1、在熱力學(xué)系使用變分法的理由及結(jié)果摩爾熵分布函數(shù)” 的導(dǎo)出摘 要：當(dāng)熱力學(xué)體系達(dá)到平穩(wěn)態(tài)時(shí),具有“ 無(wú)耗散” （ 即“ 無(wú)熵產(chǎn)” ）的特點(diǎn)；本文就依據(jù)這一“ 平穩(wěn)態(tài)原理” （“ 熵增原理” ）使用了“ 變分法” 進(jìn)行“ 泛函分析” ；導(dǎo)出了“ 歐勒方程” 的解 “ 比熵平穩(wěn)方程”,仍給出了“ 即使在外場(chǎng)中處于密度不勻稱(chēng)的無(wú)熵產(chǎn)狀態(tài),類(lèi)似于最大熵狀態(tài)時(shí),體系仍舊比熵分布”這個(gè)新結(jié)果； 同時(shí),這都由于大膽地在“ 熱統(tǒng)” 領(lǐng)域引進(jìn)了 “ 間接變分法” 的結(jié)果,這增強(qiáng)了對(duì)體系“ 熵函數(shù)” 的探討才能；最終仍 作了一些展望；1引言如有一絕熱封閉的剛性壁容器,內(nèi)盛有一摩爾單原子抱負(fù)氣體,在桌面上靜置了一百年

2、； 試問(wèn)該容器內(nèi)不同高度上的氣體密度、壓力、溫度這三個(gè)熱力學(xué)參量沿著高度的分布情形到底是怎樣的？依據(jù)經(jīng) 驗(yàn), 假如容器處在無(wú)外力場(chǎng)中且保持慣性運(yùn)動(dòng)狀態(tài) , 就容器內(nèi)氣體必 將有 P 0,0 ,T 0 , 這只是體會(huì)熟悉；對(duì)此,筆者始終心存 余悸,在慣性空間,到底當(dāng)熱力學(xué)體系達(dá)到平穩(wěn)態(tài)時(shí),雖然可以確定 體系的熵達(dá)到了極大值,但體系的密度、溫度、壓力是否真的會(huì)勻稱(chēng) 分布,這決不能滿(mǎn)意于主觀臆測(cè), 必需建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)嚴(yán)格的 1 規(guī)范的推導(dǎo)求證；波爾茲曼早就用統(tǒng)計(jì)力學(xué)的方法推導(dǎo)出,無(wú)論體系是否處在外力場(chǎng)中,體系的平穩(wěn)態(tài)都將保持溫度勻稱(chēng)分布的狀態(tài)；所以教科書(shū)將溫 度勻稱(chēng)分布作為物系達(dá)到平穩(wěn)態(tài)的標(biāo)志

3、；筆者 試圖另辟蹊徑,依據(jù) “ 最大熵原理”借用“ （間接）變分法” （破解相應(yīng)的“ 歐勒方程” ）第一解出慣性空間的熱力學(xué)平穩(wěn) 態(tài)體系的參量分布函數(shù),接著再導(dǎo)出當(dāng)存在外場(chǎng)（即當(dāng) g 0）時(shí),熱力學(xué)平穩(wěn)態(tài)體系的參量分布函數(shù) 2對(duì)熱力學(xué)體系嘗試“ 變分法” 的理由其實(shí)上面的問(wèn)題可以歸結(jié)為,當(dāng)體系的“ 熵產(chǎn)生率” 等于零或曰 熱孤立體系的總熵不再增長(zhǎng)時(shí)（最大熵原理）,慣性空間中的熱力學(xué)體系各點(diǎn)介質(zhì)的比熵（即某小局域的熵與該小局域所含介質(zhì)的摩爾數(shù)的比值） 將保持什么樣的關(guān)系問(wèn)題； 或曰熱力學(xué)參量的分布函數(shù) 將是怎樣的？這個(gè)問(wèn)題始終困擾著筆者 久思不得其解；思來(lái)想去 一籌莫展（無(wú)從下手）；經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的深

