1、小學數學基礎知識累積復制來源：/406266486復雜抽屜原則（上）首先我們來復習下抽屜原則的基本知識:當我們將4個蘋果放入3個抽屜里時,必有一個抽屜里有2個或2個以上的蘋果。因為如果每個抽屜里都不夠2個蘋果的話,那么3個抽屜里最多只有3個蘋果,而我們一共有4個蘋果,所以必有一個抽屜里有2個或2個以上的蘋果。將5個蘋果放如3個抽屜里,必有一個抽屜里只有1個或一個以下的蘋果。大家不要小看這一條看似簡單,又理所當然的原則,它可以幫助我們解決很多復雜的問題。看一道例題:例1:證明:任意給定12個不同的兩位數,其中一定存在著這樣的2個數,他們的差是個位與十位數字相同的兩位數.證明這道題很容易,首先一個

2、數被12除的余數可以是0,1,2,10,這11種,而題目給了我們12個數,所以必然有2個數在同一個抽屜里,也就是這2個數字被11除的余數是相同的,那么這兩個數的差必然是11的倍數,因為12個數都是2位數,所以差也一定是2位數或者1位數,又是11的倍數,所以這個差的個位與十位數字一定相同。這道例題就是抽屜原則的應用.在抽屜原則的應用題目中,最重要的解題思路就是如何構造抽屜和蘋果。在比較復雜的抽屜原則的題目中,一般是沒法一眼就看出抽屜和蘋果分別是什么.那我們就需要去自己來創造抽屜和蘋果。我們來下一個例子:例2:在邊長為1的正方形內隨意放進9個點,證明其中必有3個點構成的三角形的面積不大于1/8.這

3、道題目給了我們蘋果,也就是9個點,這9個點要放進一個邊長為1的正方形內,我們需要做的就是構造抽屜來放這些蘋果。要構成三角形，需要3個點，因此我們需要讓其中一個抽屜里至少有3個點，那么抽屜的數量就是（9-1）（3-1）=4個。將一個正方形分成4等份一般有下面幾種，每份面積是1/4。如果分成4個三角形，那么在三角形里的3個點構成的三角形面積最大就是1/4。如果分成4個長方形或正方形，那么3個點所構成的三角形面積最大只能是每份面積的一半，也就是1/8。所以這道題目的抽屜就應該是把正方形平分成4個面積是1/4的小正方形(或長方形),然后根據抽屜原則，9個點放進4個小正方形內，必有3點在同一個小正方形內

4、，這3點所構成的三角形面積最大只能是小正方形面積的一半，也就是1/8。證完。也有些題目抽屜和蘋果都是看不到的，例如：例3：證明，任何一個不是2和5的質數a，都可以找到一個形如1，11，111，1111，11111，111111，1111111的數能被a整除。其實這道題就是嚇唬人的，做起來是很簡單的。最關鍵的還是如何構造“抽屜”和“蘋果”。復雜抽屜原則（下）例4,有16名學生,他們的老師每個月都會分一次組,將16名同學分成2組,問至少要經過幾個月,才能使該班的任意兩個學生總有某個月份是在不同組的?這道題初見也許有些同學覺得沒什么頭緒，但是其實這道題已經給了我們學生(蘋果),組(抽屜)這2個抽屜原

5、則中最基本的元素,那么剩下的就是計算數字而已.1首先將16個同學分到2組中,那么必有一組不少與8個同學,2然后下次分組的時候這8位同學必有不少與4位仍然在一組,3接下來第3次分組,又至少有2位同學是在同一組的,4只有第4次分組才可以將這2位同學分開.也就是說要滿足題目條件必須要4次或者4次以上,這里給出一種滿足題目要求的分組:將同學們編成1-16號.第1次(1,2,3,4,5,6,7,8)(9,10,11,12,13,14,15,16)第2次(1,2,3,4,9,10,11,12)(5,6,7,8,13,14,15,16)第3次(1,2,5,6,9,10,13,14)(3,4,7,8,11,1

6、2,15,16)第4次(,1,3,5,7,9,11,13,15)(2,4,6,8,10,12,14,16)也就是說只要到了適當的抽屜和蘋果,抽屜原則就沒有難題了.下面我們來做一個找抽屜的練習:例5,在1到100這100個自然數中任意選出51個數,證明:1其中一定有2個數互質.2其中一定有2個數字的差是50.3在這些數中一定可以找到9個數,使它們有大于1的公約數(公因數).這個例題的主要內容就是練習如何來找抽屜.構造抽屜的時候必須和題目所求的東西相照應.例如第1問要有2個數互質,那么我們構造的抽屜中的數必須都是互質的.那么我們來開始構造抽屜吧:1題目要我們證明51個數中必有2個數互質,那么分組的

7、時候把相臨的兩個數分成一組,那么這2個數必是互質的（相臨的兩自然數互質）.100個數被分成(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)（99，100）這50組，那么所選的51個數中必有2個數落在了同一個“抽屜”中，這2個數必是互質的。2第2問要證明的2個數差是50，那么我們就要分組時使同一組中的數差是50，這樣的話如果有2個數落在了同一個“抽屜”中，就得到2個差是50的數了。100個數分成（1，51）（2，52）（3，53）（4，54）（5，55）（50，100）這50組，被選出的51個數中必有2個在同一“抽屜”中，所以我們就得到了2個差是50的數了。3這一問做起來稍有難度，但是做法還是一樣的，我

