1、 第一章變分法第一節問題的性質（動態優化簡介）一、靜態優化問題如果一個企業耍確定一個最優產出水平T以最大利潤F（X）：nxv0F（x）（1）這樣的問題的解是一數，即確定選擇變量的單個最優值。通常有一階條件FX）=Oo芳否雄畝爭緲白勺吋回就足勿杏回邂。考慮企業的多期（niultipenod）問題：T/=i兀（/=0,1T）描述的是每階段的產出組成的序列，即給出了一個產出的時間路徑。顯而易見，利潤不是由單期的產出決定，而是由整個的產出的時間路徑確定，所以耍使利潤最大化，實質上是要找到一條最優的路徑（而不是單個期的兀）。但由于/期利潤只與f期的產出有關，所以耍在整個時間序列內最大化利潤，就只要分別在

2、每一期最大化利潤即可（這一問題似乎是一種沒有資本的很簡單的生產活動）。即這一個問題的解是一個有T個數的集合，Z,x/o所以由丁作到一產量只影響該期利潤，問題（2）實際上是一系列的靜態問題，即在每一期選擇當前產量使該期利潤最大化?？捎蓄愃频腡個一階條件。各期的一階條件之間沒有聯系。二、動態問題具有動態性質的問題是，當前的產出不但影響到當前的利潤，還影響到未來的利潤。工尸（匚兀，兀/=!給定或X(O)=x0 x0,/=1T(3)這個問題中，每一期的利潤不但取決丁當前產量，還與過去的產量有關；換句話說，f期選擇的產量兀不但影響/期的利潤，還會影響到以后的利潤。注意,上述問題中已指定了兀，因為兀影響到

3、了以后的利潤（即總利潤）。問題（3）與問題（2）不同，它的最優解的T個一階條件不能分別確定，而是要同時確定，也就是我們實際上要仗性：硒疋：條垠蝕陽企每產出一路徑對應一個利潤（目標值），這種路徑（而不是單個值）與到實數之間的映射關系叫泛函。在動態優化中，我們處理的問題的目標函數通常是泛函形式，稱為目標泛函。簡而言之，函數是值到值的對應關系，而泛函是路徑到值的對應關系。問題（3）中，我們假設了一個給定的初始點，即初始時間給定，且初始時刻的產出（狀態）已知。注意初始點有申彳、纟典廈：呼回歹伏苓。有時終結點也給定的，即已知結束的時間與狀態。三、連續時間情形問題（2）與（3）的連續時間對應物分別是問題（

4、4）與（5）：maxf7F（t,x（t）dtstx（t）0（4）JomaxF（f,x（f）,乂（f）dfstx（t）0,x（0）=x0（5）和前面一樣，只有（5）才真正具有“動態”性質：即現在與將來相關。注意（5）中是以尢作為自變量，而（3）中是兀t，其原因在于在連續時間下以前時期”沒有明確含義，所以用狀態的變化率來表示這種動態性。四、問題的不同形式我們后面處理的動態優化問題都是連續的形式（離散時間問題的處理都可用拉格朗日方法）。動態優化問題會因端點（起始點與終結點）不同而所有不同。一般經濟學中遇到的問題都可認為起始點設定，下面我們討論不同終結點的變形。圖1表述的固定終結點的三條不同時間路徑A

5、、B、C,目標函數是不同路徑的泛函。這個問題中，終結點已知，時間為T,狀態為Z,即x（T）=zo（圖1、圖2、圖3、圖4略）圖2：垂宜終結線（固定時間）問題；圖3：水平終結線，圖4：終結曲線。圖2、3、4中，終結點要白由一些。圖2中終結的時間已限定，但狀態可H由變化；圖3中相反；圖4中時間與狀態均未限定，但兩者有一個約束條件Z=0（門。這三種形式的問題中，對路徑的選擇比前而更H由，所以為了推導出最優的目標值，耍對路徑選擇加以限制，即以一個附加條件來確定所選的確切路徑。這個條件就是（TVC）,它描述的是最優路徑如何跨越（穿過）終結線。在固定終結點問題中已知了這樣的條件，而可變端點（即終結點）時，

6、耍推導出一個條件。五、三種處理方法總體來說，有三種常用的處理動態優化問題的方法：變分法、最優控制和動態規劃。1、變分（vamuion）是指狀態的整個路徑的變化（如產出兀的變化）。變分的基本問題如下：njax（niin）Vy=Ft,y（f）,$的（6）sty（0）=Ay（T）=Z（A,T,Z給定）推導的思路（和靜態優化一樣）：假定己找到了使目標值最優的路徑（極值曲線產，給它一個很小的擾動G應有只不過這里擾動的是時間路徑。ds變分法的特點：H接從狀態入手，即路徑入手；耍求進入問題的函數可微；處理角點解問題不方便。2、最優控制最優控制的基本問題為：(7)sty=f（t,y,u）y（0）=Ay（t）H

7、由（A,T給定）（7）與（6）不同：進入目標函數的不是y,而是“。是控制變量，控制了y的變動。方程y=f叫運動（轉移狀態）方程?；拘问街衴（T）H由，原因后述。最優控制問題導求解決問題的思路是試圖找到最優的控制路徑而不是狀態路徑。與變分法另有不同在于：“可跳躍，所以最優控制是變化的擴展，但更肖觀，y只耍連續但），可以只耍求分段可微；處理角點問題方便些。三、動態規劃動態規劃一般處理離散、不確定性問題更方便。它關注的是最優值川，尋找在不同階段不同狀態達到最優值的方法，即策略函數（最優）。基本方法是將最優化問題嵌入丁一系列的優化問題之中，運用迭代的方法找到最優值函數和最優策略函數，思想為最優性原理

