1、一、背景介紹從金融資產價格中提取信息近年來越來越受國內外的重視，金融資產價格隱含了市場參與者對未來的預期。由于未來具有太多的不確定性，因此采用資產價格的分布去描述資產的未來預期是一種較好的方法。在傳統研究中，主要會根據歷史數據特征的應用，去預測未來價格的分布。但是這種方法需要一個十分嚴格的假設即資產的價格分布是穩態的。然而大量的實際數據表明，金融數據并不是穩態的且其變化具有隨機性，因此，使用歷史的數據去預測未來的分布的做法具有較大的局限性。近年來，越來越多的學者放棄了傳統的研究方式，轉而去使用期權的一些特性去估計資產價格的分布。這樣做法的好處在于期權代表的是未來資產的價格，其中隱含了對未來的預

2、期。這樣做也避免了要求資產價格需要有冗長的時間序列樣本這一問題本文將從期權的價格的角度出發，通過期權價格所反映出來的一系列特性，去預測標的物本身的價格的概率分布。本文將從以指數 ETF 期權以及商品期權出發，去預測標的物的價格概率分布。商品期權即以商品期貨作為標的物的期權，商品期權可以平衡期貨頭寸風險，并增加對底層資產進行投資的吸引力。值得一提的是，有部分商品期權為美式期權，其在文中的計算方式和歐式期權的計算方式存在差異。二、標的物介紹本文使用期權的標的物為 50ETF，300ETF 以及商品期貨。上證 50ETF 作為上海市場最具代表性的藍籌指數之一是境內首只交易型開放式指數基金（ETF）的

3、跟蹤標的。其中股票的選取方法是根據總市值、成交金額對股票進行綜合排名，取排名前 50 位的股票組成樣本。滬深 300ETF 是以滬深 300 指數為標的的在二級市場進行交易和申購/贖回的交易型開放式指數基金。滬深 300 指數以規模和流動性作為選樣的兩個根本標準，并賦予流動性更大的權重，符合該指數定位于交易指數的特點。滬深 300ETF 分為華泰柏瑞版和嘉實版，文中使用的是華泰柏瑞版。本文中所使用的商品期貨標的物主要有：滬金（AU2010），玉米（C2005），棉花（CF2005），銅（CU2003），鐵礦石（I2005），橡膠（RU2003），豆粕（M2005），PTA（TA2004）。三、

4、BSM-model 介紹BSM-model 是以 Black，Scholes，Merton 三位經濟學家名字縮寫命名的期權定價模型，該模型被譽為現代期權定價理論的基礎。該模型假設標的物本身遵循幾何布朗運動即：d/ = + 其中，為無風險利率，為標的物的波動率。接著，構建一個無風險的投資組合（買入一份標的物的同時賣出一份該標的物對應的期權）并通過一系列數學推導可以得到 BSM-model 的 PDE 形式（如下）12+ 2 + 22 = 0其中為期權價值，為標的物價值。該 PDE 形式也包含了期權的幾個重要希臘字母（Delta，Gamma，Theta）其中 Theta 對應 PDE 的第一項，表

5、明期權價格對剩余時間的一階導數，也是期權的時間價值隨時間流逝的速度。Gamma 對應 PDE 的第二項，是期權價格對標的物的二階導數，也可以理解為 Delta 變化對期權價格變動的影響。Delta 為 PDE 的第三項，表明了期權價格對標的物價格的一階導數，也可以理解為標的物價格變動對期權價格變動的影響。另外還有一個重要的希臘字母 Vega 是期權價格波動率的一階導數，也可以理解為波動率變動對期權價格的變動影響。這些希臘字母是隨著期權標的物和時間不同動態變化的。如下面四張圖所示，分別是以起始日期為 2019 年 9 月 26 日和到期日為 2019 年 11 月 27 日的 50ETF 期權隨

6、時間和行權價不同的三維圖。圖 1： 50ETF 期權Delta（2019-09-26 到 2019-11-27）圖 2： 50ETF 期權 Gamma（2019-09-26 到 2019-11-27）數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院圖 3： 50ETF 期權Theta（2019-09-26 到 2019-11-27）圖 4： 50ETF 期權 Vega（2019-09-26 到 2019-11-27）數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院我們從圖中可以看到，Delta 在每一個時間截面上呈

7、現的是鐘形的結構，Delta 值越高，期權隨著標的物價格的改變就越快。Theta 在到期日快來臨時，其值迅速下降，也就是說期權的時間價值在快接近到期日時下降的很快。接下來我們會關注 BSM-model 的解析式。對于看漲期權，其解析式為：c(t, s) = 1(, ) ()2(, )對于看跌期權，其解析式為：p(t, s) = ()2(, ) 1(, )其中：ln () + ( +2)( )1 (, ) = 2 ln () + ( 2)( )2(, ) = 2 我們可以看到在 BSM-model 中，行權價（），期權的到期日（ ），無風險利率（），標的物的價格（）均為已知量，唯一沒有確定的量為