8、們要找出9個數有大于1的公約數（公因數），也就是說我們構造的抽屜中的數，必須滿足公約數（公因數）大于或等于2。于是分組就變成了（2，4，6，8100）全部偶數，（3，9，15，2199）3的奇倍，（5，7，11，13）剩下的33個數當我們把51個數放進這3個“抽屜”中時，我們會發現，最后一個抽屜的33數即使全部選了，也仍然剩下18個數，這18個數放進另外2個抽屜里，必有一個抽屜里有不少于9個數，那么我們就得到了這9個數，他們有一個大于1的公約數（公因數）。速算方法（乘法）一、兩位數乘兩位數。.十幾乘十幾：口訣：頭乘頭，尾加尾，尾乘尾。例：1214=？解:11=11214=168注：個位相乘，不

9、夠兩位數要用0占位。.頭相同，尾互補(尾相加等于10)：口訣：一個頭加后，頭乘頭，尾乘尾。例：2327=？解：212327=621注：個位相乘，不夠兩位數要用0占位。.第一個乘數互補，另一個乘數數字相同：口訣：一個頭加后，頭乘頭，尾乘尾。例：3744=？解：3+1=4 44=16 74=283744=1628注：個位相乘，不夠兩位數要用0占位。.幾十一乘幾十一：口訣：頭乘頭，頭加頭，尾乘尾。例：2141=？解：24=8 2+4=6 11=12141=861.11乘任意數：口訣：首尾不動下落，中間之和下拉。例：1123125=？解：2+3=5 3+1=4 1+2=3 2+5=7 2和5分別在首尾

10、1123125=254375注：和滿十要進一。.十幾乘任意數：口訣：第二乘數首位不動向下落，第一因數的個位乘以第二因數后面每一個數字，加下一位數，再向下落。例：13326=？解：13個位是3 33+2=11 32+6=12 36=1813326=4238注：和滿十要進一。數學中關于兩位數乘法的“首同末和十”和“末同首和十”速算法。所謂“首同末和十”，就是指兩個數字相乘，十位數相同，個位數相加之和為10，舉個例子，6763，十位數都是6，個位7+3之和剛好等于10，我告訴他，象這樣的數字相乘，其實是有規律的。就是兩數的個位數之積為得數的后兩位數，不足10的，十位數上補0；兩數相同的十位取其中一個

11、加1后相乘，結果就是得數的千位和百位。具體到上面的例子6763，73=21，這21就是得數的后兩位；6（6+1）=67=42，這42就是得數的前兩位，綜合起來，6763=4221。類似，1515=225，8981=7209，6466=4224，9298=9016。我給他講了這個速算小“秘訣”后，小家伙已經有些興奮了。在“糾纏”著讓我給他出完所有能出的題目并全部計算正確后，他又嚷嚷讓我教他“末同首和十”的速算方法。我告訴他，所謂“末同首和十”，就是相乘的兩個數字，個位數完全相同，十位數相加之和剛好為10，舉例來說，4565，兩數個位都是5，十位數4+6的結果剛好等于10。它的計算法則是，兩數相同

12、的各位數之積為得數的后兩位數，不足10的，在十位上補0；兩數十位數相乘后加上相同的個位數，結果就是得數的百位和千位數。具體到上面的例子，4565，55=25，這25就是得數的后兩位數，46+5=29，這29就是得數的前面部分，因此，4565=2925。類似，1191=1001，8323=1909，7434=2516，9717=1649。為了易于大家理解兩位數乘法的普遍規律，這里將通過具體的例子說明。通過對比大量的兩位數相乘結果，我把兩位數相乘的結果分成三個部分，個位，十位，十位以上即百位和千位。（兩位數相乘最大不會超過10000，所以，最大只能到千位）現舉例：4256=2352其中，得數的個位

13、數確定方法是，取兩數個位乘積的尾數為得數的個位數。具體到上面例子，26=12，其中，2為得數的尾數，1為個位進位數；得數的十位數確定方法是，取兩數的個位與十位分別交叉相乘的和加上個位進位數總和的尾數，為得數的十位數。具體到上面例子，25+46+1=35，其中，5為得數的十位數，3為十位進位數；得數的其余部分確定方法是，取兩數的十位數的乘積與十位進位數的和，就是得數的百位或千位數。具體到上面例子，45+3=23。則2和3分別是得數的千位數和百位數。因此，4256=2352。再舉一例，8297，按照上面的計算方法，首先確定得數的個位數，27=14，則得數的個位應為4；再確定得數的十位數，29+87

14、+1=75，則得數的十位數為5；最后計算出得數的其余部分，89+7=79，所以，8297=7954。同樣，用這種算法，很容易得出所有兩位數乘法的積。反向行程問題公式【反向行程問題公式】反向行程問題可以分為相遇問題(二人從兩地出發,相向而行)和相離問題(兩人背向而行)兩種.這兩種題,都可用下面的公式解答:(速度和)相遇(離)時間=相遇(離)路程;相遇(離)路程(速度和)=相遇(離)時間;相遇(離)路程相遇(離)時間=速度和.【同向行程問題公式】追及(拉開)路程(速度差)=追及(拉開)時間;追及(拉開)路程追及(拉開)時間=速度差;(速度差)追及(拉開)時間=追及(拉開)路程.【列車過橋問題公式】