8、：如果找到了最優路徑A、D、H、J、Z,則從D到Z的最優路徑一定是D、H、J、Zo以某人的婚姻生活為例：如果從一生來看A、D、H、J、Z最優，則只耍你已與D結婚，D、H、J、Z就最優的。（注意，如果從C出發到z,可能是（F、I、Z最優）。第二節變分法的基本問題歐拉方程歐拉方程描述的是動態的一階條件（如果是離散的，則是跨期一階條件）,即“相鄰”時間的決策最優化規則。變分法最基本的問題如下：nxVy=Ft,y,ydtsty(0)=Ay(T)=z(A,T,z給定)y必是連續可導的，F二次可導的。一、歐拉方程的推導：假定才是極值曲線，有一個任意的擾動曲線必）和）確定八其中是很小的數。p(o)=p(D=

9、o由(2)得到：y=f+p(1)V-最大值。由不同的w確定了不同的y,可將V看作是f的函數（不是泛函）dv|g=0小,有汩_=0（這就是最優化的一階條件的思想，動態與靜態都一樣）?！静襟E1】：（表述v）FRFdydFdV、g荷無劉=I：FM+：FM=O【（2）、（3）式對求導】即：=o【步驟2】：（消除p）(4)【回憶分部積分公式Cvdu=vub-Cudv】JaQJ“用分部積分公式表述（4）中的后一個積分F、.pdtd,三-dt=l.dtdtdtdu=pdtJvdu=jF、pdtVW=FPudv=pFydt由此可得：,刑=訶-J：p壬=-J；pF,dt【因為P(O)=p(T)=0=心刃：=0所

10、以優化問題的一階必耍條件變成了:%=O=F,pdz：FMJ：p軌加【步驟3】：消除卩由于是任意給定的一個函數，所以上式等于0必定與P無關，即Fy一羋dt必等于Oa【引理】：對于g(f),如果g(/)p(f)d/=O,對于任一卩成立(P如我們上述定義),則有g(f)=O。TOC o 1-5 h z由此得到代-羋=0(6)dt此即歐拉方程(re0,7),它的微分式積分形式：F,=fFydt(7)展開形式：FQ+尸+4-耳=0(8)微分式和積分式好記，但展開式計算不容易錯。二、例題【例2-1：求極值曲線yy=(12fy+y2)dts.c.y(0)=0,y(2)=8F、.=12,代=2y，4-Fv=2

11、y,2y-12t=0at解：=y=3t2+c,=y*=/3+c/+c2再由兩個己知條件確定q=c2=0=y*=/3【例22L求最優路徑:Vy=3f+C/)亍dtsty(l)=3,y(5)=7：F=3f+(刃2ii_2=F、.=0,F.=(刃2,F.=才(刃2,Fy.=Fly=01丄-和刃2y(O=o4由展開式得到：=y=o=y=q=y0=qf+q由初始條件求得：q=l,c2=2=y*=/+2【例2-3】：求極值曲線5Vy=t+y2+3y)dt0y(0)=0y(5)=3：F=t+y2+3yf=2yFv.=3由微分式得=0=2y=0=y=0dt這與y(5)=3矛盾，此問題無解例2-4：vydty(

12、0)=2y(T)=PWII歐拉方程成立，實際上上式可氏接積分:yy=ydt=y # #V的值與路徑無關。注意：如果F對y是線性的，可能出現上兩例中的情況無解或總是成立。原因在于，如果F對才是線性的，歐拉方程不是二階微分方程，可能是一階的。但是兩個初始條件可以確定兩個積分常數，但是通解沒有兩個常數，所以通解除非很特殊地通過了端點，否則不能成為極值曲線。這樣的問題出現在兩個固定端點且目標函數F對臚是線性的。三、經濟學的例子與“無套利條件”【例2-5】、生產與存貨決策企業在T時交貨B,要求成本最小化。成本來兩個方面，一是存貨成本c2x(/),x(0是到/時已生產的產品數量即存貨，q是其單位成本；二是

13、生產成本,字=心)是/時的產量，生產成本q卜2即二次型的。 # #stx(0)=0 x(T)=BFx=ciF產2c/歐拉方程：F嚴與K=2cX積分：x(t)=仝-二+燈+饑由邊界條件決定K和/x(t)= # # # #歐拉方程的解釋(無套利思想) Ci是存貨的單位成本，qx0)是生產成本，2q#是邊際的生產成本，2qx是生產邊際成本變化率(對時間的)，這樣，歐拉方程說的是，生產的邊際成本變化率與持有存貨的成本相一致。進一步的，積分：J2cds=Jc2dsa2qx(f)+c2=2c1x,(/+)。左邊是在f時生產一單位并持有時間的邊際成本，右邊是在f+時的邊際成本。這個式子說明，均衡時，在f時生

14、產與在f+時生產應無差異，消費者不能從改變生產時機中獲得額外的好處。【例2-6】：J：er,u(c(t)dtik(t)+vv(r)=c(t)+k(t)K(O)=KK(T)=Kt消去cFk=er,u(-)iFk=d()(/(“()=at這就是歐拉方程積分:eu(t)=j+7ersuc)ids+er(,+A)uc(t+)左邊：/期消費的邊際效用右邊：單位消費被推遲獲得利息增加的消費效用十單位消費H身在推后獲得的效用。上例中，展開歐拉方程得到：-(e-u,c,-re-u,)=re-r,uiru-unc=ui-mV=u*(i-r)-uc.=i-ru第三節某些特殊情形的求解歐拉方程目標泛函被積函數的一些

15、特殊情形下的歐拉方程求解更簡潔。一、情形1、F=F(t,y)dFclF由微分式代-于=0由于F中無廠所以=常數。dtydt【例3-1】vy=J；(少+臚詡,y(o)=y(i)=iFf=f+2#=q得到通解+在由邊界條件確定兩個常數得到：y*=r2+丄f+144練習：(3x-tx)dtJfo答案：(Fr.=3-2tx=cQ=x=c1lnr+c2)二、情形2、F=F(y,y)由展開式=刁=0Ft.=0=FQ+FQF=0兩邊乘以y:yF.yy+F_yy-yFy=0o左端正好是F-yF.對時間的導數d(yFy-F)-It上式左邊:=d(肉-F)=(迅)dF(y,刃dtdtdt=yy+yyyy+心刃-$

