1、6.3.1 平面向量的基本定理及加減數乘坐標運算（精練）【題組一 平面向量的基本定理】1（2020廣東云浮市高一期末）下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】因為與不共線，其余選項中、均共線，所以B選項中的兩向量可以作為基底故選：B2（2020北京高一期末）在下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）A， B，C， D，【答案】D【解析】選項A：因為，所以、共線，不能作為基底；選項B：因為，所以、共線，不能作為基底；選項C：因為，所以、共線，不能作為基底；選項D：因為，所以、不共線，可以作為基底，故選：D.3（多選）（2020全國高一單元測試）如果是平面內兩個不共線

2、的向量，那么下列說法中不正確的是（ ）A+ (，R)可以表示平面內的所有向量B對于平面內任一向量，使=+的實數對(，)有無窮多個C若向量1+1與2+2共線，則有且只有一個實數，使得1+1=(2+2)D若實數，使得，則=0【答案】BC【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正確的.對于B，由平面向量基本定理可知，若一個平面的基底確定，那么該平面內的任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的.對于C，當兩個向量均為零向量時，即1=2=1=2=0時，這樣的有無數個，或當1+1為非零向量，而2+2為零向量(2=2=0)，此時不存在.故選:BC.4（2020河南商丘市高一期末）如圖，在四邊形中，為邊的中點，

3、若，則（ ）AB1CD【答案】C【解析】連接，因為為的中點，所以，又因為，根據平面向量基本定理可得，于是故選：C5（2020山西運城市高一月考）如圖，在中，若，則的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】由圖可得，所以，則，故選：6（2020太原市山西大附中高一月考）如圖四邊形ABCD為平行四邊形，若，則的值為ABCD1【答案】D【解析】選取為基底，則，又，將以上兩式比較系數可得故選D7.（2020全國高一單元測試）已知AD，BE分別為ABC的邊BC，AC上的中線，設，則等于（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意所以2，同理得2即2.2得4+2，即3，所以.故選：B.8（2020全國高一單元測試）

4、如圖在梯形ABCD中，ADBC，且E，F分別為AB，CD的中點，則（ ）ABCD【答案】C【解析】連接OE，OF.因為，所以.故選:C.9（2021江蘇高一）我國古代人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數學家趙爽在為周髀算經作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數形結合思想的體現，是中國古代數學的圖騰，還被用作第24屆國際數學家大會的會徽.如圖，大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，為的中點，則（ ）ABCD【答案】A【解析】設，由題意，可得，在中，可得，過點作于點，則，且，所以，所以，因此.故選：A.10（2020全國高一

5、課時練習）在平行四邊形ABCD中，點E，F分別滿足，若，則實數的值為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意，設，則在平行四邊形ABCD中，因為，所以點E為BC的中點，點F在線段DC上，且，所以，又因為，且，所以，所以，解得，所以。故選：B.11（2021河南）已知D，E，F分別是ABC的邊BC，CA，AB的中點，且，則；0.其中正確的等式的個數為( )A1B2C3D4【答案】D【解析】如圖可知，故正確，故正確()，故正確()()0，故正確故選D.12（2020全國高一單元測試）在中，點P是內一點（含邊界），若，則的最大值為（ ）ABCD【答案】D【解析】以為原點，以所在的直線為軸，建立如圖所示

6、的坐標系，設點為，直線的方程為，聯立，解得，此時最大，故選：13（2020陜西商洛市高一期末）如圖，在中，為的中點，若，則_.【答案】【解析】，所以.故答案為：.14（2020山東臨沂市高一期末）如圖，在中，已知是延長線上一點，點為線段的中點，若，且，則_.【答案】【解析】，所以，則，為線段的中點，則，因此，.故答案為：.15（2020北京高一期末）已知在平面直角坐標系中，三點的坐標分別為，若，則點的坐標為_.【答案】【解析】設，則，；因為，故；即.故答案為：.16（2020全國高一）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F分別為BC，CD的動點，且，設，則的最大值是_【答案】【解析】建立如圖所

7、示的直角坐標系，其邊長為2，則，所以，由，得，解得其中，所以，令，則，當且僅當時，即時取等號，所以的最大值為故答案為：【題組二 加減數乘的坐標運算】1（2020蒼南縣樹人中學高一期中）已知，則向量為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可得.故選：C.2（2021江蘇高一）已知點，則向量的坐標是（ ）ABCD【答案】B【解析】點，則向量,故選：B.3（2021湖南）已知中，對角線、交于點，則的坐標為（ ）.ABCD【答案】B【解析】，根據平行四邊形法則可得，則，故選：B.4（2020山西省古縣第一中學高一期中）已知，若，則等于（ ）A(1，4)BCD【答案】C【解析】，若，可得：.故選：C.5

