1、PAGE |初一數學基礎-提高-精英學生版| 第1講 第頁 PAGE 頁碼 10 / NUMPAGES 總頁數 10溶液濃度問題（二）教學目標六年級奧數溶液濃度問題二教師版2、濃度三角的應用3、會將復雜分數應用題及其他類型題目轉化成濃度三角形式來解4、利用方程解復雜濃度問題知識精講濃度問題的內容與我們實際的生活聯系很緊密,就知識點而言它包括小學所學2個重點知識：百分數,比例。一、濃度問題中的基本量溶質：通常為鹽水中的“鹽”,糖水中的“糖”,酒精溶液中的“酒精”等溶劑：一般為水,部分題目中也會出現煤油等 溶液：溶質和溶液的混合液體。濃度：溶質質量與溶液質量的比值。二、幾個基本量之間的運算關系1、

2、溶液=溶質+溶劑2、三、解濃度問題的一般方法1、尋找溶液配比前后的不變量,依靠不變量建立等量關系列方程2、十字交叉法：甲溶液濃度大于乙溶液濃度形象表達：注：十字交叉法在濃度問題中的運用也稱之為濃度三角,濃度三角與十字交叉法實質上是相同的濃度三角的表示方法如下：3、列方程解應用題也是解決濃度問題的重要方法例題精講模塊一、利用十字交叉即濃度三角進行解題三種溶液混合多次有甲、乙、丙三個容器,容量為毫升甲容器有濃度為的鹽水毫升；乙容器中有清水 毫升；丙容器中有濃度為的鹽水毫升先把甲、丙兩容器中的鹽水各一半倒入乙容器攪勻后,再把乙容器中的鹽水毫升倒入甲容器,毫升倒入丙容器這時甲、乙、丙容器中鹽水的濃度各

3、是多少？【考點】溶液濃度問題 【難度】4星 【題型】解答 列表如下： 甲濃度溶液開始第一次第二次乙丙濃度溶液濃度溶液所以此時甲容器中鹽水的濃度是,乙容器中濃度是,丙容器中濃度是小結：在做有關濃度的應用題時,為了弄清楚溶質質量、溶液質量的變化,尤其是變化多次的,常用列表的方法,使它們之間的關系一目了然【答案】甲容器中鹽水的濃度是,乙容器中濃度是,丙容器中濃度是在甲、乙、丙三缸酒精溶液中,純酒精的含量分別占、和,已知三缸酒精溶液總量是千克,其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙兩缸酒精溶液的總量三缸溶液混合后,所含純酒精的百分數將達那么,丙缸中純酒精的量是多少千克？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題

4、型】解答 法1方程法設丙缸酒精溶液的重量為千克,則乙缸為千克根據純酒精的量可列方程：, 解得,所以丙缸中純酒精的量是千克法2濃度三角法由于甲缸酒精溶液為50千克,乙、丙兩缸酒精溶液合起來也是50千克,所以如果將乙、丙兩缸酒精溶液混合,得到的酒精溶液的濃度為那么乙、丙兩缸酒精溶液的量之比為：,而它們合起來共50千克,所以丙缸酒精溶液有千克,丙缸中純酒精的量是千克【答案】有、三種鹽水,按與數量之比為混合,得到濃度為的鹽水；按與數量之比為混合,得到濃度為的鹽水如果、數量之比為,混合成的鹽水濃度為,問鹽水的濃度是多少？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 與按數量之比為混合時,濃度仍為,而

5、這樣的混合溶液也相當于與按數量之比為混合后再混入三份鹽水,則鹽水濃度為鹽水的濃度為再根據、三種溶液混合的情況,那么鹽水的濃度為： .【答案】已知三種混合物由三種成分、組成,第一種僅含成分和,重量比為；第二種只含成分和,重量比為；第三種只含成分和,重量之比為.以什么比例取這些混合物,才能使所得的混合物中、和,這三種成分的重量比為？【考點】溶液濃度問題 【難度】4星 【題型】解答 注意到第一種混合物中、重量比與最終混合物的、重量比相同,均為.所以,先將第二種、第三種混合物的、重量比調整到,再將第二種、第三種混合物中、與第一種混合物中、視為單一物質.最終配成的物質；第二種混合物不含,的含量為,第三種