16、+心刃=7(耳/+耳*-尸、)=0所以F-yF,.=常數【例3-2丄Vx=J：2空1+(x)22J/S.t.x(to)=A-ox(/j=耳定義F=xl+(x)2?,2龍與最優性條件無關。F.=xr7l+(x)21iiF一xF.=xl+(xr)2T-x(x)2/1+(#)嚇=c丄x=cl+(x)2J2x2=c2+c2(x)2(x)2=(x2-c2)/c2X1=+yjx2-c1/c由于對稱性我們處理正根：dx/ylx2-C2=dt/c積分得到：ln(x+/x2-c2)/c=(t+k)/cx+y7=ce(,+k)/c求出x的表達式：X-yjx2-C2=(X-y/x1-C2)(X+-Jx1-C2)/(

17、X+lX1-C2)=x1-(x2-c2)/(ce(,+k)/c)=c2/(ceu+k),c)=c嚴火將這一結果與上面的相加除以2就可得到：“*(嚴+嚴切)三、情形3、F=F(y)y=0y是直線嚴常數=氏線(下面的一種情況是由丁函數中只有y,心=0意味著解是y的特定值，即y等丁一個常數)【例3-3】：Vy=(1+y2r2dt,y(0)=4,y(T)=Z它的解是由邊界條件確定的直線/=c/+c2如果按照公式求出的話，Fv=0dFJdt=0F.=y/(!+y2)12=c,有y=c/(l-c2)1情形4、F=(/,y)F,=O=Fy=OVx=J/(*一處M，馳。)=xx(fJ=X第四節、二階條件和靜態

18、優化問題一樣，一階條件只是說明了極值的特征。當然，在動態優化問題中，歐拉方程是動態的一階條件。對于許多問題而言，找到一階條件似乎就是夠了。如果要識別出是極大(最大)還是極小(最小)，則耍用到二階條件。動態的二階條件與靜態的類似。如果F對于(”刃是凹的，則歐拉方程對T識別sty(0)=Av(T)=z(A,T,z給定)Vy的一個最大值是充分的；反之，則是最小值。這是全局意義上的凹性。這一點可以通過二次變分推導出，其中凹性的判斷用線性代數的知識是比較方便的。在局部意義上，勒讓徳必要條件可以用來區分極大值和極小值最大化VyF.0fe0,T注意中的條件是必要條件，它只識別極大還是極小(局部)，不一定確定

19、最大最小，所以=不可逆。例如，前面的例2-5中stx(0)=0 x(T)=B所以求出來的確實是極小(最小)値。第五節可變端點的橫截性條件終結點可變(回憶一下，有三種基本形式)歐拉方程和前面的一樣，只是多了一個橫截性條件。初始點可變和終結點可變一樣處理，在經濟學中初始點可變似乎沒有什么意義。一、一般橫截性條件的推導nnxVy=Ft,y,ydts.t.y(0)=Ay(T)=“(4給電丹,7H由)推導：假定廠是最優終結時間，有一擾動曲線(f)T=r+TaT是任一預選的時間變動量dT_Ty(f)W)+$p(f),y=f+cp L4由Tyrf由、“(0)=0,但卩不一定為0。【步驟1】(表述V打對的導數

20、)dV7dFr.dT前而推導基本的歐拉方程時有如下結果竺恥(蘭型+互角力Jodsodyds那dw訂：(F+FPW=IFypdt+J：F、P心:Fypdf+陰：-P什F、dt=1：F，PdT：P%FQ上面dV表達式中的第一部分與前面推導基本歐拉方程是一樣的(第二步),只是在這里，F、p；不為0,而是等于F,|,=rp(T),因為P(T)工0,所以薯的7*ZJ廠第一部分(積分部分)=p(t)Fy-力+F,p(T)Jodt1-第二部分為Fi=rT。和前面一樣薯=0有最優性條件：3)卩各*耳LP(T)+FLN=0【步驟2TVC上式第一部分中卩任意，而后兩項中都通過任意的T有一定的聯系。由于P(/)與P

21、(T)T沒有聯系，所以耍使上式成立，前一部分和后兩部分必須分別為0,前一部分為0即為歐拉方程。后兩部分通過T發生聯系為0可以推出橫截性條件(TVC)o我們下面的目標是要消除卩(門，即以和丹來表示p(T)o(圖形略)AZ是AZ加上(f)而得(假定為1,這對結果沒有影響)。由丁-T增加了=1),4Z延伸到4Z,y的位置升高yr=p(T)+y(T)T,(T)aT是近似的，當很小時可用等號。=p(T)-y(T)T=(*-則)+丁=尸-肉丄嚴+&L丹=上式即為一般TVC。二、TVC特例：A、垂肖終結線(固定時間水平問題)T固定可得=0所以F-)F,/=raT+耳丄丁*=為F,1=0L、Jz=r這有時乂稱

22、為h然邊界問題。b、水平終結線固定*=0尸一ML=0一個解釋：若F為利潤，y為資本存量，y表示投資，耳一單位獲得的利潤(即一單位資本的影子價格)，也就是持有單位資本而不進行投資的代價，A部分的條件說明，如果企業在某一時刻T關門，則持有的資本的價值應為0,通常應就是將資本用光。B部分：F為在y給定時投資y的當前利潤，為未來收益，若T時終結,則要損失)化.，所以F-yFy表示在終結時留下資本y的總利潤。B部分的TVC告訴我們，給定yr=Z的值，我們應選擇一個適當的T,使得留下的資本不能獲利，即利用了所有的投資機會。C、終結曲線z=(T)=yT=yT=T有F-yFy+Fyi=T=0D、截斷垂宜終結線