8、，即標的物的波動率。因此，我們通過估算標的物的波動率就可以很好的計算期權的價格。但是往往我們很難去估計標的物的波動率。當我們估算的波動率的時候，估算數據的長度以及使用估算波動率的方法都會使得波動率的差異性較大，也就造成了對期權價格估算的不準確。實際上，我們更多的是在知道現有期權價格的基礎上使用 BSM-model 去反推標的物的波動率，該波動率也被稱為期權的隱含波動率。如下圖 5，6 所示，分別為隱波動率隨時間和行權價變化的 3D 圖以及隱波動率隨行權價變化的截面圖。依據公式，隱波動率在每一個截面上應該是一條平行于行權價的線，但是實際上是一條兩邊向上彎曲的線（也被稱為隱波動率的微笑）。從這個角

9、度也說明了很難通過對波動率的估計去對期權進行準確定價。圖 5： 50ETF 隱波動率（2019-09-26 到 2019-11-27）圖 6： 50ETF 隱波動率微笑（2019-11-25）數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院另一方面，隱含波動率可以理解為資產所反映的，對未來一段時間價格的預期，如果市場是有效的，則隱含波動率反應的應該是對未來波動率的有效估計。比如在 2008 年金融危機時，隱含波動率就起到了很好的預警作用。下文我們將使用隱含波動率去估計標的物的統計分布情況。四、BAW-model 介紹BSM model 的弊端在于僅僅對歐

10、式期權進行了很好的定價，并不能對美式期權進行較好的定價，美式期權即在到期日前的任何時間段都可以行權。在我國的商品期權市場上，有較多的商品期權屬于美式期權。在這里我們引入了 BAW model，該模型較好的解決了美式期權的定價問題。既然美式期權可以在到期日前的任意時間段都可以行權，相對于歐式期權來說這種行權時間的靈活性將產生一個溢價，所以美式期權的價格應該等于歐式期權的價格加上這部分溢價。在上面的 BSM model 介紹中我們已經知道歐式期權的定價是有解析式的。那么美式期權的定價核心就是解決這部分溢價的問題。我們繼續從 BSM model 的偏微分方程出發，因為歐式期權和美式期權都滿足該偏微分

11、方程，那么這部分溢價也應滿足偏微分方程，所以有：(, ) = (, ) (, )12+ 2 + 22 = 0其中，(, )為美式期權價格，(, )為歐式期權價格。現在我們假設：(, ) = ()(, )將該表達式代入偏微分方程，經過一系列的數學變換，我們可以得到美式期權的 BAW 定價公式為：C(S, T) = (, ) + (/)2 , 11P(S, T) = S, 1其中 X 為行權價，為美式期權價格與立刻執行期權所獲得收益相等時的值。1 = 1 ()1()/12 = 1 ()1()/2通過如上公式，我們在知道美式期權的市場價格的情況下，就可以反推出其隱含波動率了。五、使用隱波動率去估算標

12、的物的統計分布我們使用隱含波動率作為預估的未來標的物的波動率，采用蒙特卡羅模擬的方式去模擬標的物的布朗運動，從而估算標的物價格的分布情況。蒙特卡羅模擬也稱為統計模擬方法和隨機抽樣技術。它以摩納哥著名賭城 Monte Carlo 命名，是一種以概率統計為指導的一類非常重要的數值計算方法。蒙特卡羅模擬的基本思想是當所要求解的問題是某種事件出現的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，它們可以通過某種“試驗”的方法，得到這種事件出現的頻率，或者這個隨機變數的平均值，并用它們作為問題的解。我們簡單的假設標的物的運動服從幾何布朗運動，即：此處的為隱波動率。其解析形式為：d/ = + = 0exp ( 22

13、) + )因為，0，均為已知量，我們只需通過蒙特卡羅模擬即可模擬出未來標的物的價格。此處我們采用 box-muller 公式產生，其計算方式如下：其中1和2均為0,1的均勻分布X = cos (21)22Box-muller 算法實現簡單，只需生成均勻分布的兩個隨機數即可得到標準正態分布。六、結果展示以 2020 年 2 月 11 日的 50ETF 期權為例。我們可以通過蒙特卡洛模擬估算出未來 50ETF的統計分布如下圖所示：圖 7： 50ETF 預測概率密度分布圖 8： 50ETF 預測累計概率分布數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院從累計