4、思 筆者突然聯(lián)想到人們?cè)?尋求極限條件下的嘗試函數(shù),經(jīng)常運(yùn)用“ 變分法” 進(jìn)行泛函分析 譬如 在力學(xué)中為了尋求最快捷的下滑軌道方程（函數(shù)）,使用了“ 間接變分法” ,求解“ 歐勒方程” ；也就是說(shuō)欲使某一滑塊從某一點(diǎn)下滑到另一點(diǎn)需要的時(shí)間最短,其路徑（軌跡曲線(xiàn)）的方程（函數(shù)）是怎樣的（即“ 捷線(xiàn)問(wèn)題” ）？“ 捷線(xiàn)問(wèn)題” 與本文的問(wèn)題頗為相似；本文的問(wèn)題就是指一摩爾抱負(fù)氣體在特定的絕熱封閉的剛性容器 中經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期靜置,試問(wèn)其最終死寂（安靜）狀態(tài)時(shí)的密度、溫度、壓2 力的分布函數(shù)到底是怎樣的？在物體下滑軌道例子中要求其下滑時(shí) 間最短的那一條軌道, 類(lèi)似地在此熱力學(xué)死寂態(tài)例子中是要求體系的 總熵不再

5、增加（熵值最大） 的那個(gè)狀態(tài),而熱力學(xué)體系的行為必定遭 受 “ 最大熵原理”（熵增原理） 的強(qiáng)行支配； 這就是本課題使用 “ 變 分法” 進(jìn)行泛函分析的規(guī)律基礎(chǔ)；其程序是將體系的總熵（體系各局 域的熵的積分）作為“ 泛函” ,接著爭(zhēng)論該泛函的變分問(wèn)題（密度、溫度分布函數(shù)作微小的變動(dòng),泛函即體系的總熵也隨之作微小的變動(dòng),其比值的極限趨于零）,從而獲得“ 歐勒方程” ；最終從“ 歐勒方程” （微分方程）解出熱力學(xué)體系達(dá)到無(wú)熵增狀態(tài)（平穩(wěn)態(tài)）時(shí) 的密度、溫度分布函數(shù)； 這就是運(yùn)用變分法尋求熱力學(xué)死寂態(tài)參量分 布函數(shù)的理由和思路（基本思想）下面就以抱負(fù)氣體為例,本文試從“ 間接變分法” 中的“ 歐勒方

6、程”2 第一解出慣性空間熱力學(xué)體系達(dá)到平穩(wěn)態(tài)時(shí)必定聽(tīng)從的熱力學(xué)平穩(wěn)條件,最終依據(jù) 無(wú)論有無(wú)外場(chǎng), 體系都終將死寂 （達(dá)到無(wú)熵增）狀態(tài)的“ 平穩(wěn)態(tài)原理”系的參量分布函數(shù)；2.1 抱負(fù)氣體系統(tǒng),進(jìn)一步導(dǎo)出：在重力場(chǎng)中死寂態(tài)的熱力學(xué)體為了簡(jiǎn)便,第一考慮靜置于勻強(qiáng)力場(chǎng)中的絕熱剛性壁柱形封閉容 器所盛的 n 摩爾 抱負(fù)氣體 系統(tǒng),其中封閉容器內(nèi)的摩爾數(shù) n ,可用下 式定積分表示h,z 為柱Nz0zA d zn11 式中 n 為體系所擁有介質(zhì)的摩爾數(shù), A 為柱形容器的底面積3 高方向的變量 , z 為氣體數(shù)密度沿著高度的分度函數(shù) , h 為容器的頂部高度；在這里體系所擁有的內(nèi)能（對(duì)于抱負(fù)氣體系統(tǒng)）即為

7、 熱能是否始終為定值呢？答案是否定的！由于體系在自發(fā)地趨近于無(wú) “ 熵產(chǎn)” （死寂狀態(tài)）的過(guò)程中,不免因其密度分布函數(shù)的變化而轉(zhuǎn)變體系質(zhì)心的高度, 即轉(zhuǎn)變了體系在外場(chǎng)中的勢(shì)能,同時(shí)由于粘滯性耗散（生熱）；故體系的熱能在死寂之前并不是守恒的常數(shù)；但這并不能阻擋“ 有限源體系” 歸宿于死寂狀態(tài)的進(jìn)程,由于體系在恒定外場(chǎng)中的勢(shì)能不行能無(wú)休止地轉(zhuǎn)變下去；再加上粘滯性耗散, 體系總是要死寂的（即必將終止一切形式的宏觀運(yùn)動(dòng)）,即該體系必將達(dá) 到無(wú)“ 熵產(chǎn)” 的死寂狀態(tài)；即處在外場(chǎng)中的絕熱（剛性壁）封閉的久置著的熱力學(xué)簡(jiǎn)潔體系也必將達(dá)到死寂的狀態(tài)；用lns,T表示z高度層的“ 摩爾熵” ；“ 摩爾熵s,T”