15、(橋長+列車長)速度=過橋時間;(橋長+列車長)過橋時間=速度;速度過橋時間=橋,車長度之和.【行船問題公式】(1)一般公式:靜水速度(船速)+水流速度(水速)=順水速度;船速-水速=逆水速度;(順水速度+逆水速度)2=船速;(順水速度-逆水速度)2=水速.(2)兩船相向航行的公式:甲船順水速度+乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度(3)兩船同向航行的公式:后(前)船靜水速度-前(后)船靜水速度=兩船距離縮小(拉大)速度.(求出兩船距離縮小或拉大速度后,再按上面有關的公式去解答題目).【工程問題公式】(1)一般公式:工效工時=工作總量;工作總量工時=工效;工作總量工效=工時.(2)用假設工

16、作總量為1的方法解工程問題的公式:1工作時間=單位時間內完成工作總量的幾分之幾;1單位時間能完成的幾分之幾=工作時間.(注意:用假設法解工程題,可任意假定工作總量為2,3,4,5.特別是假定工作總量為幾個工作時間的最小公倍數時,分數工程問題可以轉化為比較簡單的整數工程問題,計算將變得比較簡便.)【盈虧問題公式】(1)一次有余(盈),一次不夠(虧),可用公式:(盈+虧)(兩次每人分配數的差)=人數.例如,小朋友分桃子,每人10個少9個,每人8個多7個.問:有多少個小朋友和多少個桃子 解(7+9)(10-8)=162三年級奧數專題知識要點系列之方陣問題講解同學們要參加運動會入場式,要進行隊列操練,

17、解放軍排著整齊的方隊接受檢閱等,無論是訓練或接受檢閱,都要按一定的規則排成一定的隊形,于是就產生了這一類的數學問題,今天我們將共同研究和分析這類問題。士兵排隊,橫著排叫行,豎著排叫列,若行數與列數都相等,正好排成一個正方形,這就是一個方隊,這種方隊也叫做方陣(亦叫乘方問題)。方陣的基本特點:(1)方陣不論哪一層,每邊上的人(或物)數量都相同,每向里一層,每邊上的 人數就少2。(2)每邊人(或物)數和四周人(或物)的關系;四周人(或物)數=每邊人(或物)數-14每邊人(或物)數=四周人(或物)數4+1(3)中實方陣的總人數(或物)=每邊人(或物)數每邊人(或物)數(4)空心方陣的總人(或物)數=

18、（最外層每邊人(或物)數空心方陣的層數）空心方陣的層數4例1.三年級一班參加運動會入場式,排成一個方陣,最外層一周的人數為20人,問方陣最外層每邊的人數是多少?這個方陣共有多少人?分析:根據四周人數與每邊人數的關系可知:每邊人數=四周人數4+1,可以求出這個方陣最外層每邊的人數,那么這個方陣隊列的總人數就可以求了。解:(1)方陣最外層每邊的人數:204+1=5+1=6(人)(2)整個方陣共有學生人數:66=36(人)答:方陣最外層每邊的人數是6人,這個方陣共有36人。例2.明明用圍棋子擺成一個三層空心方陣,如果最外層每邊有圍棋子15個,明明擺這個方陣最里層一周共有多少棋子?擺這個三層空心方陣共

19、用了多少個棋子?分析:(1)方陣每向里面一層,每邊的個數就減少2個,知道最外面一層,每邊放15個,可以求出最里層每邊的個數,就可以求出最里層一周放棋子的總數。(2)根據最外層每邊放棋子的個數減去這個空心方陣的層數,再乘以層數,再乘以4,計算出這個空心方陣共用棋子多少個。解:(1)最里層一周棋子的個數是:(15-2-2-1)4=40(個) (2)這個空心方陣共用的棋子數是:(15-3)34=144(個)答:這個方陣最里層一周有40個棋子;擺這個空心方陣共用144個棋子。例3.玲玲家的花園中,有一個如下圖那樣,由四個大小相同的小等邊三角形組成的一個大三角形花壇,玲玲在這個花壇上種了若干棵雞冠花,已

20、知每個小三角形每邊上種雞冠花5棵,問大三角形的一周有雞冠花多少棵?玲玲一共種雞冠花多少棵?分析:(1)由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的,而在大三角形一條邊的中間那棵花,是兩條小三角形的邊所共用的,所以如果小三角形每邊種花5棵,那么大三角形每邊上種花的棵數就是52-1=9棵了,又由于大三角形三個頂點上的3棵花,都是大三角形的兩條邊所共用的,所以大三角形一周種花的棵數等于大三角形三邊上種花棵數的和減去三個頂點上重復計算的3棵花,即:93-3=24,就是大三角形一周種花的棵數。 (2)三角形各條邊上種雞冠花棵數的總和,等于里邊小三角形一周上種花的棵數,加上大三角形一周種花的棵數,再

21、減去重復計算的3棵花(因為里邊小三角形的三個頂點上的三棵花,也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。解:(1)大三角形一周上種花的棵數是:(52-1)3-3=24(棵) (2)小三角形一周種雞冠花的棵數是:(5-1)3=12(棵) (3)玲玲一共種雞冠花的棵數是:24+12-3=33(棵)答:大三角形一周種雞冠花24棵;玲玲一共種雞冠花33棵。例4.五年級學生分成兩隊參加學校廣播操比賽,他們排成甲乙兩個方陣,其中甲方陣每邊的人數等于8,如果兩隊合并,可以另排成一個空心的丙方陣,丙方陣每邊的人數比乙方陣每邊的人數多4人,甲方陣的人數正好填滿丙方陣的空心五年級參加廣播操比賽的一共有多少人?分析:若