14、概率分布圖可以看到，結合 2 月 11 日的收盤價，其下跌的概率為 48.99%，下跌 5%的概率為 17.24%，上漲 5%的概率為 20.11%。所以，后續情況上漲概率更大，但同時，右尾端上漲的概率比左尾端下跌的概率略大。接下來我們會關注 300ETF 期權。以 2020 年 2 月 11 日的 300ETF（510300）期權為例。采用如上所述的方法，得到的密度分布圖以及累計概率圖分別為如下所示：圖 9： 300ETF 預測概率密度分布圖 10：300ETF 預測累計概率分布數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院從累計概率分布圖可以看到，

15、結合 2 月 11 日的收盤價，其下跌的概率為 48.92%，下跌 5%的概率為 4.2%，上漲 5%的概率為 5.4%。后續情況主要以震蕩為主。接著，我們會關注一些商品期權，在此只做展示，不做太多敘述。以 2020 年 2 月 11 日的滬金（AU2010）期權為例。采用如上所述的方法，得到的密度分布圖以及累計概率圖分別為如下所示：圖 11：AU2010 預測概率密度分布圖 12：AU2010 預測累計概率分布數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院從累計概率分布圖可以看到，結合 2 月 11 日的收盤價，其下跌的概率為 45.15%，下跌 5

16、%的概率為 25.35%，上漲 5%的概率為 34.75%。玉米期權（C2005）采用如上所述的方法，得到的密度分布圖以及累計概率圖分別為如下所示：圖 13：C2005 預測概率密度分布圖 14：C2005 預測累計概率分布數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院從累計概率分布圖可以看到，結合 2 月 11 日的收盤價，其下跌的概率為 45.51%，下跌 5%的概率為 4.35%，上漲 5%的概率為 8.07%。棉花期權（CF2005）采用如上所述的方法，得到的密度分布圖以及累計概率圖分別為如下所示：圖 15：CF2005 預測概率密度分布圖 1

17、6：CF2005 預測累計概率分布數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院從累計概率分布圖可以看到，結合 2 月 11 日的收盤價，其下跌的概率為 49.3%，下跌 5%的概率為 21.3%，上漲 5%的概率為 23.56%。銅期權（CU2003）采用如上所述的方法，得到的密度分布圖以及累計概率圖分別為如下所示：圖 17：CU2003 預測概率密度分布圖 18：CU2003 預測累計概率分布數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院從累計概率分布圖可以看到，結合 2 月 11 日的收盤價，其下跌的概率

18、為 48.90%，下跌 5%的概率為 1.50%，上漲 5%的概率為 2.48%。鐵礦石期權（I2005）采用如上所述的方法，得到的密度分布圖以及累計概率圖分別為如下所示：圖 19：I2005 預測概率密度分布圖 20：I2005 預測累計概率分布數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院從累計概率分布圖可以看到，結合 2 月 11 日的收盤價，其下跌的概率為 50.81%，下跌 5%的概率為 32.74%，上漲 5%的概率為 32.50%。豆粕期權（M2005）采用如上所述的方法，得到的密度分布圖以及累計概率圖分別為如下所示：圖 21：M2005

19、 預測概率密度分布圖 22：M2005 預測累計概率分布數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院從累計概率分布圖可以看到，結合 2 月 11 日的收盤價，其下跌的概率為 47.76%，下跌 5%的概率為 15.34%，上漲 5%的概率為 19.85%。橡膠期權（RU2003）采用如上所述的方法，得到的密度分布圖以及累計概率圖分別為如下所示：圖 23：RU2003 預測概率密度分布圖 24：RU2003 預測累計概率分布數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院從累計概率分布圖可以看到，結合 2 月 1

20、1 日的收盤價，其下跌的概率為 50.36%，下跌 5%的概率為 17.06%，上漲 5%的概率為 17.91%。PTA 期權（TA2004）采用如上所述的方法，得到的密度分布圖以及累計概率圖分別為如下所示：圖 25：TA2004 預測概率密度分布圖 26：TA2004 預測累計概率分布數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院數據來源：Ricequant 華泰期貨研究院從累計概率分布圖可以看到，結合 2 月 11 日的收盤價，其下跌的概率為 49.94%，下跌 5%的概率為 18.42%，上漲 5%的概率為 19.70%。上述預測概率密度分布的四階統計量如下表所示。表格 1:預測概率密度分布的四階統計量資產類別平均值標準差偏度峰度50ETF2.87990.16180.1785-0.0131300ETF3.94750.11910.0507-0.1164AU2010363.174434.11450.27170.0734C20051931.425962.51080.071-0.043CF200513168.1395862.91830.1809-0.043CU200345624.74351095.63540.0727-0.022M20052669.3584143.04730.19780.067