1、1.1.2 有約束情況下的拉格朗日方程討論：受約束的多個質點在保守力場中的運動方程出發點：牛頓第二定律設：N個質點，質量和矢徑分別是 。牛頓運動方程： 3N個標量方程一般情況下，3N個方程并不獨立。 方程組不獨立的原因：有約束的存在。1約束的定義：力學系統在運動過程中受到的限制 (包括對位置和速度的限制)約束的作用：1使力學系統的坐標之間發生關聯 而不全部獨立； 2給力學系統施加約束反力。約束反力： 約束總是通過一些外界物體(如輕桿、滑槽、軟繩等)作用在所研究的系統中的質點上。在運動過程中，系統中的質點對這些外界物體有作用力，同時受到這些物體的反作用力，稱為約束反力。2 由于約束反力的作用，使

2、質點的坐標滿足約束方程；約束反力隨時間變化，不能預先知道，只能通過解運動方程求得。約束方程：約束條件的數學表達式。可用等式或不 等式表示。約束的例子：(1) 阿特伍得機力學系統：物塊1 + 物塊2約束：光滑槽、輕繩、圓盤系統自由度：13m1的坐標： ；m2的坐標： 共6個直角坐標約束方程： (顯示屏所在平面) 5個方程。(自由度=6-5 =1)(2) 單擺描述m的坐標： (不獨立)約束方程： (一個獨立)系統自由度： 1 4 自由度數目少于坐標的數目N個質點的3N個笛卡爾坐標：若這些坐標滿足3N-S個等式 (約束方程)： x：全部的 獨立方程的個數：3N-(3N-S)=S力學體系只有S個獨立坐

3、標，即系統有S個自由度。5約束的分類：1. 約束方程 中不含時間t 穩定約束2. 約束方程 中含時間t 不穩定約束約束另外的分類1：可解約束與不可解約束 1. 由不等式表示的約束可解約束2. 由等式表示的約束不可解約束 約束另外的分類2：幾何約束與運動約束61. 對力學系統內各質點的位置加以限制的約束 幾何約束一般表示： 例子：剛體內任意兩質點間的距離保持不變，即2. 對力學系統內各質點的位置及速度加以限制的約束 運動約束一般表示： 7例子：半徑為R的圓柱在粗糙面上沿著直線做無滑動的 滾動。數學表示： (對著地點)將上式積分得到： 幾何約束 這樣，可積分的運動約束與幾何約束實質上沒有區別，它們

4、可以合稱為完整約束。 有些運動約束是不能積分的，這樣的約束稱之為非完整約束。 89例如，具有尖銳邊緣的薄圓盤在粗糙面上無滾動地滾動，則圓盤的著地點的速度為零。薄圓盤的盤面是可以轉動的，但當盤面始終保持豎直時，著地點的速度為零可表示為10將上式在x軸和y軸上投影，得以上兩個微分關系是不能積分的(即由它們無法得到形如 的方程 )，因而這樣的約束為非完整約束。 由于約束的存在，使得力學系統的坐標不再獨立 尋求獨立坐標11 對于一個有S個自由度的力學系統，找到S個適合的變量，使3N個笛卡爾坐標是這S個變量的函數：例子：單擺中小球的直角坐標和擺角之間的關系。 以上函數關系滿足約束方程，則這樣的S個變量

5、是決定系統中所有質點位置的獨立變量，稱為系統的廣義坐標。廣義坐標的引入解決了笛卡爾坐標因約束方程相關聯而不再全部獨立的困難；任意一組 S 個可以完全刻畫系統位置的變量 均可作為廣義坐標；而 稱為廣義速度。12 約束的存在，導致約束反力的存在，而約束反力不能預先知道，且很多時候并不關心約束反力“消去”約束反力，只留下S個獨立坐標所滿足的方程。設：作用在第a個質點上的力為 ， 寫為 ：主動力； ：約束反力。目標：“消去”約束反力。 注： 作用于第a個質點上的全部非約束性外力。13方法：引入虛位移、虛功。單擺的運動：質點只能在以懸點 (固定) O為球心，以 擺長 L為半徑的球面上運動。 虛位移的定義

6、：在任一時刻，約束所允許的位移稱為虛 位移，用 表示。對單擺：虛位移在半徑為L的球面的切面上 (當虛位移 很小時)，約束反力 沿球面的半徑方向。14顯然 ，所以定義虛功：實位移與虛位移的區別實位移：同時滿足運動規律和約束條件，在時間間隔dt 內所發生的位移為實位移，它是唯一確定的。虛位移：設想在某一給定的時刻，在約束允許的條件下 系統所發生的位移。虛位移并非發生在時間的15流動過程中，它屬于人為引入的位移，目的是為了處理未知的約束反力。虛位移不是運動學和動力學問題，而是一個幾何問題。舉例：(1)不穩定約束情況下，dr和 的區別。16不穩定約束：懸點作簡諧振動的單擺 虛位移在以t時刻懸點所在位置