22、只排列一個乙方陣,則多余的人數為(即甲方陣的人數)88=64(人),排列一個實心的丙方陣,不足的人數是:88=64(人)假設丙方陣為實心方陣,則乙多的人數是:88+88=128(人),又根據方陣擴展一層,每邊增加2人,丙方陣比乙方陣的外邊多4人,丙方陣多于乙方陣的層數是42=2(層),方陣擴展2層,需要增加128人,則方陣最外層的人數是(128+24)2=68(人),丙方陣的總人數1818-88=260(人)解:(1)假設丙方陣為實心方陣,則方陣最外層的人數是:(88+88+24)2=68(人) (2)丙方陣最外層每邊的人數是:684+1=18(人) (3)空心丙方陣的總人數:1818-88=

23、324-64=260(人)答:五年級參加廣播操比賽的一共有260人。例5.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法,種成7行7列的方陣,問這個方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹,柳樹各多少棵?分析:根據已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種,假設黑點表示楊樹,白點表示柳樹觀察圖(1)(2)不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上,方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數相等,即最外層楊,柳樹分別為(7-1)42=12(棵)。當柳樹種在方陣最外層的角上時,最內層的一棵是柳樹;當楊樹種在方陣最外層的角上時,最內層的一棵是楊樹,即在方陣中,楊樹和柳樹總數相

24、差1棵。解:(1)最外層楊柳樹的棵數分別為:(7-1)42=12(棵) (2)當楊樹種在最外層角上時,楊樹比柳樹多1棵:楊樹:(77+1)2=25(棵)柳樹:77-25=24(棵) (3)當柳樹種在最外層角上時,柳樹比楊樹多1樹柳樹(77+1)2=25(棵)楊樹77-25=24(棵)答:在圖(1)(2)兩種方法中,方陣最外層都有楊樹12棵,柳樹12棵,方陣中總共有楊樹25棵,柳樹12棵,方陣中總共有楊樹25棵,柳樹24棵,或者有楊樹24棵,柳樹25棵。奇妙的整除問題（一）關于數論，曾經有人說過：“用以發現天才，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程了。任何學生，如能把當今任何一本數論教材中的習題

25、做出，就應當受到鼓勵，并勸他將來從事數學方面的工作。”所以在國內外各級各類的數學競賽中，數論問題總是占有相當大的比重。讓我們一起走進數論中數的整除這一奇妙的數字世界。 首先一起回憶一個重要的知識點，整除的定義：數a除以數b，除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除. 接下來讓我們一起學習能被一些特定數字整除的數的規律。 對這些規律我們要知其然，也要知其所以然。所以今天我們不做題目，而是一起討論這些規律的證明過程。證明這些規律雖然不會作為考核的重點，但是其中的思想在解題的過程中有很大的作用，所以希望同學們認真思考。 第一組：2，4，8系列 被2整除只需看最后一位能否被2整除 被4整除只

26、需看最后兩位能否被4整除 被8整除只需看最后三位能否被8整除，依此類推 第二組：5系列 被5整除只需看最后一位是否是0或者5 被25整除只需看最后兩位能否被25整除 被125整除只需看最后三位能否被125整除，依此類推 第三組：3，9系列 一個多位數各個位上的數字和能被3（9）整除，這個數就可以被3（9）整除。 第四組：7，13，11系列 看多位數的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除。 作為例題，老師來介紹一下7，13，11，這組數字整除規律的證明思路，其他兩組留給大家作為今天的思考題。 能否被7，11，13整除要看多位數的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除。為什么要從 最

27、后三位把這個數一分為二呢？仔細想一想我們會發現71113=1001，正好比1000大1，由此我們可以得到如下證明： 設一個多位數的末三位是abc，前面部分是x，那么我們要證明的就是這個多位數能否被7，11，13整除決定于abc-x能否被7，11，13整除由于該數=1000 x+abc=1000 x+x-x+abc=1001x+（abc-x），因為1001同時是7，11，13的倍數，所以這個多位數能否被7，11，13整除決定于abc-x能否被7，11，13整除，證畢 此外，能被11整除的數字還有另外一個規律：奇數位上的數字和與偶數位上的數字和之差（大減小）如果是11的倍數，這個數就是11的倍數。

28、也請大家自己思考一下這種規律的證明過程。 作業：試著分析一下為什么前三組數字會有這樣的整除規律，以及思考一下被11整除的第二種規律的證明思路。（提示，利用數的拆分）奇妙的整除問題（二）例1.（第三屆華杯賽復賽）173是個四位數字數學老師說：“我在這個中先后填入3個數字，所得到的3個四位數，依次可被9、11、6整除”問：數學老師先后填入的3個數字的和是多少？ 分析：聯想被9整除的規律，各位數字和是9的倍數，1+7+3=11，加上最后一位可能的9的倍數只有18，所以第一次填的是7；接下來利用被11整除的規律：奇數位數字和與偶數位數字和之差（大減小）是11的倍數。1+3=4，7加上一個數再與4做差得

29、到11的整數倍，這個差只有可能是11，也就是8+7-4=11，第二次填寫的是8；6=23，所以被6整除可以理解為既可以被2整除（是偶數），又可以被3整除。考察被3整除的規律，因為1+7+3=11，所填寫的數字只可能是11+1=12，11+4=15，11+7=18，因為填寫的數字是個偶數，所以第三次填4，三個數字的和是19. 例2.（第七屆“祖沖之杯”數學邀請賽）一個六位數，它能被9和11整除。去掉這個六位數的首、尾兩個數字，中間的四個數字是1997，那么這個六位數是_。 分析：1+9+9+7=26，最近的被9的整除的數是27，36，如果為27，只能是119970，顯然不是11的倍數，所以為36