23、（T固定，丹1兒）最大化：尸丄,0,yTy,（yT*-）3心寸=。最小化：耳可0,）贏,（“*-）監）=這是乂KT條件得到的結果。E、截斷水平（“固定，TWTJ最大化:最小化:尸一鞏丄7，DVT；T*-T_F-yF,f=7.=0F-yFv；=r0T*a-1y=/+1從二階必耍條件可以判斷這(可能)是一個最小化問題的解?！纠?2】q+c2x(t)dtx(0)=0 x(T)=B(T可變)歐拉方程：雙/)=竺+燈+人橫截性條件：F-xF.=0=q/2L=c2x(T)人=0 x(0)=0 x(T)=B=R,=0,T=2(4亍第六節無限計劃水平（期界）耍點：無限計劃水平時，歐拉方程同前。TVC為:上式兩

24、項分別為0,有lim（F-yF.）=0無限水平的TVC（狀態固定）f-8InnF,=0（H由終結狀態）f-8如果已知y”則lm】y（0=兒這是）Q）=乙在/ts時的版本注意：fTs時的積分收斂問題。一般在經濟學中帶有貼現因子且F有界，這不是一個嚴重的問題。在理論上，無限計劃水平（InihuteHo門zon）的TVC尚存在一些爭論。經濟學中一般出現的是無限IH治問題，廠尸（x；f）df這類問題隱含著一個終結狀態一穩態心，找到心（有時用經濟推理得到），用（1）代替TVC?！纠?-1】Ramsey問題:jnaxu(c)efitdtk=f(k)-nk-cR(0)=k。化成熟悉的形式，上面的問題實際上是

25、：maxuf(k)一nk-kefi,dtR(0)=k0歐拉方程：c=-f-n-p)u如果T已知，k(T)由，則橫截性條件為：FI=一。-爐=0=kt=T/=Tf=T如果T已知，k(T)0，則橫截性條件為：L0,FI=一心s0,則橫截性條件為：limuefiTkT=0T-co但是由丁有穩態lun(r)=*,lunc(r)=c*,上面的橫截性條件多余，沒有什/-CO/-CO么意義了。這時充當橫截性條件作用的就是hmk(t)=k一8第七節多個狀態變量多狀態變量的問題不會增加多少理解上的難度，只是對每一個狀態變量都有一個歐拉方程，從而形成歐拉方程組而已。v)l,兒卜尸(5兒九)力歐拉方程組F、.廠錚=

26、0i=ldt第八節約束問題約束則是一個真正的重耍問題。理解耍點在?。杭s束改變的首先是歐拉方程,一般形成拉格讓日方程。和靜態中的一樣，用拉格朗方法處理約束問題。(如下省略邊界條件）。-、等式約束（約束中沒有微分形式）只有狀態變量且加VVI厶=尸+工f=l目標泛函中以厶代替原F即可d厶.L=0=dtS_gf=0二、微分方程約束約束方程中含有項，同上處理三、不等式約束誌心兒九）已注意是兒九）5歐拉方程與等式約束無異，另外加上互補松弛關系：=o四、等周約束等周在資源萃取問題中很普遍。s.f.Gpj九,）yn）dt=九,）兒）dt=kntLWG（2=常數）【例8-1】nimf7（l+y2+，2）1/2J

27、o0（0=0L=F+兄(f)(0_0)=F_20仏vjT=00=0由此可以求出狀態變量和拉格讓日乘子?！纠?-2最大化：V刃=J；ydfS/J：(1+y1)12dt=k解略。第九節殘值問題(SalvageValue)殘值問題乂稱Bolza問題，形如：G4，xJ已給立sg)=f耍點：加上殘值對歐拉方程沒有影響，仍為F嚴鳴。dt咚些0勺足T：若x(fj自由,人給定F.+Gv=0若伯由,x(/J給定F-xT.+G,=03；(3)yT=5,Tfreeo13、y(0)=0,y(l)=2 L4第二章最優控制第一節最大值原理概述在變分法中，首要關注的是最優狀態路徑yt),由它確定最優值；在最優控制中，尋求一

28、個控制變量的最優控制時間路徑:而動態規劃關注的是最優值函數U*,通過它尋求一個最優策略函數，即控制對狀態的反應w*(a)o后者在離散與不確定性問題中更重耍。一、最優控制的最簡單問題最優控制的最簡單問題是：maxV=F(t,y,u)dty=f(t,y,u)y(O)=A(T)自由(47給定)(有時也指定U的變化區域)UG說明：與變分法不同，這里的y(T)是H由的，因為推導過程中，我們是使(/)(而不是y(f)任意變化來找到最優值，如果限定了y(T),“不能真正任意變化。當然，這只是肖觀上增加了我們的理解，對于數學推導來說，不是很大的問題。但是，從這種情況推導更簡單、直觀。與變分法不同，y不要求全局

29、可微，分片可微(Piecewise)B|J可。只耍求分片連續。選擇的變量是“，可虛接處理”的約束問題，并且容許拐角解。二、共態變量兄(或協態變量，costatevariable)和漢密爾頓函數H問題的求解中我們耍用到一個關鍵的方程即漢密爾頓函數H：H(t,y,u,2)=F(t,y,u)+A(t)f(t9y9u)2是一個動態的乘子函數2(/)。實質上就是動態的拉格朗日乘子，所以具有與拉格朗I乘子同樣的含義。三、最大值原理的表述我們先給出最大值原理的結果，熟悉了以后再來推導與解釋。u/e0,T.dHy=dAb的運動方程adHx=dv%的運動方程A(T)=0TVC以上條件有時依次被稱為最優性條件、可

30、行性條件、歐拉方程和橫截性條件。四、例題【例1-1求下而的動態優化問題niaxV=(l+ir)2dty=Uy(O)A,y(T)自由，給定)解：1H關于非線性，且“未指定控制域，所以肯定H=-(1+u2)2+Au是內點解，竺=0適用。du-=-(1+M2)2(2)+2=0=2=w(l+w2)n加=m2(1+m2)-1n加+A2ir=u2_1a爪(1_加)=加=u=2(1_加)右y=0二久=常數dATVC:A(T)=0n才(f)=0,蟲0,T=w*(/)=0y=m=y=0=y=常數y(0)=A=y*(/)=A【例2-2】本例說明不能用豈的情況。diiniax(2y-3u)dtsty=y+(p,y(