7、O(t)為心的球面上，實位移的起始點和終點分別在以O(t)和O(t+dt)為球心的兩個球面上。顯然： 垂直 ，但 不垂直 。17(2) 阿特伍得機 的虛位移： 滑槽對 的約束反力： (垂直滑槽表面)顯然：軟繩對 的約束反力：顯然：則：而 所以 18結論：在理想的無耗散情況下，約束反力所做的虛功 為零；各個質點所受到的約束反力所做的虛功 之和為零。即定義：滿足上式條件的約束稱為理想約束。由 得19 虛功原理 (達朗貝爾原理) 文字表述：在理想約束情況下，作用在各個質點上的主 動力和慣性力所做的虛功之和為零。20對于平衡系統：則若系統為剛體，當平衡時，其所受重力虛功的處理(虛功原理的特例)21對于

8、保守系統，勢能U為作用在第a個質點上的主動力由虛功原理得到22比較前面單個無約束質點的相應公式：結論：無約束時，實位移；有約束時，虛位移。 23現在由推導有約束情況下N個質點組成的系統的拉格朗日方程。對 求微分，得到 實位移24對 求等時變分，得到而虛位移是固定在某一時刻t不變時，約束所允許的位移，故 ，因此 25262728系統的動能為 2930令 L=T-U ，則 拉格朗日方程 311.1.3 最小作用量原理推導拉格朗日方程的方法之二：從最小作用量原理出發建立運動方程的目的：求解系統的真實狀態。力學系統：N個質點，系統運動狀態的描述若有約束，系統的自由度降為S，系統狀態的描述： q:廣義坐

9、標32若 已知，又 則 已知，即 已知。任意的一組S個函數 系統的一個任意的運動狀況初始條件確定后，只有一組S個函數 真實的運動目的：從所有的函數組中選出描述運動狀態的一組。33類似問題：光的傳播問題A B的任意一條路徑： (s:幾何路程)A、B固定(固定邊界)： 光的實際傳播路徑 一個函數34任務：確定這一函數。辦法：定義光程 其中： (x,y,z)點處的折射率顯然：不同的 不同的l l的值決定于 的函數形式，稱l為 的泛函“函數的函數”。 35記為：由于：不同的 不同的l值所以：在l值中有一個值是極值(極大值、極小值或常數)，和這個l值對應的函數 描述光的實際傳播路徑費馬原理。極值條件的數

10、學表示： l：泛函l的變分，它是由于 的函數形 式的微小改變 所引起的l值的變化。36比較：普通函數的極值條件為 泛函 的極值條件為 費馬原理 找到代表實際運動狀態的函數對于力學問題，可采用相同的取泛函極值的方法。固定時刻 的廣義坐標值：37 的一個泛函 Sq(t) 作用量代表實際運動狀態的 是使作用量S有極值的那一組。此即最小作用量原理。泛函Sq(t)的積分形式力學系統的狀態：只決定于坐標和速度，即 ( L：表征了力學系統的狀態) 注：L中沒有更高階導數的原因在于，只要給定初始時 刻的位置和速度就決定了系統的運動。38作用量S： S的極值條件：拉格朗日方程的推導 作用量S的變化 是由函數形式

11、的變化 引起的(在每一固定時刻等時變分)。 39又 40而端點固定，所以41若 代表真實的運動，則它應使S取極值，即對于任意的 ，有 ，于是 拉格朗日方程說明： 1. 在此，拉格朗日方程是由最小作用量原理推導出來 的；方程為S個二階微分方程，方程組的通解包含 2S個常數(由初始條件確定)；422. 最小作用量原理是現代物理學原理的普遍形式：除經 典力學系統外，相對論力學系統和場論系統的基本原 理也可以表述為最小作用量原理的形式；最小作用量 原理在由經典物理到量子物理的概念的飛躍上起過相 當重要的作用(見理論物理基礎教程P415-418)；3. 最小作用量原理所用的數學工具是變分；4. 若力學系

12、統的拉格朗日函數確定，則該系統的力學性 質就被完全確定。但是，反過來，對于給定的一個力 學系統，卻不能完全決定其對應的拉格朗日函數。即 43 和 描述同一個力學系統。因為：L 和L得到的作用量S和S 的變分 和 相等 (證明見教材p19)，因而由最小作用量原理得到的真實運動相同，也就是說，L 和 L 描述同一個力學系統 拉格朗日函數的非唯一性。441.1.4 伽利略相對性原理一、慣性參考系運動學(運動的描述)：運動與靜止 參考系的確定 (此時參考系可任意選擇)動力學(運動的原因)：力學規律 (此時參考系不能任意選擇)兩種表述：牛頓運動定律 + 拉格朗日方程慣性系： 力學規律成立的參考系非慣性系