30、，那么另外兩位的數字之和是10，且偶數位數字之和與奇數位之和的差應該為11的倍數，目前的偶數位是7和9，奇數位是9和1，之和相差6，說明剩下兩個數其中一個比另外一個多6，或者5，因為和為10，根據差與和同奇偶的原理，所以差應是6，求得兩個數分別是2和8，原數為219978。 例3.（1993年小學數學奧林匹克初賽B卷）某個七位數1993能夠同時被 2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三個數字依次是_。 分析：被2和5整除，說明末尾是0，被9整除說明各位數字之和是9的倍數，目前各位數字之和22，剩下兩個數字之和可能為5或14，如果為5的話，要被8整除，最后三位只能是320，19933

31、20可以被7整除，滿足條件；如果為14的話，要被8整除，最后三位只能是680，1993680不能被7整除，排除，所以最后答案是320。 接下來是幾道練習題，給大家練練手！ 1、將自然數1，2，3依次寫下去組成一個數：12345678910111213。如果到某個自然數時，所組成的數恰好第一次能被72整除，那么這個自然數是_。 2、將1996加一個整數，使和能被23與19整除，加的整數要盡可能小，那么所加的整數是_。不再復雜的余數（一）數論中除了整除以外，還有一個很重要也很難的知識點，就是余數，理解余數性質時，要與整除性聯系起來，從被除數中減掉余數，那么所得到的差就能夠被除數整除了在一些題目中因

32、為余數的存在，不便于我們計算，去掉余數，回到我們比較熟悉的整除性問題，那么問題就會變得簡單了，這樣就需要用到余數中一個非常重要的定理同余定理。 同余定義 如果a，b除以c的余數相同，就稱a，b對于除數c來說是同余的，且有a與b的差能被c整除（a，b，c均為自然數） 例如：17與13除以3的余數都是2，所以(1711)能被3整除 同余定理 （一）可加性 a與b的和除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之和（或這個和除以c的余數）例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以(23+16)除以5的余數等于3+1=4注意：當余數之和大于除數時，所求余數等于余數之和再除以c的余數例如：23，19除以

33、5的余數分別是3和4，所以(23+19)除以5的余數等于(3+4)除以5的余數。 （二）可減性a與b的差除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之差例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以(2316)除以5的余數等于31=2注意：當較大數的余數小于較小數的余數時，所求余數等于c減去余數之差例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以 除以(2319)的余數等于5(43)=4. （三）可乘性a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之積（或這個積除以c的余數）例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以 除以5的余數等于 注意：當余數之積大于除數時，所求余數等于余數之積再除以

34、c的余數例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以 除以5的余數等于 除以5的余數 （四）乘方性如果a與b除以m的余數相同，那么an與bn除以m的余數也相同余數判別法 當一個數不能被另一個數整除時，雖然可以用長除法去求得余數，但當被除位數較多時，計算是很麻煩的建立余數判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的余數”，我們希望找到一個較簡單的數R，使得：N與R對于除數m同余由于R是一個較簡單的數，所以可以通過計算R被m除的余數來求得N被m除的余數整數N被2或5除的余數等于N的個位數被2或5除的余數；整數N被4或25除的余數等于N的末兩位數被4或25除的余數；整數N被8或125除的余數等于N的末

35、三位數被8或125除的余數；整數N被3或9除的余數等于其各位數字之和被3或9除的余數；整數N被11除的余數等于N的奇數位數之和與偶數位數之和的差被11除的余數；整數N被7，11或13除的余數等于先將整數N從個位起從右往左每三位分一節，奇數節的數之和與偶數節的數之和的差被7，11或13除的余數就是原數被7，11或13除的余數中國剩余定理： 在一千多年前的孫子算經中，有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數此問題亦稱“孫子問題”，有很多有趣的別名，如“韓信點兵”， “秦王暗點兵”，

36、“鬼谷算”，“隔墻算”，“大衍求一術”等等 我國明朝有位大數學家叫程大位，他在解答“物不知其數”問題（即：有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？）時用四句詩概括出這類問題的優秀解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知”這首詩就是解答此類問題的金鑰匙，它被世界各國稱為“中國剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），是我國古代數學的一項輝煌成果詩中的每一句話都表示一個步驟： 三人同行七十稀，是說除以3所得的余數用70乘 五樹梅花廿一枝，是說除以5所得的余數用21乘 七子團圓正月半，是說除以7所得的余數用15乘除百零五

37、便得知，是說把上面乘得的3個積加起來，減去105的倍數，減得差就是所求的數 此題的中國剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余數，21乘5除所得的余數，15乘7除所得的余數，把這3個結果加起來，如果它大于105，則減去105，所得的差如果仍比105大，則繼續減去105，最后所得的整數就是所求也就是270321215=233,233105=128,128105=23. 為什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是從何而來？先看70，21，15，105的性質：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一個被3除余a而被5與7整除的數；21是5除余1，被3與7整除的數，因此2

38、1是被5除余b，被3與7整除的數；同理15c是被7除余c，被3、5整除的數，105是3，5，7的最小公倍數也就是說， 是被3除余a，被5除余b，被7除余c的數，這個數可能是解答，但不一定是最小的，因此還要減去它們的公倍數奧數網每周專題訓練（四）奧數網每周專題訓練（四） 1、甲、乙兩車分別從A、B兩地出發相向而行。出發時，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，這樣，當甲到達B地時，乙離A地還有10千米。那么A、B兩地相距千米。 【解】甲、乙原來的速度比是5：4，相遇后的速度比是 5（120%）：4（120%）4：4.85：6。 相遇時，甲、分別走了全程的 和 。