6、混合物不含,的含量為,所以倍第三種混合物含為,倍第二種混合物含為,即第二種、第三種混合物的重量比為；于是此時含有,即,而最終混合物中,所以第一種混合物的質量與后兩種混合質量和之比為,所以三種混合物的重量比為.【答案】、三個試管中各盛有克、克、克水把某種濃度的鹽水克倒入中,充分混合后從中取出克倒入中,再充分混合后從中取出克倒入中,最后得到的鹽水的濃度是問開始倒入試管中的鹽水濃度是百分之幾？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 整個過程中鹽水濃度在下降倒入中后,濃度變為原來的；倒入中后,濃度變為中的；倒入中后,濃度變為中的所以對于一開始倒入中的鹽水濃度可以用倒推的方法,即一開始倒入中的

7、鹽水濃度為【答案】有兩種溶液,甲溶液的酒精濃度為,鹽濃度為,乙溶液中的酒精濃度為,鹽濃度為現在有甲溶液千克,那么需要多少千克乙溶液,將它與甲溶液混和后所得的溶液的酒精濃度和鹽濃度相等?【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 一千克甲種溶液中含有酒精0.1千克,鹽0.3千克,鹽比酒精多0.2千克；而一千克乙種溶液中含有酒精0.5千克,鹽0.1千克,鹽比酒精少0.4千克所以只需要0.5千克的乙種酒精將其與甲溶液混合后所得溶液中兩種物質含量相等,即濃度相等【答案】0.5有兩種溶液,甲溶液的酒精濃度為,鹽濃度為,乙溶液中的酒精濃度為,鹽濃度為現在有甲溶液千克,那么需要多少千克乙溶液,將它與甲

8、溶液混和后所得的溶液的酒精濃度是鹽濃度的3倍？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 可以這樣來看,將溶液中的水剔出或者說蒸發掉,那么所得到的溶液就是鹽溶在酒精中事實上這種情況不符合物理規律,但這只是假設這時的處理后甲溶液鹽濃度為,處理后乙溶液的鹽濃度為,需要配置的溶液的鹽濃度為,由這些得出的條件使用十字交叉法得到兩種處理后溶液的質量比應該為：。一千克原甲溶液中有的處理后甲溶液,即千克,所以另需要千克的處理后乙溶液,而每千克原乙溶液中含有的處理后乙溶液,即千克,所以只需要千克的乙溶液就能構成千克的處理后乙溶液所以需要千克的乙溶液【答案】模塊二、列方程解濃度問題使用甲種農藥每千克要兌水

9、20千克,使用乙種農藥每千克要兌水40千克。根據農科院專家的意見,把兩種農藥混合使用能提高藥效。現有兩種農藥共5千克,要配藥水140千克,其中甲種農藥需藥_千克。【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 設甲種農藥x千克,則乙種農藥5-x千克。列方程： 【答案】甲、乙兩瓶鹽水,甲瓶鹽水的濃度是乙瓶鹽水的倍將克甲瓶鹽水與克乙瓶鹽水混合后得到濃度為的新鹽水,那么甲瓶鹽水的濃度是多少？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 設乙瓶鹽水的濃度是,甲瓶鹽水的濃度是,有,解得,即甲瓶鹽水的濃度是【答案】甲、乙兩只裝滿硫酸溶液的容器,甲容器中裝有濃度為的硫酸溶液600千克,乙容器中裝有濃度

10、為的硫酸溶液400千克各取多少千克分別放入對方容器中,才能使這兩個容器中的硫酸溶液的濃度一樣？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 由于交換前后兩容器中溶液的重量均沒有改變,而交換一定量的硫酸溶液其目的是將原來兩容器中溶液的濃度由不同變為相同,而且交換前后兩容器內溶液的重量之和也沒有改變,根據這個條件可以先計算出兩容器中的溶液濃度達到相等時的數值,從而再計算出應交換的溶液的量 甲容器中純硫酸的質量為千克；乙容器中純硫酸的質量為千克；兩容器中純硫酸的質量和為千克,硫酸溶液的質量和為千克兩容器中溶液互換后濃度為, 所以應交換的硫酸溶液的量為：千克另解：假設各取千克放入對方容器中,那么兩