8、 表達(dá)式為RcvlnTs 3 ,其中, R 為氣體普適常數(shù),的總熵Sz,Tz為c 為等容摩爾熱容量；所以該體系所擁有Sz,Tz0hzs,TA d z22.2 “ 變分問(wèn)題” “ 歐勒方程”S利 用 密 度 、 溫 度 在 位 形 空 間 的 分 布 函 數(shù)z、Tz的 泛 函z,Tz之極值點(diǎn)（或拐點(diǎn),由于并沒(méi)有考察歐勒方程的二階導(dǎo)數(shù)如何）來(lái)確定“ 極（值）點(diǎn)（或拐點(diǎn)）” 的密度、溫度分布規(guī)律,也就是尋求由“ 歐勒方程” 所蘊(yùn)涵的未知函數(shù)Szz、Tz與自變量參考高度z的依靠關(guān)系；我們必需第一明確泛函,Tz就是體系的總4 熵；所謂泛函達(dá)到極值點(diǎn)（或拐點(diǎn)）,就是在該種特定的情境下,體系的總熵 S z

9、, T z 隨著介質(zhì)密度分布、溫度分布的“ 自然調(diào)整” 達(dá)到了極點(diǎn)值 （或拐點(diǎn)值） ；故必需以“ 無(wú)熵產(chǎn)狀態(tài)”作為“ 變分問(wèn)題”的物理基礎(chǔ)； 同時(shí)仍應(yīng)明確體系的總熵 S z , T z 是由遍及整個(gè)體系所占“ 區(qū)域” （在此為三維歐氏幾何空間）的定積分來(lái)確定； 2 式為體系的總熵密度、 溫度分布函數(shù)的泛函, 其中 1 式就為“ （該）變分問(wèn)題” 的約束條件；隨著體系密度、溫度分布函數(shù) z、T z 的“ 自然調(diào)整” 自發(fā)地趨向“ 死寂” 態(tài),體系的總熵（即密度的泛函 S z , T z ）也將隨之而變；當(dāng)該體系的總熵在特定的情境 即在第 1 式所示的約束條件下 取得極點(diǎn)值（或拐點(diǎn)值）時(shí)；本課題的

10、變分表達(dá)式為：Sz,Tzs0Nz02由其得歐勒方程組為：F03F0T這就是簡(jiǎn)潔情形時(shí)的“ 歐勒方程組” 的一般表達(dá)式；其中 F 由“ 拉格朗日乘子法”S z , T z s 0N z 4 獲得 F s s 0；這里 s 為待定“ 乘子” （常數(shù)）；亦即s,Ts00 4 Ts,Ts005 這就是本課題將要使用的“ 毆勒方程組” 的詳細(xì)表達(dá)式；值得指出的是,這個(gè)“ 毆勒方程組” 好像沒(méi)有充分的條件保證其必屬于最大熵狀態(tài), 由于本文只關(guān)懷絕熱封閉的抱負(fù)氣體系統(tǒng)達(dá)到定熵狀態(tài)即“ 死寂態(tài)” 時(shí)的溫度與密度之間的依靠關(guān)系；本文并不關(guān)懷也無(wú)法知道更完全沒(méi)有必要知道： 當(dāng)絕熱封閉的抱負(fù)系統(tǒng)達(dá)到死寂狀態(tài)時(shí)體系的

11、總熵到底是否會(huì)達(dá)到極大值,或許會(huì)停留在“ 拐點(diǎn)” ；只知道其必定達(dá)到定熵的死寂狀態(tài),這已完全滿(mǎn)意了變分法的要求；由于“ 間接變分法” 中的歐勒方程僅僅明確了其一階微商等于零,并沒(méi)有給出其二階微商到底如何； 所以我們僅僅憑借歐勒方程式無(wú)法判定該熱力學(xué)體系的死寂狀態(tài)到底是否屬于最大熵狀態(tài),但可以確定其死寂狀態(tài)必定屬于“ 定熵” 狀態(tài)；2.3 均熵方程的推導(dǎo)及其爭(zhēng)論由4式亦可得：s0s0As5Tss0s0BT解該微分方程組得一組解,0s s 10s s 2這里有兩個(gè)解,第 1 個(gè)解,說(shuō)明 平穩(wěn)態(tài)體系的“ 比熵” 保持一個(gè)常數(shù) s ；而第 2 個(gè)解就說(shuō)明“ 比熵 s ” 與當(dāng)?shù)孛芏?成反比；到底比熵函

