1、淺談對(duì)數(shù)學(xué)的審美認(rèn)知數(shù)學(xué)美是以數(shù)及數(shù)理關(guān)系認(rèn)知物質(zhì)世界的反映。我們探究數(shù)學(xué)美，即是用審美思維和方式認(rèn)知數(shù)、數(shù)理關(guān)系及其內(nèi)在特有的規(guī)律和法那么，培養(yǎng)數(shù)學(xué)審美觀，提醒數(shù)學(xué)審美價(jià)值，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的開展。不夸張的講，數(shù)學(xué)可以詮釋世間萬(wàn)物，更能詮釋萬(wàn)物之美。比方對(duì)音樂(lè)而言，最簡(jiǎn)單的1、2、3、4、5、6、7已是音樂(lè)的化身，其變化讓我們感悟到無(wú)限音樂(lè)之美；就現(xiàn)代科技而言，數(shù)碼成像技術(shù)、計(jì)算機(jī)運(yùn)用等是對(duì)客觀物象進(jìn)展數(shù)字編碼以及依存于數(shù)學(xué)二進(jìn)制的規(guī)律，從而表達(dá)了現(xiàn)代科技之美；即或是歡樂(lè)童年、青春年華、遲暮之年等也是用數(shù)年齡的變化詮釋人生不可違犯的生命法那么；相對(duì)論電子波動(dòng)方程可以列入20世紀(jì)

2、科學(xué)的最高成就之一，而促使狄拉克成就這一方程的初衷是基于方程的完美性和數(shù)學(xué)形式美的動(dòng)機(jī)，他曾經(jīng)說(shuō)我的許多工作正是玩弄方程，并看它們給出些什么那是個(gè)漂亮的數(shù)學(xué)結(jié)果；同樣，數(shù)學(xué)中不少猜想得以證明，往往是基于數(shù)學(xué)內(nèi)在的節(jié)奏、勻稱、和諧的審美特質(zhì)，從而從相似性歸納、演繹出數(shù)學(xué)規(guī)律性等。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)不僅詮釋萬(wàn)物之美，更是人類審美智慧的結(jié)晶，探究數(shù)學(xué)之美，有助于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解運(yùn)用，使之更好地效勞于現(xiàn)代科技和社會(huì)。一、樹立數(shù)學(xué)審美觀著名的雕塑家羅丹說(shuō)過(guò)：美是到處都有的，對(duì)于我們的眼睛，不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)。在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，人們往往處于嚴(yán)謹(jǐn)、理性的分析、判斷、推理的數(shù)學(xué)思維狀態(tài)，難免讓人覺(jué)得數(shù)學(xué)是

3、那么的高深而不可親近，甚至于覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，更談不上有何美的感受。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)概念、數(shù)理關(guān)系背后，存在著無(wú)盡的審美現(xiàn)象，只不過(guò)我們?nèi)狈?duì)數(shù)學(xué)的審美認(rèn)知和審美需求。數(shù)學(xué)審美過(guò)程是將數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律外化的過(guò)程，是將數(shù)理邏輯轉(zhuǎn)化為現(xiàn)象感知的過(guò)程，從審美的角度來(lái)認(rèn)知數(shù)學(xué)現(xiàn)象和本質(zhì)，樹立數(shù)學(xué)審美觀，有助于開闊視野，活潑數(shù)學(xué)思維。比方：圓的審美意義，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派從數(shù)學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)圓的對(duì)稱之美與和諧之美，認(rèn)為一切平面圖形中最美的是圓形，這個(gè)審美認(rèn)識(shí)無(wú)不令人嘆服，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越藝術(shù)家的審美感受。事實(shí)如此，假設(shè)在圓所在的平面，以圓心為對(duì)稱點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)至任何角度，都與原圖重合。可見(jiàn)圓是平面中最完美的對(duì)稱圖形。從視覺(jué)現(xiàn)

4、象而言，圓又是最為簡(jiǎn)潔、完好的圖形。同樣，人們又延伸其圓滿的人文意義，放大其審美價(jià)值。即或是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10在數(shù)學(xué)思維中包含自然數(shù)、奇偶數(shù)、等差關(guān)系、極限變化等不同的含義和數(shù)理關(guān)系，但只要納入視覺(jué)領(lǐng)域，就會(huì)立即產(chǎn)生形態(tài)大孝物象多少、圖形變化、漸變與延伸等審美關(guān)系和無(wú)窮盡的對(duì)象化的審美客體，這就是數(shù)學(xué)中最質(zhì)樸的審美認(rèn)知。反之，探討數(shù)學(xué)的審美性，有助于形成不同的數(shù)學(xué)思維，推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的開展。二、強(qiáng)化數(shù)學(xué)審美意識(shí)在認(rèn)識(shí)中，人們習(xí)慣性地把數(shù)學(xué)思維等同于邏輯思維、理性思維，而認(rèn)為形象思維、感性思維與數(shù)學(xué)無(wú)緣。事實(shí)上，數(shù)學(xué)思維并不排斥其它思維方式，只不過(guò)由于數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)使邏輯思維