11、種混合溶液中兩種硫酸溶液的質量比相等,即,解得,即各取240千克【答案】240甲容器中有濃度為的鹽水克,乙容器有濃度為的鹽水克分別從甲和乙中取出相同重量的鹽水,把從甲中取出的倒入乙中,把從乙中取出的倒入甲中現在甲、乙容器中鹽水濃度相同問：從甲乙容器取出多少克鹽水倒入了另一個容器中？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 由于兩種鹽水互換后濃度相等,而在互換的過程中鹽的總質量是不變的,所以互換后鹽水的濃度為,而甲容器中原來濃度為,所以相互倒了克另解：由于兩種溶液的濃度不同,而混合后得到的溶液的濃度相同,只能是相混合的兩種溶液的量的比是相等的這一點與兩人各用兩種速度走一段路程而平均速度相

12、同中的兩種速度的路程比、以及含銅率不同的兩種合金熔煉成含銅率相同的合金見第7講相關例題中兩種合金的質量比是相似的假設相互倒了克,那么甲容器中是由克的鹽水和克的鹽水混合,乙容器中是由克的鹽水和的鹽水混合,得到相同濃度的鹽水,所以,解得【答案】十字交叉法的證明過程：設甲、乙兩瓶溶液的質量分別為和,濃度分別為和,將兩瓶溶液混合后所得的溶液濃度為,求證：【考點】溶液濃度問題 【難度】4星 【題型】解答 略【答案】甲溶液中溶質的質量為,乙溶液中的溶質質量為,則混和溶液中的溶質質量為,所以混合溶液的濃度為,所以,即,可見也可以這樣來理解；由于甲溶液濃度比乙溶液濃度高,兩瓶溶液混合后,濃度變為相同,相當于甲

13、溶液拿出了的溶質給乙溶液,乙溶液則得到了的溶質,所以,得到在濃度為的鹽水中加入一定量的水,則變為濃度的新溶液.在這種新溶液中加入與前次加入的水量相等的鹽,溶液濃度變為.求.【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 不妨設原來的鹽水為100克,加入的水或鹽重克,可列方程：,可得；,可得；解得,【答案】一杯鹽水,第一次加入一定量的水后,鹽水的含鹽百分比變為；第二次又加入同樣多的水,鹽水的含鹽百分比變為；第三次再加入同樣多的水,鹽水的含鹽百分比將變為 。【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵詞】希望杯,一試,六年級抓住題中不變量鹽的重量假設第一次加入水后鹽水的重量為克,鹽的

14、重量為 克,第二次加水后的總重量為克,這樣就可得出加水量是克,第三次加水后的重量是克,這時的鹽水的含鹽百分比是【答案】瓶中裝有濃度為的酒精溶液克,現在又分別倒入克和克的、兩種酒精溶液,瓶中的濃度變成了已知種酒精溶液濃度是種酒精溶液濃度的倍,那么種酒精溶液的濃度是百分之幾？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 法1方程法新倒入純酒精：克 設種酒精溶液的濃度為,則種為根據新倒入的純酒精量,可列方程： ,解得,即種酒精溶液的濃度是法2濃度三角法設種酒精溶液的濃度為,則種為根據題意,假設先把100克種酒精和400克種酒精混合,得到500克的酒精溶液,再與1000克的酒精溶液混合,所以、兩種

15、酒精混合得到的酒精溶液的濃度為根據濃度三角,有,解得故種酒精溶液的濃度是【答案】種酒精濃度為,種酒精濃度為,種酒精濃度為,它們混合在一起得到了11千克濃度為的酒精溶液,其中種酒精比種酒精多3千克,則種酒精有 千克【考點】溶液濃度問題 【難度】2星 【題型】解答【關鍵詞】101中學 設種酒精有千克,種酒精有千克,種酒精有千克,則：解得,故種酒精有7千克【答案】7一個賣牛奶的人告訴兩個小學生：這兒的一個鋼桶里盛著水,另一個鋼桶里盛著牛奶,由于牛奶乳脂含量過高,必須用水稀釋才能飲用現在我把桶里的液體倒入桶,使其中液體的體積翻了一番,然后我又把桶里的液體倒進桶,使桶內的液體體積翻番最后,我又將桶中的液