31、0)=%y自由川e0,2H=2y-3u+A(y+u)=(2+兄)y+(兄-3)H關于”線性=/l-3,若23,貝九最大時H最大；(W*=2)反之，若duA39U最小時，H最大(/=0)。即w*(Z)=0A2+Q=_2(/)=S_2dy9r由A(T)=兄(2)=0二R=2,二才2于-2r(t)是減函數,2*(0)=2e2-23從遞減到才(2)=0u在2*(0=3時，從/=0,令此時的心r,3=2嚴_2nf=2_ln2.5最優控制分成兩段(相)K=M1，2)=2u*=w(r,2=0解這時的最優狀態路徑復雜一點：0,r).y=y+u=y+2y=k、d-2,y(0)=4二R=6y=2(3,-1)yr=

32、2(3e2_/fl25-1)=6e2-17在億2y=y+u=y=y=k.e1初始值y(/)=6,-17即宀772.5+臺課堂練習：Jiiax(x+u)dts.t.x=1-u2,x(0)=1Jo五、變分與最優控制的比較變分法與最優控制實際上是致的。下面以一個特定的例子來說明。變分法nnxV=rF(r,y,刃力y(0)=A,y(T)由(A7給定)它們的解分別為：變分法最優控制maxV=F(t,y,u)dts.t.y=uy(0)=A,y(T)H由(AT給定)最優控制dF,F.|/=7,=Otvc心0=0=F+Adu(1)dH)T=dA.dH廠兄=-可=代dyrA(T)=0TVC乞“A0/-j=0=J

33、：4/-刃df=0。注意這里f-y的順序，顛倒這個順序對求解沒有什么影響，但是對乘子的解釋有影響。新的目標泛函yV=V+7Af一刃dt=F+a(f-y)dt只耍y=/則y=V這實際上是拉格朗口法，所以這里的乘子本質上就是拉格朗日乘子，具有與拉格朗口乘子同樣的解釋，即影子價格。定義H=F+Af=v=2y)df=Hdt一Aydt對后一部分分部積分得到：T0=)yT+2(0)兒+J：yAclt將這一結果代入上式新的目標泛函得到：v=(/+y)dt-A(T)yT+A(0)yQQ；【第二步】：條件j=的推導dA只要y=f成立，則拉格朗口乘子對新的泛函值不產生影響。這個條件實際上是運動方程的重述，沒有什么

34、新的?！镜谌健浚鹤兎?L4假設最優路徑為現有擾動路徑p(f),(/)=/+可兒固定p(t),每有一“，同樣產生一個廠M)=)廣+岡。若T和可變，有:T=T*+sT,yT=yT+sAyr由上式得到：dTdyTdsde這實質上就是變分的思想。和推導變分的一階條件一樣，這里也要求一階條件:dvLV=1(Ht,y*+Eq(t),u+sp(t)+坯)廣+wqd/Jo(T)yT+2(0)y?！镜谒牟健浚河闪d=o得到所有的必耍條件。as上式中積分式的導數(對)為：JodHdHq+pdydu9T+Xq/+/+上而：隹叫+dsdydu-兄(T)“對的導數為：./T.dyTdA(T)dT_i/TTT萬匚一dTd

35、s=一兄()y7(r)AT最后一項2(0)y0對w的導數為0牛=3as中=A(T)yiATasrrdH.dH口z=7.AT-2(T)AV=0p、q、貞、兒任意，這耍求上式三個部分分別為0。進一步地:(1)上式中被積的兩部分分別為0。 L4adHgdHAA=和=0內du(2)-2(7)=0B卩；(3)在我們的問題中，T固定AT白動為Oo所以第二部分自動為0,而無須其他條件。第三節其它終結條件與充分性一、TVC1、固定終結點沒有橫截性條件，以y(T)=yT代替(T和丹給定)2、水平終結線(時間自由而狀態固定)由前而推導可知，日口.=0即沒密爾頓函數必須在最優終結時間達到0,對丁-T時的兄無限制。3

36、、終結曲線yr=(T)町彳AT-A(T)(T)AT=H-吶寸AT4、截斷垂直終結線(T固定，丹自由但yr_ymn)(T)0,丹血,(丹-兒=0(互補松弛條件)有時會遇到約束”廠(0,則橫截性條件是yrA(T)=Oo若丁則楓(片-滄)2(705、截斷水平終結曲線()*固定,幣由,70,7=丄兄;二2二一兄=2=ke例：u=0y=y+Uy-y=片加=y=十也1-1Jrfdtdt=ec+町廣df)=R=cel-ke4y(0)=1,y(l)=0=3,這成了截斷垂直終結線。二、充分性以上所給的條件是必要條件。我們由如下的充分性定理曼加薩林定理:基本問題中，如果（1）F和/可微且關于（”）都是凹的，且（2

37、）在最優解中若/關于或非線性，如果/關于）或關于線性，2的符號任意=必耍條件也是充分的。注意：我們常常用到一個二階必耍條件：對于JJiaxH,有一個二階條件IIH腫0。充分性條件在經濟學中似乎是不太重要，因為我們一般設定使得以上成立。再例：Rajnsev模型（略）第四節經濟解釋最大值原理的每一必要條件都可得到經濟解釋，富有經濟含義?？紤]這樣一個問題：企業在時間0,T上最大化利潤。狀態變量為資本存量K,控制變量代表可能作出的決策（如廣告、存貨等）初始K為K。，K（T）未定，每一時刻利潤依賴于當期K和u,龍（f,K,“）。最優控制問題為：j）iaxII=TJoS.t.Xy（f,K,“）,K（0）=

