1、第一章 集合與常用邏輯用語1.4充分條件與必要條件 第2課時學習目標 1通過對典型數學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數學定義與充要條件的關系,培養數學抽象的核心素養。2會對某些命題的充要條件進行證明，培養邏輯推理的核心素養。重點、難點 重 點：理解充要條件的含義難 點：充分性、必要性證明充要條件的關系（一）新知導入創設情境，生成問題我國戰國時期，墨子所著墨經對充分條件、必要條件的描述：充分條件：“有之則必然，無之則未必不然”必要條件：“無之則必不然，有之則未必然 ”物理中的邏輯古文中的邏輯在、兩個電路中，A、C的開閉與燈泡B亮起來，會形成什么邏輯條件呢？思考 你能舉生活中存在“充分條件或

2、必要條件” 的邏輯語句或事例嗎？思考（一）新知導入探索交流，解決問題【問題1】已 知 p: 整數a是6的倍數, q: 整數a是2和3的倍數.請判斷: p是q的充分條件嗎? p是q的必要條件嗎?答案pq,故p是q的充分條件,又qp,故p是q的必要條件.【思考1】通過判斷,你發現了什么?這種關系是否對任意一個“若p,則q”的命題只要具備上述命題的條件都成立?你能用數學語言概括出來嗎?提示 可以發現：p既是q的充分條件,又是q的必要條件, 且這種關系對“若p,則q”的命題只要具備pq,qp都成立, 即pq.（二）充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有pq，又有qp，就

3、記作_此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的_，簡稱為充要條件(sufficient and necessary condition)顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的_概括地說，如果_，那么p與q互為充要條件充分必要條件充要條件（二）充要條件（1） 如果p是q的充要條件，那么p與q是兩個相互等價的命題，這種說法對嗎？（2）“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區別在哪里？（3） p是q的條件判斷還有什么情況？【思考2】答案 （1） 正確。（2） p是q的充要條件說明p是條件，q是結論；p的充要條件是q說明q是條件，p是結論。（3） 若pq，但q p，則稱p是

4、q的充分不必要條件 若qp，但p q，則稱p是q的必要不充分條件 若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件。（二）充要條件【辯一辯】判斷正誤：(1) q是p的必要條件時，p是q的充分條件()(2) 若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題( )(3) q不是p的必要條件時，“p q”成立()【做一做】充要A（三）充要條件的判斷例 1.【思維引導】分兩個步驟進行判斷:判斷充分性pq; 判斷必要性qp.【解析】（三）充要條件的判斷2. 集合法【類題通法】充分、必要條件的判斷方法1. 定義法若pq，但qp， 則稱p是q的充分不必要條件若qp，但pq， 則稱p是q的必要不充分條件若

5、pq，且qp， 則稱p是q的充要條件。若pq，且qp， 則稱p是q的既不充分也不必要條件。記法關系A BB AA=B圖示結論p是q 的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p,q互為充要條件p是q的既不充分也不必要條件（三）充要條件的判斷【鞏固練習1 】解析(1)pq，q不能推出p，p是q的充分不必要條件 (2)pq，q不能推出p，p是q的充分不必要條件 (3)p不能推出q，qp，p是q的必要不充分條件 (4)ab0時，|ab|ab，“|ab|ab”不能推出 “ab0”，即p不能推出q. 而當ab0時，有|ab|ab，即qp. p是q的必要不充分條件（四）充要條件的探求與證明思維引導從充分性、必

6、要性兩方面證明易錯提醒：充分性與必要性的推導方向不能弄錯例2.證明必要性（四）充要條件的探求與證明【類題通法】在證明時要注意兩種敘述方式的區別：p是q的充要條件，則由pq證的是充分性，由qp證的是必要性；p的充要條件是q，則由pq證的是必要性，由qp證的是充分性證明【鞏固練習2】充要條件的證明分充分性的證明和必要性的證明（四）充要條件的探求與證明例3.【思維引導】至少有一個負根可能是一個負根也可能是兩個負根，需要分類討論解析（四）充要條件的探求與證明(1) 探求A成立的充要條件時，先將A視為條件，并由A推導結論(設為B)， 再證明B是A的充分條件，這樣就能說明A成立的充要條件是B， 即從充分性和必要性兩方面說明 (2) 將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其成立的充要條件，探求的 過程同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不 需要將充分性和必要性分開來說明【類題通法】探求充要條件的方法（四）充要條件的探求與證明【鞏固練習3】解析（五）操作演練 素養提升答案 1.B 2.B 3.A 4.A 1設xR，則“1x2”是“1x4”是