1、第二章 隨機信號分析2.1 隨機過程的基本概念2.2 平穩隨機過程2.4 高斯過程2.5 窄帶隨機過程2.6 隨機過程通過線性系統12.1 隨機過程的基本概念隨機過程是時間t的函數在任意時刻觀察，它是一個隨機變量隨機過程是全部可能實現的總體 23分布函數與概率密度：設 表示一個隨機過程， （t1為任意時刻）是一個隨機變量。 F1（x1，t1）=P x1 的一維分布函數如果存在 則稱之為 的一維概率密度函數 4 的n維分布函數n維概率密度函數 n越大，Fn，fn描述 的統計特性就越充分5數學期望與方差 E = D =E -E 2 =E 2-E 2 =協方差函數與相關函數 用來衡量任意兩個時刻上獲

2、得的隨機變量的統計相關特性協方差 B（t1，t2）=E -a（t1） -a（t2）=6相關函數 R（t1，t2）=E =B（t1，t2）=R（t1，t2）-E E ， 表示兩個隨機過程互協方差函數 互相關函數72.2 平穩隨機過程任何n維分布函數或概率密度函數與時間起點無關任意的n和 因此，一維分布與t無關，二維分布只與t1，t2間隔 有關。均值 （2）方差 （3）相關函數 R（t1，t2）= （4）（1）8均值，方差與時間無關相關函數只與時間間隔有關滿足（2），（3），（4）廣義平穩（寬平穩）滿足（1） 狹義平穩 （嚴平穩） 時間平均：取一固定的樣本函數（實現）對時間取平均 x（t）為任意實

3、現9平穩隨機過程 ，其實現為x1（t），x2（t），xn（t），如其時間平均都相等，且等于統計 平均， 即 a= 則稱平穩隨機過程 具有各態歷經性。 各態歷經性可使統計平均轉化為時間平均，簡化計算。10相關函數與功率譜密度 為實平穩隨機過程，其自相關函數性質：（1） R（0）=E =S 的平均功率（2） R（ ）=R（- ） R（ ）是偶函數（3） 證明：11（4） 的直流功率（5） 的交流功率 任意確定功率信號f（t），功率譜密度 是fT（t）（f（t）截短函數）的頻譜函數隨機過程的功率譜密度應看作是每一可能實現的功率譜的統計平均， 某一實現之截短函數12你應該知道的：傅里葉變換記為：F（j

4、）=F f（t）f（t） =F -1F（j）13 的自相關函數與功率譜密度之間互為傅氏變換關系例：某隨機過程自相關函數為R（ ），求功率譜密度。解：1415例 求隨機相位正弦波 的自相關函數與功率譜密度， 常數， 在（0，2 ）均勻分布。解 162.3高斯過程 任意的n維分布都服從正態分布的隨機過程一維概率密度函數 a 數學期望， 均方差， 方差f（x）關于 x=a 對稱f（x）在 單調上升， 單調下降 或 且有 1718分布函數 概率積分函數誤差函數互補誤差函數192.4 窄帶隨機過程窄帶：信號頻譜被限制在“載波”或某中心頻率附近一個窄的頻帶上，中心頻率遠離零頻20 同相分量 正交分量 為零

5、均值，平穩高斯窄帶，確定 統計特性21結論1：推導：由于 平穩，零均值，即任意t，均有22結論2：同一時刻 不相關，或統計獨立。 23令 t=0顯然要求令 同理可得（1）（2）24由（1），（2）可得根據互相關函數的性質，應有 是 的奇函數 有 同理可證 即同一時刻 不相關，或統計獨立。（3）25由（1），（2）還可得 平均功率相等即 方差相等結論3： ， 是高斯過程 證：當故：是高斯隨機變量。是高斯過程26重要結論：均值為零的窄帶平穩高斯過程，其同相分量和正交分量同樣是平穩隨機過程，均值為零，方差相同，在同一時刻得到的 及 不相關，或統計獨立。 27 統計特性 服從瑞利分布 服從均勻分布28

6、理想的寬帶過程白噪聲 n0為常數白噪聲的自相關函數僅在 時才不為零，故白噪聲只有在 時才相關，在任意兩個時刻上隨機變量都不相關。 29帶限白噪聲對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣，則各抽樣值是互不相關的隨機變量3031例：限帶3400Hz的語音信號和加性噪聲，以fs=6800Hz的速率對x（t）進行抽樣 tX(t)=s(t)+n(t)322.5隨機過程通過線性系統線性系統響應v0（t），輸入vi（t），沖激響應h（t）線性系統是物理可實現的，則 或當輸入是隨機過程 時，輸出為33假定輸入 是平穩隨機過程，考察 的特性（平穩性） 1、342、 的自相關函數由平穩性 輸出過程是廣義平穩的。353、 的功率譜密度令 則364、輸出過程 的分布將 改寫為和式： 可知：若 為正態隨機變量 也為正態隨機變量 高斯過程經線性變換后的過程仍為高斯的。37思考：隨機過程 ，A是均值為a，方差為 的高斯隨機變量，求：1、 及 的兩個一維概率密度。2、 是否廣義平穩？3、 的功率譜4、平均功率是多少