8、（2021湖南）已知=（2，1），=（-3，4），則-=（ ）A（5，-3）B（-1，5）C（-3，5）D（-5，3）【答案】A【解析】，故選:A.6（2020株洲市南方中學高一期末）已知點，向量，則向量（ ）ABCD【答案】A【解析】由題意，故選：A7（2020甘肅白銀市高一期末）設，則等于（ ）ABCD【答案】B【解析】故選：B.8（2020桂陽縣第二中學高一期中）已知，則（ ）ABCD【答案】B【解析】因為，所以，故選：B.9（2020平涼市莊浪縣第一中學高一期中）已知點，向量，則向量（ ）ABCD【答案】B【解析】設，因為，所以，可得，解得，可得.所以.故選：B.10（2020河北唐山

9、市開灤第一中學高一期末）若，則等于（ ）ABCD【答案】A【解析】依題意.故選：A11（多選）（2020湖北潛江市高一期末）已知在平面直角坐標系中，點，.當是線段的一個三等分點時，點的坐標為（ ）ABCD【答案】AD【解析】設，則，當點P靠近點時，則，解得，所以，當點P靠近點時，則，解得，所以，故選：AD【題組三 共線定理的坐標運算】1（2020新絳縣第二中學高一月考）已知，則與向量共線的單位向量為（ ）A或B或C或D或【答案】B【解析】因為，所以向量，所以與向量共線的單位向量為或.故選：B2（2020全國高一單元測試）設向量=(1，4)，=(2，x)，.若，則實數x的值是（ ）A-4B2C4

10、D8【答案】D【解析】因為=所以=(3，4+x)，因為，所以4+x=12，得x=8.故選：D3（2021湖南）已知，且，那么（ ）A10B5CD-10【答案】D【解析】由于兩個向量平行，所以，解得.故答案為：D4（2020全國高一）已知向量，且，則m的值為（ ）A1BC4D【答案】D【解析】由題知，因為，所以，從而.故選：D5（2021廣西南寧三中高一期中）已知向量，且A，B，C三點共線，則k的值是（ ）ABCD【答案】A【解析】，.因為A，B，C三點共線，所以共線，所以，解得.故選：A6（2020合肥市第六中學高一期末）已知向量，若與共線，則（ ）AB3CD【答案】C【解析】，若與共線，則，

11、即故選：C7（2020武漢市第三中學高一月考）若向量，則與共線的向量可以是（）ABCD【答案】B【解析】故選B8（2020山西忻州市忻州一中高一期中）已知向量，則與共線的單位向量為( )ABC或D或【答案】D【解析】因為，則，所以，設與共線的單位向量為，則，解得 或所以與共線的單位向量為或.故選：D.9（2020浙江高一期末）已知，則與平行的單位向量為( )AB或C或D【答案】B【解析】，則與平行的單位向量為，化簡得，或故選：B10（2020北京高一期末）如圖，在中，.若，則的值為_，P是上的一點，若，則m的值為_.【答案】 【解析】如圖：在中，.所以：，故.由于點BPN三點共線.所以，則：，

12、整理得：，故：.所以，解得.故.故答案為：；.11（2020浙江高一期末）已知點.若，（1）當點在第一、三象限角平分線上時，求的值；（2）當點為一平行四邊形的四個頂點時，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）點在第一、三象限的角平分線上，可設.，.，解得；（2），則，所以當點為一平行四邊形的四個頂點時，這個四邊形必為平行四邊形，.12（2020廣東韶關市高一期末）設非零向量，不共線.（1）若，且，求實數的值；（2）若，.求證：，三點共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】解：（1），且，故，即實數的值為：；（2）證明：，.，即且有公共點，故，三點共線【題組四 向量與三角函數的綜合