13、：力學規律不能成立的參考系45但是，慣性系不止一個 問題： 力學規律在不同慣性系是否有不同的形式？二、伽利略相對性原理 慣性系的等價性一切慣性系在力學上是等價的(即在不同的慣性系中，力學規律有相同的形式)。相對性原理 選取不同的慣性系去考察某一力學現 象，且在不同慣性系中，力學規律的 表達形式不變。46問題：慣性系改變后，要建立新的坐標系，不同的坐標 系通過坐標變換聯系起來，坐標變換能否保證力 學規律有相同的形式？伽利略變換對此作了保證!三、伽利略變換設：慣性系K (坐標系oxyz)、K (坐標系o x y z )，其中 K 相對K以速度V運動，且 t=0 時，兩個坐標系的 原點重合。 47做

14、的事：在K、K中考察P點的運動。某一時刻，P的位矢： (K系)、 (K 系)顯然： 伽利略坐標變換由上式得：即 伽利略速度變換v：絕對速度，v ：相對速度， V：牽連速度48且得即 加速度是伽利略變換下的不變量又：質量m是與運動無關的標量不變量(經典力學)；力 F與參考系的選擇無關，也與坐標系的選擇無關。則：F、m、a 都是不變量 牛頓運動定律的形式也就 不會改變，即力學規律具有相同的形式。 K 系： F=ma K 系： 49說明： 1.伽利略變換中包含了絕對時空觀； 2.狹義相對論：愛因斯坦相對性原理取代 伽利略相對性原理；狹義相對論時空觀 取代絕對時空觀；洛侖茲變換取代伽利 略變換。 50

15、四、自由質點的拉格朗日函數 力學系統的拉格朗日函數決定此系統的力學性質。問題：如何確定力學系統的拉格朗日函數？單個自由質點：廣義坐標r，拉格朗日函數L在時間平移、空間平移和空間轉動下具有不變性 (時間均勻、空間均勻和空間各向同性)，即對稱性。51時間平移變換：在此條件下要求L不變，則 L 不能顯含時間t，即空間平移變換：在此條件下要求 L 不變，則 L 不能顯含坐標 r，即空間轉動改變矢量的方向，但空間各向同性，則 L 不能依賴于速度 的方向，而只能依賴于它的大小，即52慣性系：K、K ，K 相對于K 以無窮小速度 運動。由伽利略相對性原理：力學規律在K和 K中形式不變 在這兩個參考系中的拉格

16、朗日函數最多只能相差 一個坐標的任意函數的時間全導數(見p23習題10)即上式為K和K 系中，拉格朗日函數滿足的的普遍關系。由伽利略變換，有 。將 對小量 展開，得53保留到 一階小量，有(2)式必須服從(1)式。比較(1)、(2)兩式，得由于 為任意矢量，上式左右兩邊 的同次項的系數應相等，于是54上式左邊不含 r，右邊不含 v ，因此 是一個不依賴于速度 v 的常數，記這一常數為 ，因而積分得 若慣性系K相對于慣性系 K 系以有限速度V運動，同樣有力學規律在K和 K 中形式不變，見習題11。55補充1：拉格朗日方程的另一種形式出發點：上式中左邊的第一項為56左邊第二項經計算后得到因此由于

17、的獨立性，有 基本形式的拉格朗日方程57若主動力為保守力，則引入勢能函數U，且有于是廣義力 寫為又 ， 則可得到保守系統的拉氏方程 58若主動力為保守力，則引入勢能函數U，且有于是廣義力 寫為又 ， 則可得到保守系統的拉氏方程 59定義耗散函數： 瑞利耗散函數由此得到而這樣，廣義力可以寫為60 對于主動力中既有保守力，又有非保守力的系統，廣義力為由基本形式的拉格朗日方程61得到耗散系統的拉氏方程上式中的L包含了系統的總動能及保守力的勢能。例子：對于一維阻尼振子系統，所受主動力有彈簧的彈力（保守力）和阻力（非保守力）。若阻力為 時，瑞利耗散函數為 。而系統的拉格朗日函數 ，則由耗散系統的拉氏方程

18、，得到一維阻尼振子系統的運動方程62補充3：泛函與變分問題 1. 泛函例子：一質點沿豎直平面中的光滑軌道y=y(x)從點A自由下滑到點B，計算所需時間。解：建立如圖所示坐標系。設ds為質點在軌道上某點C(坐標為x、y) 附近下落的一段弧長，v 為該點的速度，則質點通過弧長所需的時間為 。63又因為質點在下滑過程中機械能守恒，若取點A所在處為重力零勢能點，于是有得到這樣質點從點A下滑到點B所需時間為64 顯然，J 的值決定于函數y(x)。若起點、終點不變，但選取另一軌道，則J 將不同，即J取決于整個軌道的形狀。要注意的是，這里J 的值不是取決于y的值，而是取決于函數關系y=y(x)。于是引入泛函概念：定義：一個變數J，其值取決于函數關系y=y(x)，稱J為函數y(x)的泛函，記作J = y(x)。或者一般地說，泛函是從曲線空間到實數集的任意一個映射。注： 泛函與函數是兩個不同的概念。泛函表示的是因變量J與一個或幾個函數的對應關系，而函數表示的是因變量與自變量的數