39、 A、B兩地相距10（ ）450（千米） 2、早晨8點多鐘有兩輛汽車先后離開化肥廠向幸福村開去。兩輛車的速度都是每小時60千米。8點32分的時候，第一輛汽車離開化肥廠的距離是第二輛汽車的三倍。到了8 點39分的時候，第一輛汽車離開化肥廠的距離是第二輛汽車的2倍。那么，第一輛汽車是8點幾分離開化肥廠的? 【解】39327，這7分鐘每輛行駛的距離恰好等于第二輛車在8點32分行過的距離的1（32）倍，因此第一輛車在8點32分已行了7321（分），它是8點11分離開化肥廠的（322111） 注：本題結論與兩車的速度大小無關，只要它們的速度相同，答案都是8點11分。 3、甲、乙兩車都從A地出發經過B地駛

40、往C地，A、B兩地的距離等于B、C兩地的距離。乙車的速度是甲車速度的80%。已知乙車比甲車早出發11分鐘，但在B地停留了7分鐘；甲則不住地駛往C地。最后乙車比甲車遲4分鐘到達C地。那么，乙車出發后分鐘時，甲車就超過乙車。 【解】從A地到C地,不考慮中途停留,乙車比甲車多用時8分鐘.最后甲比乙早到4分鐘, 所以甲車在中點B超過乙.甲車行全程所用時間是乙所用時間的80%,所以乙行全程用 8(1-80%)=40(分鐘) 甲行全程用40-8=32(分鐘) 甲行到B用322=16(分鐘) 即在乙出發后11+16=27(分鐘)甲車超過乙車 4、鐵路旁的一條平等小路上，有一行人與一騎車人同時向南行進，行人速

41、度為3.6千米/小時，騎車人速度為10.8千米/小時。這時，有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒鐘，通過騎車人用26秒鐘。這列火車的車身總長是（22米56米781米286米308米） 【解】設這列火車的速度為x米/秒，又知行人速度為1米/秒，騎車人速度為3米/秒。依題意，這列火車的車身長度是 （x1）22（x3）26 化簡得4 x56，即x14（米/秒） 所以火車的車身總長是（141）22286（米），故選。 5、人乘竹排沿江順水飄流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他問快艇駕駛員：“你后面有輪船開過來嗎？”快艇駕駛員回答：“半小時前我超過一艘輪船。”竹排繼續順水飄流了1小時遇到了

42、迎面開來的這艘輪船。那么快艇靜水速度是輪船靜水速度的倍。 【解】對于竹排來說，它自身不動，而快艇、輪船都以它們在靜水中的速度向它駛來。 快艇半小時走的路程，輪船用了1小時，因此快艇靜水中的速度是輪船靜水速度的2倍。 6、某司機開車從A城到B城。如果按原定速度前進，可準時到達。當路程走了一半時，司機發現前一半路程中，實際平均速度只可達到原定速度的11/13 。現在司機想準時到達B城，在后一半的行程中，實際平均速度與原速度的比是_。 【解】前一半路程用的時間是原定的 ，多用了 1 。要起準時到達，后一半路程只能用原定時間的1 ，所以后一半行程的速度是原定速度的 ，即11：9 7、甲、乙兩輛汽車分別

43、從A、B兩站同時出發，相向而行，第一次相遇在距A站28千米處，相遇后兩車繼續行進，各自到達B、A兩站后，立即沿原路返回，第二次相遇在距A站60千米處。A、B兩站間的路程是千米。 【解】甲、乙第一次相遇在C處，此時，甲、乙所行路程之和等于A、B間的距離。 甲、乙第二次相遇在D處，乙由C到A再沿反方向行到D，共走602888（千米），甲由C到B再沿反方向行到D。此時，甲、乙所行路程之和等于A、B間的距離的2倍，于是第二次之和等于A、B間的距離的2倍，甲、乙所走的路程也分別是第一次相遇時各自所行路程的2倍。這樣，第一次相遇時乙所行路程BC88244（千米）。從而AB284472（千米） 8、一個圓的

44、周長為1.26米,兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發沿圓周相向爬行.這兩只螞蟻每秒分別爬行5.5厘米和3.5厘米.它們每爬行1秒,3秒,5秒(連續的奇數),就調頭爬行.那么,它們相遇時已爬行的時間是多少秒？ 半圓周長63厘米。如果螞蟻不調頭走，用63（5.53.5）7秒即相遇 由于1311975317，所以經，兩只螞蟻相遇。數學速算法一、10-20的兩位數乘法及乘方速算 方法：尾數相乘，被乘數加上乘數的尾數（滿十進位）【例1】 1 2 X 1 3 - 1 5 6 (1)尾數相乘2X3=6(2)被乘數加上乘數的尾數12+3=15(3)把兩計算結果相連即為所求結果【例2】

45、1 5 X 1 5 - 2 2 5(1)尾數相乘5X5=25（滿十進位）(2)被乘數加上乘數的尾數15+5=20，再加上個位進上的2即20+2=22 (3)把兩計算結果相連即為所求結果二、兩位數、三位數乘法及乘方速算a.首數相同，尾數相加和是十的兩位數乘法 方法：尾數相乘，首數加一再相乘 【例1】 5 4 X 5 6 - 3 0 2 4(1)尾數相乘4X6=24直接寫在十位和個位上(2)首數5加上1為6，兩首數相乘6X5=30(3)把兩結果相連即為所求結果【例2】 7 5 X 7 5 - 5 6 2 5(1)尾數相乘5X5=25直接寫在十位和個位上(2)首數7加上1為8，兩首數相乘8X7=56