12、數(shù)應(yīng)當(dāng)挑選哪一個(gè)？如挑選其中的第 2 個(gè)解 s s0就必有：6 VSVVsdvVVs0dvVNs0V00006均表示常數(shù), V 就表示系統(tǒng)體由于VdvN0s 與s 表示 “ 比熵” 即“ 摩爾熵” ；積；大家知道 當(dāng)熱力學(xué)系統(tǒng)的體積作絕熱可逆脹縮的過(guò)程其總熵 S 必 然保持不變, 即與系統(tǒng)的總體積 V 的大小無(wú)關(guān) S 0,這就嚴(yán)苛地導(dǎo) V 出了積分常數(shù) 必需等于零；這就是只能挑選第 1 個(gè)常數(shù)解的理由,0s s 7即比熵s 只能是個(gè)常數(shù)；s08這第7 式亦可稱(chēng)謂“條規(guī)律；” ；這就是外場(chǎng)中物系必需遵循的一3均熵方程的理論意義從很多方面可以看出人們已經(jīng)離不開(kāi)7 式：1,在推導(dǎo)抱負(fù)氣體中的聲學(xué)方程

13、時(shí)需要第 7 式（即絕熱可逆方程）5 ；2,在流體熱力學(xué)中爭(zhēng)論“ 定熵流淌 6 ” ,也就是假定到處比熵相等；3,大氣科學(xué)的“ 多元大氣” 模型中運(yùn)算出的溫度梯度也需要假定在不同的高度大氣的比熵相等 7 ；4,在爭(zhēng)論多電子電子云中也需要假定電子云7 的比熵到處相等 8 ；5、利用文中的第 8 式再結(jié)合靜力平穩(wěn)條件即可導(dǎo)出 可壓縮 流體力學(xué)中的“ 流體靜力學(xué)方程 即 比焓加比勢(shì)能等于常數(shù) ” ,如結(jié)合的是“ 達(dá)蘭伯原理” 就可導(dǎo)出“ 可壓縮無(wú)粘滯流體動(dòng)力學(xué)方程 即比焓加比勢(shì)能再加比動(dòng)能等于常數(shù) ” 全部這些都說(shuō)明, 人們?cè)缇妥杂X(jué)不自覺(jué)地利用均熵方程,只不過(guò)人們并不知道在客觀上“ 摩爾熵” 到底是

14、否真的趨于均等, 只是作為一種 “ 假設(shè)”來(lái)使用；可見(jiàn)“ 均熵方程” 的導(dǎo)出對(duì)于諸多力學(xué)領(lǐng)域都是一種補(bǔ)救,這使諸多力學(xué)結(jié)論從“ 假說(shuō)” 上升為嚴(yán)格的理論；否就 那些力學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程就不敢面對(duì)質(zhì)疑 這也符合人類(lèi)熟悉自然的規(guī)律,即從不太精辟到接近精辟的過(guò)程；筆者可以運(yùn)用均熵方程導(dǎo)出, 處于外力場(chǎng)的絕熱體系內(nèi)存在著穩(wěn)恒的溫度梯度 , 即 T 0 , 且不需付出熵流代價(jià)；由此筆者可以證明熱力學(xué)第零定律、熱力學(xué)其次定律、熱流定律僅適用于等勢(shì)面上 , 或者說(shuō)在地球表面只是近似適用； 進(jìn)而可以說(shuō)明宇宙為何不會(huì)顯現(xiàn)熱寂 ,源于引力可導(dǎo)致散發(fā)到太空中的熱能重新集合與活躍；重力場(chǎng)是形成和維護(hù)地?zé)岬氖滓蛩兀?這

15、將成為熱統(tǒng)理論的新奇血液 , 因此, 此題課具有明顯的理論意義！感謝沈建其的指導(dǎo)/showmembers.php.id=168 參考文獻(xiàn)1 朗道 栗弗席茲 前蘇聯(lián) 著 楊訓(xùn)愷等譯 1964 統(tǒng)計(jì)物理學(xué) 人民訓(xùn)練出版社 第 90 頁(yè) Landau,L 、D、and Lifshitz E、M、,Statistical Physics,Pergamon Press,1958,2 梁昆淼,數(shù)學(xué)物理方法, 北京：人民訓(xùn)練出版社,1978.7 ；3 汪志誠(chéng),熱力學(xué) 統(tǒng)計(jì)物理（第三版）,北京：高等訓(xùn)練出 版社, 2022.3 ；第 53 頁(yè),（ 1.15.4 ）4 梁昆淼,數(shù)學(xué)物理方法 , 北京：人民訓(xùn)練出版社