16、體倒進桶中,使桶中液體的體積翻番此時我發現兩個桶里盛有同量的液體,而在桶中,水比牛奶多出升現在要問你們,開始時有多少水和牛奶,而在結束時,每個桶里又有多少水和牛奶？【考點】溶液濃度問題 【難度】4星 【題型】解答 假設一開始桶中有液體升,桶中有升第一次將桶的液體倒入桶后,桶有液體升,桶剩升；第二次將桶的液體倒入桶后,桶有液體升,桶剩升；第三次將桶的液體倒入桶后,桶有液體升,桶剩升由此時兩桶的液體體積相等,得,現在還不知道桶中裝的是牛奶還是水,可以將稀釋牛奶的過程列成下表：桶桶原桶液體：原桶液體原桶液體：原桶液體初始狀態第一次桶倒入桶第二次桶倒入桶第三次桶倒入桶由上表看出,最后桶中的液體,原桶液

17、體與原桶液體的比是,而題目中說“水比牛奶多 升”,所以原桶中是水,原桶中是牛奶因為在中,“”相當于1升,所以2個單位相當于1升由此得到,開始時,桶中有 升水,桶中有升牛奶；結束時,桶中有3升水和1升牛奶,桶中有升水和升牛奶【答案】桶中有3升水和1升牛奶,桶中有升水和升牛奶有,兩個桶,分別盛著水和某含量的酒精溶液先把桶液體倒入桶,使桶中的液體翻番；再將桶液體倒入桶,使桶中的液體翻番此時,兩桶的液體體積相等,并且桶的酒精含量比桶的酒精含量高問：最后桶中的酒精含量是多少？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 因為最后桶的酒精含量高于桶,所以一開始桶盛的是酒精溶液設一開始桶中有液體,桶中有

18、第一次從桶倒入桶后,桶有,桶剩；第二次從桶倒入桶,桶有,桶剩由,得再設開始桶中有純酒精,則有水將酒精稀釋過程列成表如圖：由題意知,解得所以最后桶中的酒精含量是【答案】、三瓶鹽水的濃度分別為、,它們混合后得到克濃度為的鹽水如果瓶鹽水比瓶鹽水多克,那么瓶鹽水有多少克？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 設瓶鹽水有克,則瓶鹽水為克,瓶鹽水為克則,解得所以瓶鹽水為：克【答案】模塊三、濃度三角解分數應用題某班有學生48人,女生占全班的37.5,后來又轉來女生若干人,這時人數恰好是占全班人數的40,問轉來幾名女生？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 濃度差之比124, 4824

19、1=2人,重量之比 241這是一道變換單位“1”的分數應用題需抓住男生人數這個不變量,如果按濃度問題做,就簡單多了。轉來2名女生。【答案】2小明到商店買紅、黑兩種筆共66支紅筆每支定價5元,黑筆每支定價9元由于買的數量較多,商店就給予優惠,紅筆按定價付錢,黑筆按定價付錢,如果他付的錢比按定價少付了,那么他買了紅筆多少支？【考點】溶液濃度問題 【難度】2星 【題型】解答 濃度倒三角的妙用紅筆按優惠,黑筆按優惠,結果少付,相當于按優惠,可類似濃度問題進行配比,得到紅、黑兩種筆的總價之比為,而紅、黑兩種筆的單價分別為5元和9元,所以這兩種筆的數量之比為,所以他買了支紅筆通過以上例題,我們可以看出,只

20、要我們在解題時善于抓住事物間的聯系,進行適當轉化,就能發現其中的規律,找到解決問題的巧妙方法。【答案】有兩包糖,每包糖內都裝有奶糖,水果糖和巧克力糖已知：第一包糖的粒數是第二包的；在第一包糖中,奶糖占,在第二包糖中,水果糖占；巧克力在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的兩倍當兩包糖合在一起時,巧克力糖占,那么,水果糖所占的百分比等于多少？【考點】溶液濃度問題 【難度】3星 【題型】解答 由于第一包糖的粒數是第二包糖的,不妨設設第二包有糖塊,則第一包有糖塊設巧克力糖在第二包糖中所占的百分比為,則巧克力糖在第一包糖中所占的百分比為,根據題意,有：,解得,所以巧克力糖在第一包中占的百分比為,那么,在第一包糖中,水果糖占當兩包糖合在一起時,水果糖所占的百分比是：【答案】有兩包糖,第一包糖由奶糖和水果糖組成,其中為奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖組成,其中為酥糖將兩包糖混合后,水果