46、(3)把兩計算結果相連即可b.尾數是5的三位數乘方速算方法：尾數相乘，十位數加一，再將兩首數相乘【例】 1 2 5 X 1 2 5 - 1 5 6 2 5(1)尾數相乘5X5=25直接寫在十位和個位上(2)首數12加上1為13，再兩數相乘13X12=156(3)兩計算結果相連c.任意兩位數乘法方法：尾數相乘，對角相乘再相加，首數相乘 【例】 3 7 X X 6 2 - 2 2 9 4(1)尾數相乘7X2=14（滿十進位）(2)對角相乘3X2=6；7X6=42，兩積相加6+42=48（滿十進位）(3)首數相乘3X6=18加上十位進上的4為18+4=22(4)把計算結果相連即為所求結果b.任意兩位

47、數及三位平方速算方法:尾數的平方,首數乘尾數擴大2倍,首數的平方例 2 3 X 2 3 - 5 2 9 (1)尾數的平方3X3=9（滿十進位）(2)首尾數相乘2X3=6擴大兩倍為12寫在十位上（滿十進位）(3)首數的平方2X2=4加上十位進上的1為5(4)把計算結果相連即為所求結果c.三位數的平方與兩位數的平方速算方法相同例 1 3 2 X 1 3 2 - 1 7 4 2 4(1)尾數的平方2X2=4寫在個位(2)首尾數相乘13X2=26擴大2倍為52寫在個位上（滿十進位）(3)首數的平方13X13=169加上十位進上的5為174(4)把計算結果相連即為所求結果注意：三位數的首數指前兩位數字！

48、三、大數的平方速算方法：把題目與100相差，相差數稱之為差數；先算差數的平方寫在個位和十位上（缺位補零），再用題目減去差數得一結果；最后把兩結果相連即為所求結果 【例】 9 4 X 9 4 - 8 8 3 6(1)94與100相差為6(2)差數6的平方36寫在個位和十位上(3)用94減去差數6為88寫在百位和千位上(4)把計算結果相連即為所求結果口算法一、兩首位相同，兩尾數和是10的兩位數乘法，（被乘數首位加1），然后兩首位相乘得一積，兩尾數相乘再得一積，兩積連起來就是所求之積。例如：72 63 84 78 67 86 5616 4221 7224 注：兩位數的平方尾數是5的亦可用此法。如：2

49、5 25=625 45 45=202575 75=5625 95 95=9025二、兩位數相同，兩尾數和不等于10的兩位數乘法，首先兩尾數相乘得一積，然后兩尾數之和與被乘數的首位相乘又得一積，最后兩首位相乘（首位數的平方）再得一積，三積連加起來即為所求之積。例如52 61 73 53 62 74 2756 3782 5402 注：兩位數的平方尾數不是5的亦可用此法。如：22 66 22 66 484 4356 三、被乘數首尾相同，乘數首尾和是10的兩位數乘法：（乘數首位加1）然后兩尾數相乘得一積，兩首位再相乘又得一積，最后兩積相連就是所求之積。如：22 44 88 19 28 37 418 1

50、232 3256 四、兩首位和是10，兩尾數相同的兩位數乘法，首先兩尾數相乘得一積，兩首位相乘之積再加上一個相同的尾數，又得一積，兩積連來就是所求之積。如：26 76 47 86 35 67 2236 2656 3149 五、兩首位相差是1，兩尾數和是10的兩位數乘法 ：如：3822=836可分解為（30+8）（30-8）=3030-88=836原理：aa-bb=(a+b)(a-b)又如：4634=1564 8575=6375六、任意兩位數乘法：（十字相乘法或對角線相乘法）首先用十字相乘法得和數（被乘數首位與乘數尾數相乘之積加上被乘數尾數與乘數首位數相乘之積）加上兩首位數相乘與兩尾數相乘之積。

51、如：4385=36554 3 8 5 4 4+ 32 15 36 553465=22103 4 6 5 3 9+ 18 20 22 10 七、三位數乘法，首位和中間數相同，尾數之和等于10的三位數乘法，首先兩尾數相乘得一積，（給被乘數中加1）再兩中位相乘又得一積。然后兩中位數相加再和被乘數首位相乘得一積，最后兩首位相乘得一積，四積連起來就是所求之積。112118=13216112 118 13216 八、任意數與11相乘：任意數與11相乘，在計算的過程中：首尾數字不變然后兩相鄰數相加，滿十向前進一。如：1246811=1371482512411=276364九、9、99、999等與任意數相乘：

52、即首先找出任意數的補數（兩個數之和為10，這兩個數互為補數），然后將補數連在9、99、999等數末位，最后由所得新數最高位減去補數，就是所求之積。如：999999=99800199998997=89961003數學心算法乘數的個位與被乘數相加，得數為前積，乘數的個位與被乘數的個位相乘，得數為后積，滿十前一。例：151715 + 7 = 225 7 = 35-255即1517 = 255解釋：1517=15 （10 + 7）=15 10 + 15 7=150 + （10 + 5） 7=150 + 70 + 5 7=（150 + 70）+（5 7）為了提高速度，熟練以后可以直接用“15 + 7”，