5、、理性思維與形象思維、感性思維等在數(shù)學(xué)思維中呈現(xiàn)出主次、強(qiáng)弱、顯性與隱性等差異，而不是非此即彼的關(guān)系。審美活動(dòng)是形象思維、感性思維的表現(xiàn)形式。在數(shù)學(xué)中，存在無(wú)盡的審美要素、審美關(guān)系和審美空間。比方：所有可圖示化的數(shù)學(xué)問(wèn)題就是通過(guò)視覺(jué)形象來(lái)進(jìn)展分析、判斷和思維的，視覺(jué)形象的呈現(xiàn)、聯(lián)絡(luò)與變化關(guān)系都對(duì)應(yīng)于內(nèi)在的數(shù)理、比例、尺度和規(guī)律等，這些不僅是數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是美學(xué)問(wèn)題，涉及形式、構(gòu)造、和諧、節(jié)奏、韻律等審美表現(xiàn)。相反，假設(shè)我們從形式、構(gòu)造、和諧、節(jié)奏等的內(nèi)在審美特質(zhì)出發(fā)來(lái)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維才能。三、數(shù)學(xué)美的表達(dá)數(shù)學(xué)美的含義非常廣泛，具有含蓄性，不像數(shù)學(xué)概念那樣具有明確定義。從哲理上講，

6、數(shù)或數(shù)理關(guān)系可從內(nèi)在特質(zhì)與形式表現(xiàn)兩方面詮釋萬(wàn)物之美。所以，數(shù)學(xué)美表達(dá)于兩方面：一是表達(dá)于數(shù)學(xué)形式構(gòu)造的外在美，比方：三角函數(shù)的雙曲線的形式構(gòu)造很美；二是表達(dá)于內(nèi)在的規(guī)律、秩序和節(jié)奏美。同樣，本文由論文聯(lián)盟.Ll.搜集整理三角函數(shù)的雙曲線從視覺(jué)形式看很美，但它更是對(duì)一種變化過(guò)程與趨勢(shì)的美學(xué)反映。當(dāng)然，對(duì)于藝術(shù)而言，諸如音樂(lè)的節(jié)奏與韻律、人體的比例與尺度、建筑的構(gòu)造與造型等我們很容易去感知與理解。對(duì)于數(shù)學(xué)而言，就需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，而且不是單純?nèi)フJ(rèn)知某種數(shù)學(xué)審美現(xiàn)象，而是將審美意識(shí)表達(dá)于數(shù)學(xué)思維過(guò)程，以期最大化地實(shí)現(xiàn)其審美價(jià)值和功能。這里，作者結(jié)合長(zhǎng)期的高等數(shù)學(xué)教學(xué)理論，僅從美的形式、美的構(gòu)造以及意

7、境美幾方面來(lái)看數(shù)學(xué)之美。一形式美形式美主要從感官而言。許多數(shù)學(xué)圖形和數(shù)學(xué)公式都表現(xiàn)出極強(qiáng)的形式美感，這有助于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知和理解。譬如：有人做過(guò)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生分別學(xué)習(xí)勾股定理a2+b2=2和歐拉公式Ei？仔+1=0，看學(xué)生能否體驗(yàn)到其中的美。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)勾股定理較容易感受到美，認(rèn)為它很奇妙，且容易記憶和運(yùn)用。對(duì)于歐拉公式，盡管有著很好的統(tǒng)一性和奇異性，它將數(shù)學(xué)中最常用的5個(gè)常數(shù)0，1，i，e，？仔用極為簡(jiǎn)單的方式聯(lián)絡(luò)到了一起，在歷史上受到過(guò)很多人的贊美，但是，由于學(xué)生不理解這個(gè)公式的由來(lái)和其中包含的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)這個(gè)公式反響漠然1。1.漸變指客觀對(duì)象或某種現(xiàn)象逐漸的、有規(guī)律性