38、Ko，K（T）自由,（K,T給定）一、共態變量作為影子價格2（/）實質上是拉格朗乘子（見前而的推導），而拉格朗乘子都可解釋為影子價格，所以這里2表示每一時刻一資本的影子價格。如（詳細推導見Kanuen和Schwontz）：n*=/*+KF彈-/TyK；+才心這樣，在2時，如果K。增加一單位，則利潤增加入。在終結時（T時），如果多持有一單位資本，則利潤損失禺。對于中間的任一時刻，才都有同樣的解釋，即影子價格。注意：推導過程中，從數學角度看，寫成A（f-K）與趙-f）無差異，但若賦予經濟學含義，應寫成心心,否則2成了負數，即影子價格的相反數。二、漢密爾頓函數和利潤前景單位時間內，資產產生的當前利潤

39、增加了資產的總價值，資產本身價值的變動也能增加資產價值。資產本身的價值變動可能源丁持有資產數量增加，也可能是因為資產價格變動所致（在瞬時意義上，兩個因素的交互作用項可忽略不計，因為是更高階的無窮?。?。例如，你擁有一片具有生產性的土地，一年內它給你產生利潤增加了土地的價值，同時如果土地的而積和價格也在變，這也會增加土地的價值。在這里，企業的利潤（瞬時）龍，資產價值的變化為：d（AK）/dt=AK+KA=AK+fX,前一項是價格變化（K不變）增加的資產價值，后一項是資本數量變動增加的價值，總的價值增量為：7r+Af+AK=H+AK（1）其中H=兀+對由于實現了跨期最優化，所以以任何變動不會引起總價

40、值增量的改變。即（1）式對和K求導為Oo肪乃(T,K,u)+=竺+徹亜+花豈+芯0dKdKdKHs+afs+ak可作進一步解釋。才是不變時的當前利潤，而是由丁導致的k的增加的價值，它可表示（持有資本量的）未來利潤效應，因為資本增加就是為了在將來創造利潤。這樣，H代表了不同“下的總利潤前景。（2）式表明，在最優時，的變動應使總利潤前景最大。進一步地，對當前利潤與未來利潤前景的影響是相互競爭的，即如果有利于，則一般會犧牲未來利潤前景，最優時兩種效應應相互抵消，即竺+型=0。這里分析的是價格不變時dudu控制導致資本存量變動產生的影響。三、運動方程最大值原理中有兩個運動方程，其一是K=ff它的意義是

41、自明的，另一個即為（3）。（3）表明了在最優時K的變動使總價值增加達到了最大。進一步來看，A=這表明資產價格變化應與資對利潤總前景的變化相互抵消，或dK-=,影子價格變動（貶值）速度等丁資本對當前利潤與未來利潤加總的貢dK獻速度；或一久K=%K,最優時，資本變動在單位時間內引起的因價格下降導dK致的損失應等丁利潤的增加。四、TVC（1）在K（T）H由而T固定的TVC為A（T）=0,這說明最優化主體會迫使在終結時點T資本的影子價值為0。為什么呢？“死去原知萬事空”。兄表明的是影子價格，即以最優值（利潤）度量的單位資本的價值。資本的價值對企業而言就是創造利潤，即持有單位資本創造的利潤。由于T時是終

42、結時點，當然就不能創造利潤，所以A（T）=0o進一步地，2亦是指持有單位資本的意愿（即以多少單位的利潤為代價而愿意持有一單位資本），A（T）=0說明，在T終結時優化主體不愿持有更多資本。如果任何單位的K都能產生正的利潤，企業必定會用盡所有的資本。這就好比一個極端IT私的人肯定不會在他死的時刻留下任何價值的東西（如果他確知他什么時候死的話）。（2）水平終結線（心已知，T白由，即終結時間不定，但終結狀態固定）。TVC為W=這表明選擇的=廠應使得當前總利潤前景為0,即到達心時應利用所有贏利機舍，榨干資本上的每一個利潤。如果在到達心時還有利可圖，則不應在這時到達（想象一下包身工，你也許會有更深刻的理解

43、）。（3）截斷垂直終結線（T給定”自由，但藥）。TVC：A（T）0,”）一（門（丹）贏）=0互補松弛條件表明，要么留下的東西無價值兄（門=（”兒-）,耍么沒有留下任何多余的東西。第五節現值（Currentvalue）漢密爾頓函數問題如下：JiiaxvjjG（t,y,u）ep!s.t.y=f（t,y,u）注意:F=Ge標準的H=GeF+對,這是有折現的H。定義新的（現值）拉格朗日乘子加：m=Aep,=2=加H=日嚴=G+mf（=/=HgJ可以從H出發考慮最優化條件。些=0,等價于=0,因豈=匹廠=0dudududiiX単形式不變$=咯dmoA歐拉方程為：dHc八m=+pmadHdHdydyA=心

44、f=2=沁“一pep,m“dHcdsTVC：垂直終結線A(T)=0=fnep,_r=m(T)epl=0A=e水平終結線=0=比廠寸截斷垂直終結線（T固定,“自由，但yTy）A(T)0=m(T)e0.(Y-)贏)廠刃加(門=0特別是，如果匾=0即”0,有治嚴(T)廠7=0第六節無限水平問題無限水平影響的是TVC,而對其它條件沒有影響。冇觀地看，無限水平的TVC可由有限水平的TVC對時間取極限得到，如：時間白由，lini/=0YT8如果終結狀態IH由，UjdA(t)=0A-CO如果有狀態變量的不等式約束，如淪0,WiJlinUv=0,linU0(這是經.v-av-co濟學中常用的TVC)o有時會遇

45、到約束忠三丹廠wt0，則是TVC為InnyTA(T)=0。但是這種直觀推斷并不總可靠：時間總是白由、不固定的，=0要求成立，但不一定是必耍條件。人們已找到了若干反例。在經濟學中，我們遇到的問題一般有貼現項，如niaxjro在有貼現項的問題中，是必要條件。所以在經濟學中，常用的TVC是linUy=0o另外山】山=0,在s總成KT8立，似乎是一個多余的條件，且本身也沒有什么經濟含義，所以一般不用。linUy經濟解釋與有限水平的相似。若是資本存量，則它說明資本價值應.IT8漸近為0o另一常見的例子是山叮加廠=0,這是前一條件的現值H的對A-CO應物。另外，經濟學中的問題，狀態)一般會趨向于某一值，即