53、而不用“150 + 70”。例：17 1917 + 9 = 267 9 = 63即260 + 63 = 323二、個位是1的兩位數相乘方法：十位與十位相乘，得數為前積，十位與十位相加，得數接著寫，滿十進一，在最后添上1。例：51 3150 30 = 150050 + 30 = 80-1580因為1 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得數的后面添上1，即1581。數字“0”在不熟練的時候作為助記符，熟練后就可以不使用了。例：81 9180 90 = 720080 + 90 = 170-7370-7371原理大家自己理解就可以了。三、十位相同個位不同的兩位數相乘被乘數加上乘數個位，和與十位數整數

54、相乘，積作為前積，個位數與個位數相乘作為后積加上去。例：43 46（43 + 6） 40 = 19603 6 = 18-1978例：89 87（89 + 7） 80 = 76809 7 = 63-7743四、首位相同，兩尾數和等于10的兩位數相乘十位數加1，得出的和與十位數相乘，得數為前積，個位數相乘，得數為后積，沒有十位用0補。例：56 54(5 + 1) 5 = 30-6 4 = 24-3024例: 73 77(7 + 1) 7 = 56-3 7 = 21-5621例: 21 29(2 + 1) 2 = 6-1 9 = 9-609“-”代表十位和個位，因為兩位數的首位相乘得數的后面是兩個零

55、，請大家明白，不要忘了，這點是很容易被忽略的。五、首位相同，尾數和不等于10的兩位數相乘兩首位相乘（即求首位的平方），得數作為前積，兩尾數的和與首位相乘，得數作為中積，滿十進一，兩尾數相乘，得數作為后積。例：56 585 5 = 25-（6 + 8 ） 5 = 7-6 8 = 48-3248得數的排序是右對齊，即向個位對齊。這個原則很重要。六、被乘數首尾相同，乘數首尾和是10的兩位數相乘。乘數首位加1，得出的和與被乘數首位相乘，得數為前積，兩尾數相乘，得數為后積，沒有十位用0補。例： 66 37（3 + 1） 6 = 24-6 7 = 42-2442例： 99 19（1 + 1） 9 = 18

56、-9 9 = 81-1881七、被乘數首尾和是10，乘數首尾相同的兩位數相乘與幫助6的方法相似。兩首位相乘的積加上乘數的個位數，得數作為前積，兩尾數相乘，得數作為后積，沒有十位補0。例：46 994 9 + 9 = 45-6 9 = 54-4554例:82 338 3 + 3 = 27-2 3 = 6-2706八、兩首位和是10，兩尾數相同的兩位數相乘。兩首位相乘，積加上一個尾數，得數作為前積，兩尾數相乘（即尾數的平方），得數作為后積，沒有十位補0。例：78 387 3 + 8 = 29-8 8 = 64-2964例：23 832 8 + 3 = 19-3 3 = 9-1909、平方速算一、求

57、1119 的平方底數的個位與底數相加，得數為前積，底數的個位乘以個位相乘，得數為后積，滿十前一。例：17 1717 7 = 24-7 7 = 49-289參閱乘法速算中的“十位是1 的兩位相乘”二、個位是1 的兩位數的平方底數的十位乘以十位（即十位的平方），得為前積，底數的十位加十位（即十位乘以2），得數為后積，在個位加1。例：71 717 7 = 49-7 2 = 14-5041參閱乘法速算中的“個位數是1的兩位數相乘”三、個位是5 的兩位數的平方十位加1 乘以十位，在得數的后面接上25。例：35 35（3 + 1） 3 = 12-25-1225四、2150 的兩位數的平方在這個范圍內有四個

58、數字是個關鍵，在求2550之間的兩數的平方時，若把它們記住了，就可以很省事了。它們是：21 21 = 44122 22 = 48423 23 = 52924 24 = 576求2550 的兩位數的平方，用底數減去25，得數為前積，50減去底數所得的差的平方作為后積，滿百進1，沒有十位補0。例：37 3737 - 25 = 12-（50 - 37）2 = 169-1369注意：底數減去25后，要記住在得數的后面留兩個位置給十位和個位。例：26 2626 - 25 = 1-（50-26）2 = 576-676、加減法一、補數的概念與應用補數的概念：補數是指從10、100、1000中減去某一數后所剩

59、下的數。例如10減去9等于1，因此9的補數是1，反過來，1的補數是9。補數的應用：在速算方法中將很常用到補數。例如求兩個接近100的數的乘法或除數，將看起來復雜的減法運算轉為簡單的加法運算等等。、除法速算一、某數除以5、25、125時1、 被除數 5= 被除數 (10 2)= 被除數 10 2= 被除數 2 102、 被除數 25= 被除數 4 100= 被除數 2 2 1乘數的個位與被乘數相加，得數為前積，乘數的個位與被乘數的個位相乘，得數為后積，滿十前一。例：151715 + 7 = 225 7 = 35-255即1517 = 255解釋：1517=15 （10 + 7）=15 10 +

60、15 7=150 + （10 + 5） 7=150 + 70 + 5 7=（150 + 70）+（5 7）為了提高速度，熟練以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。例：17 1917 + 9 = 267 9 = 63即260 + 63 = 323二、個位是1的兩位數相乘方法：十位與十位相乘，得數為前積，十位與十位相加，得數接著寫，滿十進一，在最后添上1。例：51 3150 30 = 150050 + 30 = 80-1580因為1 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得數的后面添上1，即1581。數字“0”在不熟練的時候作為助記符，熟練后就可以不使用了。例：81 9180