8、的變化。對(duì)于藝術(shù)而言，漸變是藝術(shù)家從事藝術(shù)創(chuàng)作普遍遵守的法那么，其審美性表達(dá)于一種強(qiáng)烈的空間感、運(yùn)動(dòng)感和無(wú)限延伸的張力，比方鐵路邊電線桿出現(xiàn)近大遠(yuǎn)小的變化，汽車行駛逐漸遠(yuǎn)去的過(guò)程，飛機(jī)聲音的變大與消失，溫度的逐漸升高等現(xiàn)象，就是一種典型的漸變效果。這種效果廣泛運(yùn)用于現(xiàn)代繪畫與設(shè)計(jì)中。在數(shù)學(xué)中，許多概念和邏輯規(guī)律包含了這種漸變的審美意義。比方：等比數(shù)列、等差數(shù)列、極限概念等。同樣，對(duì)于再簡(jiǎn)單不過(guò)的1、2、3、4、5，而言，我們賦予它不同的度量關(guān)系，就可產(chǎn)生多少、大孝遠(yuǎn)近、輕重、上下等詳細(xì)可感的、漸變的審美現(xiàn)象，從而豐富了對(duì)數(shù)學(xué)的理解。2.變化與統(tǒng)一變化與統(tǒng)一是形式美的總法那么，是對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律的詳

9、細(xì)化。在藝術(shù)表現(xiàn)過(guò)程中，變化與統(tǒng)一常常成為指導(dǎo)藝術(shù)創(chuàng)作和衡量藝術(shù)效果的標(biāo)尺。比方：大孝黑白、明暗、疏密等變化關(guān)系，相似形狀、鄰近色、環(huán)境色等的統(tǒng)一關(guān)系。同樣，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域大部分概念和構(gòu)造體系都以變化與統(tǒng)一的關(guān)系存在。比方：平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線定理，從構(gòu)造上都可以統(tǒng)一于圓冪定理，但又各有變化。解析幾何中的拋物線、雙曲線都統(tǒng)一于圓錐曲線，從視覺(jué)上相似，但內(nèi)容上不一樣。如有限與無(wú)限、曲線與直線、切線與割線的轉(zhuǎn)化的概念比照等。我們之所以要探究或放大這些審美關(guān)系，因?yàn)樗兄谖覀儗?duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，進(jìn)一步提醒數(shù)學(xué)的微妙，將數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛運(yùn)用于現(xiàn)代科技和社會(huì)開展中。3.系列化

10、系列化是藝術(shù)表現(xiàn)中強(qiáng)化相似性的審美原那么，即具有一樣根本構(gòu)造和屬性的客體重復(fù)出現(xiàn)，起到強(qiáng)化視覺(jué)效果突出內(nèi)在特質(zhì)的作用。比方日常生活中人們使用的各種商品，絕大部分是以系列化方式開發(fā)和銷售的：化裝品按男性系列、女性系列，季節(jié)系列，香味系列，價(jià)額系列，款式系列等來(lái)開發(fā)和銷售就是如此。最為耳熟能詳?shù)钠放贫?，就是產(chǎn)品系列化的存在方式。同樣，不同的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，其內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)絡(luò)往往構(gòu)成從公理到定理，再到推論、誘導(dǎo)公式等系列構(gòu)造。如：三角函數(shù)源于對(duì)角、邊關(guān)系的研究，其本質(zhì)是任何角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。三角函數(shù)的定理、推論、根本公式誘導(dǎo)公式、和差化積、積化和差、倍角公式、半角公式、萬(wàn)能公式

11、等很多、很復(fù)雜，但只要從系列化角度去理解和把握其內(nèi)在規(guī)律就使問(wèn)題簡(jiǎn)單化了。所以，感知三角函數(shù)定理、推論、誘導(dǎo)公式等表達(dá)出來(lái)的系列化的形式美感，有助于我們掌握三角函數(shù)的本質(zhì)，有助于進(jìn)步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。二構(gòu)造美構(gòu)造美主要討論事物內(nèi)在的特質(zhì)與骨骼。法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒曾作過(guò)闡述：數(shù)學(xué)的構(gòu)造美是指一種內(nèi)在的美，它來(lái)自各部分的和諧秩序，并能為純粹的理智所領(lǐng)會(huì)，可以說(shuō)，正是這種內(nèi)在美給了滿足我們感官的五彩繽紛美景的骨架，使我們面對(duì)一個(gè)秩序井然的整體，可以預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)定理。2任何審美對(duì)象其背后都由內(nèi)在構(gòu)造做支撐，即審美表現(xiàn)包含現(xiàn)象美和內(nèi)在美，內(nèi)在美即構(gòu)造美，對(duì)構(gòu)造美的討論是當(dāng)代藝術(shù)的重要審美活動(dòng)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)