46、有一穩態解，形如luny=兒o有時就用這一關系代替TVC(因為TVC實質上就是提供一個邊界條工一8件，如果我們確知最優解趨于穩態，則它也可充當一個邊界條件，見Kaniien)oH控問題的最優H不隨時間變化，所以由=0得H=Oo“T8第七節其它問題一、約束問題約束可按是否含有控制變量分為具有控制變量的約束和狀態空間約束。這里簡單說明前一類種的等式約束和不等式約束。maxI。F(t,y,u)dts.t.x=f(t,y,u)g(t,y,ul,u1)=C這一變形只耍將H擴展到L。L=H+Q(c_g)=尸+2/+Q(c-g)其后的必要條件求解過程中用L代fHBIJ可。不等式約束maxF(t,y,u)dt

47、s.t.y=f(t,y,u)心“，刃no同樣將H擴展為LL=H十M=F+對十“h要求用到k_t條件/z0,/?0,/z=0其它條件同等式約束。二、多狀態變量與控制量的擴展多變量不增加多少難度maxVF(f,%,兒冋，um)dty廣廠(人兒兒皿廠)H=F+pf第一節作業：證明任何時空問題都具有如上性質，即白控問題中H函數值與/無關。喬=百+石”莎+麗兄=0(自控)豈=0或=0(最優條件之一)dH莎亦另兩項抵消=礦0求最優路徑: #L4s.t.y=y+m,y(0)=5,y(x)自由上g0,2求最優路徑:Jax+ir)dts.t.y=u-yy(0)=l,y(l)lH由第三節作業：求最優路徑：maxV

48、-ldt,y=y+u,y(0)=5,y(T)=11,(T|H由)”g-1,1y=W,y(0)=4,y(T)=5,T自由第四節作業：構建最優控制問題。選舉函數v=v(U,P)=-U2-hp(h0f參數)其中卩為得票能力，U為失業,卩為通貨膨脹。p7-ku)+w,其中龍為預期通脹率，人R為大于o的參數。乃按適應性預期調整，db(pr),(b0)，時間界限0,Tomax(-U1-hj+hkU一han)erdts.t.n=bj-kU-(l-a)Tr才0=龍0，龍(卩)自由給定,N按凸加權后得到總的得票數。政黨最大化總得票數。第五節作業：證明如下H控問題的最優乞對時間不變。iwaxf/G(y,u)ePt

49、Joy=f(y) # L4第一章Solow模型第一節程式化事實與經濟增長研究的主要問題一、程式化（Stylized）事實（facts）卡爾多（Kaldo】1963）列出了經濟增長的程式化事實：1、人均產出持續增長，且增長率未出現下降趨勢2、人均物質資本持續增長3、資本回報率近乎穩定4、物質資本一產出比近乎穩定5、勞動和物質資本在產出中所占的份額近乎穩定6人均產出增長率在各國間差距很大相對于人類歷史而言，持續的、快速增長（現代增長）只是最近一兩白年才有的事。事實6與跨國數據基本吻合。事實1、2、4、5與發達國家的數據基本一致,但并不適合于更廣大的發展中國家，事實3描述的似乎主耍是英國的經歷。其它

50、大部分國家真實收益率是下降的。二、經濟增長研究的主耍問題Rojnei（2006,pl）指出，經濟增長理論主耍解決如下兩個問題：1、什么解釋了經濟的增長，或經濟長期增長的驅動因素是什么？2、為什么一些國家如此之富裕，而另一些則如此之貧窮？可見，現經濟增長理論主耍解釋事實1和6。顯而易見，這兩個問題是相關的。 L4第二節Solow模型的基本假定一、增長模型的基本結構在這一章中，我們主要探討儲蓄在經濟增長中的作用，即：僅僅s的提高能不能推動長期的增長？s的跨國差異能不能解釋人均產出的差異。然而，我們的基本結論是：s只能解釋部分事實，而不能解釋全部(共至是大部分)事實。這促進了其它模型，特別是內生增長

51、模型的發展。増也理診白勺豐鬟事創華丁生產孕數。分權或分散經濟(decentailizedeconomy)VS計劃者問題或經濟(socialplaimei)o本章的Solow模型中，我們進一步簡化，抽象掉市場，將家庭與企業合二為一，形成克魯索式的家庭/生產者單位。Bano和Sala-i-jjiatin(第二版31-33)給出的結論是，有沒有市場對Solow模型的主要結論沒有影響。如果各克魯索完全相同，則個體行為與總量行為并無二致(這里實際上用到了代衣摩豐您的思想，即總量行為等于一個擁有所有資源的假想的個體行為，以該個體代表總量有時是平均量)。有這樣一個總量的生產函數Y(f)K，厶(/)產出可被用

52、于C或一對一的投資I。這樣的單一的、同質的產品可被想象成小農經濟。L(f),K(/)被競爭性的使用，廠代表知識、技術，它可隨時間演進，且各國不同。T(f)是非競爭性的。在封閉經濟中，儲蓄和投資相等。Y=C+I,S=Y-CO儲蓄率s等于投資率。資本以常率/0折舊。所以資本存量的凈增加等丁總投資I減去折舊：K=l-SK=sF-SK(1)L以常率0增加，所以厶(0=L.eo我們常常將厶標準化為1,這樣厶=刃(這樣做是因為它兒乎不影響我們任何結論)。二、Solow模型的基本假設Solow模型基本模型中不考慮技術進步，T=常數。所以Y=F(KyL)oSolow模型是新古典的，因為它的生產函數是新古典的。