13、運用】1（2020平涼市莊浪縣第一中學高一期中）若且/,則銳角=_ .【答案】【解析】/,，又為銳角，故答案為：2（2020江西贛州市高一期末）已知為單位圓，A、B在圓上，向量，的夾角為60，點C在劣弧上運動，若，其中，則的取值范圍_.【答案】【解析】由題意，以O為原點，OA為x軸正方向建立直角坐標系，如圖所示：由題意得：，則，設點，則，因為，所以，整理得，因為，得，所以，即，所以的取值范圍為.故答案為：.3（2020云南保山市高一其他模擬）已知平面向量，（）若，求的值；（）若，求的值【答案】（）；（）【解析】（），即，；（），則，.4（2020定邊縣第四中學高一期末）已知向量，.（1）已知，

14、求點坐標；（2）若，求的值【答案】（1），（2）【解析】（1）設點坐標為，因為，所以，因為，所以，解得，所以點坐標為，（2）因為，且，所以，所以，所以，所以，【題組五 奔馳定理解三角形面積】1（2020江西）在中，D為BC的中點，P為AD上的一點且滿足，則與面積之比為（ ）ABCD【答案】B【解析】設的中點為點，則有，又，所以，則點在線段上，因為D為BC的中點，所以得點為的重心，故與面積之比為.故選：B2（2020河北）已知所在的平面內一點（點與點，不重合），且，則與的面積之比為（ ）ABCD【答案】A【解析】根據平面向量的線性運算，由，所以，設線段的中點為，線段的中點為（如圖所示），所以，可

15、得，所以點為的中位線的靠近點的三等分點，所以，所以，即與的面積之比為.故選：A.3（2021山東）若點是所在平面內的任意一點,滿足,則與的面積之比為ABCD【答案】A【解析】取D,E分別為AC,BC的中點,由可得(,則,所以,所以與的面積之比為.故選A4（2021全國）已知所在平面內一點，滿足，則與的面積的比值為（ ）ABCD【答案】C【解析】如圖所示,所以,即,所以,設和的中點分別為,則由可得,即,即點是的中位線上靠近點的三等分點,所以,故選:C5（2021遼寧沈陽市高一期末）已知點在正所確定的平面上，且滿足，則的面積與的面積之比為（ ）ABCD【答案】C【解析】因為，所以，即點在邊上，且，

16、所以點到的距離等于點到距離的，故的面積與的面積之比為.選C.6（2021廣東潮州）如圖，為內一點，且滿足.則的面積與的面積之比為（ ）.ABCD【答案】D【解析】如圖，設，則.由平行四邊形法則知.過點作的平行線，分別交于點.則與邊上的高之比為（或），設為，故.由相似三角形的性質得，即.從而，.所以，.解得（舍去），.選D.7（2021廣東湛江）已知點是所在平面內一點，若，則與的面積比為（ ）A B C D【答案】A【解析】在線段上取使，則，過作直線使，在上取點使，過作的平行線，過作的平行線，設交點為，則由平行四邊形法則可得，設的高線為的高線，由三角形相似可得，與有公共的底邊，與的面積的比為，故

17、選：A8（2021湖北）已知是所在平面內一點，若，則與的面積的比為（ ）A B C D【答案】A【解析】在線段上取使，則，過作直線使，在上取點使，過作的平行線，過作的平行線，設交點為，則由平行四邊形法則可得，設的高線為，的高線，由三角形相似可得，與有公共的底邊，與的面積的比為，故選：A.9（2021河南）已知點為內一點，且滿足，設與的面積分別為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】延長OC到D，使OD=4OC，延長CO交AB與E，O為ABC內一點，且滿足，O為DABC重心，E為AB中點，OD：OE=2：1，OC：OE=1：2，CE：OE=3：2，SAEC=SBEC，SBOE=2SBOC，OBC與

18、ABC的面積分別為S1、S2 所以故選B10（2021廣東梅州）已知點是所在平面內一點，滿足，則與的面積之比為（ ）ABC3D 【答案】C【解析】如圖，延長交于，則，因為三點共線，所以即，所以，則，故且，又，故，所以，所以，所以，故選C.11（2021寶雞中學）已知O為所在平面內的一點，且滿足，則的面積與的面積的比值為（ ）ABCD【答案】A【解析】由得，故在內部，如圖，取中點，連接并延長至，使得，則四邊形為平行四邊形則，又因為，所以、三點共線且，即為的重心所以，故選：12（2021遼寧 ）已知為三角形內一點，且滿足，若的面積與的面積比值為，則的值為 （ ）ABCD【答案】D【解析】由題意得，故選A13（2021北京）如圖，設為內一點，且，則與的面積之比為ABCD【答案】A【解析】如圖，作交于點，則，由題意，且，所