12、各領(lǐng)域有其明顯的構(gòu)造體系，但對(duì)這種構(gòu)造體系的認(rèn)知與研究往往是放在科學(xué)與邏輯范疇，而未放在藝術(shù)領(lǐng)域去感知，好在大家對(duì)數(shù)學(xué)中存在的構(gòu)造美的研究逐漸受到重視。數(shù)學(xué)中構(gòu)造美表達(dá)為兩方面，一是指構(gòu)造的規(guī)律、秩序、比例與和諧關(guān)系等特質(zhì)。如：秩序性是數(shù)列的構(gòu)造美，比例是黃金分割的構(gòu)造特征，對(duì)稱性是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的構(gòu)造美等。二是指構(gòu)造的關(guān)系美，就這一點(diǎn)而言，數(shù)學(xué)中群的概念就是最好的理解。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中最能表達(dá)構(gòu)造關(guān)系的是群的概念，群構(gòu)造觀點(diǎn)已浸透到數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域。無(wú)論是幾何學(xué)還是代數(shù)學(xué)等都可以按照不同的群構(gòu)造加以分類，從構(gòu)造觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于對(duì)某種數(shù)學(xué)特質(zhì)和關(guān)系的理解，因?yàn)閿?shù)學(xué)特質(zhì)和關(guān)系往往是以一種體系

13、呈現(xiàn)，任何體系都存在于某種同構(gòu)性的或相似性的構(gòu)造中，所以在研究問(wèn)題時(shí)只要抓住一種構(gòu)造進(jìn)展分析即可，構(gòu)造分析法是數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)方法，數(shù)學(xué)的構(gòu)造美同樣表達(dá)于數(shù)學(xué)知識(shí)本身的嚴(yán)謹(jǐn)與和諧。比方：高等數(shù)學(xué)是利用極限這個(gè)工具去研究函數(shù)的各種特性，所以高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容安排順序上也表達(dá)明顯的構(gòu)造關(guān)系：從函數(shù)研究對(duì)象到極限論研究工具到微分函數(shù)的變化率再到積分相反問(wèn)題及其它們的應(yīng)用。這種整體構(gòu)造從概念、定理、性質(zhì)及其運(yùn)用等表達(dá)出的嚴(yán)謹(jǐn)和諧的特點(diǎn)，如同五言律詩(shī)和七言律詩(shī)最根底的平仄構(gòu)造是其構(gòu)造美的表達(dá)。數(shù)學(xué)中構(gòu)造美表達(dá)于對(duì)任何公理、定理的內(nèi)涵表述的高度概括性，同樣，由公理、定理推演出龐大的理論體系，有其內(nèi)在嚴(yán)密的邏輯

14、構(gòu)造，其形式表現(xiàn)極具相似性，這種極為簡(jiǎn)潔的形式關(guān)系和相似性說(shuō)明內(nèi)在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉?gòu)造美。三意境美數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，人們往往不假思索地認(rèn)為數(shù)學(xué)思維就是邏輯思維，事實(shí)上這是機(jī)械的認(rèn)識(shí)，形象思維先于邏輯證明，邏輯思維往往是基于形象和空間意境之上的，或者說(shuō)是基于美感直覺(jué)的幫助，盡管這種直覺(jué)往往是無(wú)從解釋的，但在數(shù)學(xué)思維中，會(huì)產(chǎn)生無(wú)限接近結(jié)論的思維與方法。例如：平面上有直線L及其同側(cè)的兩點(diǎn)A、B，在直線L上求一點(diǎn)，使從X軸看A、B所張的視角最大。相信大家頭腦中首先瞬間浮現(xiàn)的是平面、直線和兩點(diǎn)處于某種空間狀，形成一種畫面感，在這個(gè)意境中不斷調(diào)整、分析、判斷其互相的對(duì)應(yīng)的某種視覺(jué)關(guān)系，從而感知視角變化，整個(gè)過(guò)程都是形象思維過(guò)程，之后才去作邏輯證明。這種呈現(xiàn)于意識(shí)中的畫面感、空間感、運(yùn)動(dòng)感等是美的，不僅有助于人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知與理解，更大大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的開展。四、完畢語(yǔ)樹立數(shù)學(xué)審美意識(shí)，盡管數(shù)學(xué)美是個(gè)模糊且含蓄的問(wèn)題，是認(rèn)知者個(gè)體的內(nèi)在感受和體悟，不像數(shù)學(xué)問(wèn)題那樣可以得到邏輯