53、新古典生產函數的假定包括：A、規模報酬不變(對競爭性投入是一次齊次的)，尸(2K,M)=M(K,厶)B、私人投入正的、遞減的邊際報酬(邊際產品)dFdK0,竺0dLdK2y=f(k),y=%這表明，生產無規模效應，即人口規模不影響人均產出。條件C意味著limfXk)=coJunff(k)=0A-0 x-coD、必耍性F(0,厶)=F(K,0)=0,這一條件可由1-3推出，并不是獨立的。第三節關鍵的動態方程由資本存量的動態方程(1)K=sF-8K-=sf-8k(更簡潔的推導：學晉=通少)=丄=一“)kdtdtKLK=k=sf伙)一(7?+8)k(2)(2)式就是Solow模型的基本方程。第四節穩

54、態一、穩態穩態（steadystate,statioiiaiystate，或equilibrium）各種數量都以不變速率增長（可能為0）vaiiousquantitiesglowatconstantrateszero0有時人們用到另一概念,平衡增長路徑（balancedgrowthpath）,意指所有（總量）變量以一個不變速度增長（allvanablesglowataconstantrate）,而將這一速率為0稱為穩態（steadystate）。在Solow模型中，穩態意味著k=從兩種定義都能得到這一點（在經濟增長理論中,情況似乎總是這樣的，只不過有時要仔細選擇、設定分析的關鍵變量）。附錄中我

55、們給出了一個從第一種穩態概念得到k=o的證明，即穩態僅僅是指各個的增長率是不變的（但可能不是0,并且不同變量的速率也可以不同。但是后一種情況在這里首先排除，因為我們模型中宜接分析的只有一個變量，就是人均資本存量）。這樣，穩態時有：sf（k*）=（w+）r,其中t為穩態資本存量。疋是常數,y*=如和C*=（l-5）/（r）不增長，即:無技術進步的Solow模型中，人均量的長期增長率為0。總量變量（K,Y,C）增長率與L相同（“）o一次性的技術進步以及s、和5的變化，都只有水平效應，而無增長效應。Solow模型沒有解釋長期增長。二、政策實驗：s的影響1、圖形分析（圖略）結論：T擴大，）擴大，有暫時

56、的增長效應，水平效應，無長期增長效應。對消費的影響不定。2、定量分析$對T的影響由/伙*）=（+）r可知Q是$的函數，t（s）不同的有不同的廠（其它不變）。兩邊對$求導：/（r（5）+護0）普=（n）牛ndsdsdk*_f_k*f_kfdsn+6-sff+-sksf-skf1.均衡時助=(n+S)k,sf-skf=s(f-kf)=s0dLds0由此得到：儲蓄率提高了穩態人均資本存量。第五節黃金律與動態無效率一、黃金律（goldenrule）黃金規則是使人均穩態消費達到最大。穩態消費取決丁c*G）=/心）-（+）F（s）（在穩態/c=（1-5）/=f-sf=f-（n+8）k）由于。匚0,可知c*

57、隨s先增后減（如圖，圖略）。as當C最大時，f=n+6=ksold的水平，此時Csald=f伙陽）-（+力比.汕二、動態無效率動態無效率是指過度儲蓄時，c在所有時點均位丁另一可行路徑之下。這里是指sfd的情形。如果從*降到S胡d，則新的消費隨時間下降（過渡到新均衡的過程中消費是下降的），但在下降（是儲蓄率的下降而不是消費的下降）這二刻新消費大于原來的消費，即使下降到最低（均衡）時，s“d大于原消費，所以整個新的消費路徑均位丁原來的之上。原來的的過度儲蓄是無效率的。但如果sjd，則無法判斷誰優誰劣。因為如果由S上升到S嗣，則一開始消費低丁原消費，并最終超過原消費。第六節轉移動態一、轉移動態Sol

58、ow模型對丁長期經濟增長的前景是黯淡的，但卻有豐富的轉移動態含義。所謂轉移動態，是指經濟趨向丁-穩態值（如果偏離了穩態）的行為。由=一（”+5）k=g嚴嘆一（+5）（1）由于嘆斜率為負，且趨向于0，+50,所以嘆與相交一次。穩態疋唯一。主耍原因在丁資本邊際報酬遞減。（2）S/z為資本份額g,=j=A%+=S/)(Q.g*將(1)代(2)得：(/2+5)=曠一(”+5)Sh(k) # #L4 L4g、隨R下降。若*0,上式非正（廠V0）,k若0,上式為正（P0工資單調增加，趨于穩態dk/=/（r）-E/f（r）產出分配盡）i+趙f+(r+S)k第七節收斂一、含義收斂是指趨丁某一值或趨于一致。絕對

59、收斂是指所有經濟無條件地收斂到一個共同的值（不考慮其它條件）。e8k/dk=sf-f/klkMnnkiw等人分別指出了Solow模型預測的不是絕對收斂，而是條件收斂。條件收斂指的是各國的穩態值不同，各經濟收斂丁-h己的穩態值。離11身穩態值越遠，則收斂越快。因此，在計量上，如果將影響穩態值的變量（人們已找了兒乎所有能找的這樣的變量）作為控制變量，則形成條件收斂。簡而言之，條件收斂是指假定穩態值不同而生產函數的其它參數（如）相同時的初始收入和期末收入之間的關系。%=心能H務必-心)g)=(”+g=(“希代入上式經濟收斂是經濟增長計量分析的兩個主要方面之一。在經驗文獻中，常常會出現如下的收斂概念。

60、水平收斂VS增長收斂0收斂VSo收斂二、收斂速度我們以y=Aka的CD生產函數來表述收斂速度。定義收斂速度:dink # #L4 #L4(注意，有時近似定義為-卑，叫2=_型，兩者在近似意義上是一致dkdinkdink的。)(寫成變量11認而不是k的形式)p=(y-a)sAka)注意：”并非常數，而是隨著R增加而遞減的。在穩態時，sf=n+S=n+S所以在穩態附近0*=(1-k(t)-k*=efi,(k(0)-k*k(J)-k*=-ptk(Q)-k*當f=l,0較小時，爲fl_0,即如果0較小，在一年內k與T之間的差距是原差距的95%。差距減半(即嚴=丄)所用時間：2嚴=*=一也=0.05,/