在矩陣空間R22 上構造線性變換 ： ( X )=AX, X R22 這里求 在R22的自然基下的矩陣。解 取R22的自然基因為所以，由此得， 在R22的自然基下的矩陣為 定理3.6.3 設是n維線性空間V 的線性變換，1, 2,n是V 的一組基，在基1, 2, n下的矩陣為A。任取V，若關于基 1, 2,n的坐標為 ( x1, x2, xn )T ( )關于基 1, 2,n的坐標為 ( y1, y2, yn )T則 證因而所以線性變換在不同基下的矩陣 定理3.6.5 在線性空間 中取定兩組基由基 到基 的過渡矩陣為P。設 中的線性變換 在這兩個基下的矩陣依次為A和 B，那末 于是證明因為 線性無關，所以 。給定了線性空間 的一組基以后， 中的線性變換與 中的矩陣形成一一對應因此