1、專題九線性賦范空間與巴拿赫空間g線性賦范空間與巴拿赫空間專題九 線性賦范空間與巴拿赫空間有限維線性賦范空間線性代數(shù)研究對象無限維線性賦范空間泛函分析研究對象代數(shù)構造最常用距離空間Rn, m, Ca,b, lp, Lpa,b完備性范數(shù)線性賦范空間線性空間距離線性距離空間巴拿赫空間線性運算按范數(shù)連續(xù)線性運算按距離連續(xù)幾何構造線性運算距離空間線性運算按范數(shù)連續(xù)賦范空間線性運算| x | = d(x,0)線性運算按距離連續(xù)| x | = d(x,0)又都是線性空間d(x,y)=|x-y|DFB集合距離線性運算線性空間距離空間集合線性運算距離線性距離空間線性賦范空間代數(shù)構造幾何構造線性運算按距離連續(xù)|

2、x | = d(x,0)d(x,y)=|x-y|完備性巴拿赫空間賦范空間范數(shù)線性運算按范數(shù)連續(xù)距離線性運算范數(shù)線性運算一、 線性空間1 線性空間及其舉例定義1 設X是任一非空集合，假設K是一個數(shù)域R或C如果X對某種規(guī)定的加法和數(shù)乘兩種運算封閉，且x,y,zX, ,K, 滿足： 1) x+y=y+x 加法交換律2) (x+y)+z+x+(x+y) 加法結合律3) X, 使x+=x 零元素存在性4) xX,使x+x= 逆元存在性5) (x)=x=(x) 數(shù)乘結合律7) (+)x=x+x 元素對數(shù)的加法分配律8) (x+y)=x+y 數(shù)對元素的加法分配律6) 1x=x, 0 x=那么稱x+y為x與y

3、的和，x為數(shù)與x的數(shù)乘 , 稱X為線性空間或向量空間 (實或復)，X中的元素稱為向量。 例1 歐氏空間Rn 是有限維線性空間且滿足1)8)零元逆元例2 m是線性空間， lp 是線性空間證：零元逆元且滿足1)8)證：例3都是無限維線性空間（或 ）按通常的函數(shù)加法與數(shù)乘運算有：（或 ）（或 ）零元故都是線性空間證：逆元且滿足1)8)或（ ） （或 ）定義2 線性子空間設X是線性空間，MX，如果x,yM, ,K, 對于X中的加法和數(shù)乘運算，有x+yM, 那么稱M是X的線性子空間。假設MX，那么稱M為X的線性真子空間。定義3 由子集張成的線性子空間設X是線性空間，MX。定義集合L：稱L為由子集MX張成

4、的線性子空間。 注：spanM是包含M的最小線性子空間。即假設L0也是包含M的線性子空間，必有2 線性子空間定義3 (有限維線性空間的基和維數(shù)) 1e1,e2,en線性無關; 2xX, x都能由e1,e2,en線性表示，即1, 2, nR, 使x=1x1+2x2+nxn那么稱e1,e2,en為X的一個基底, x1,x2,xn為向量關于基底e1,e2,en的坐標。稱n維線性空間X的維數(shù)，而稱X為n維線性空間。并記dimX=n。注：1) 如果X=, 那么稱X是零維線性空間, 這時X沒有基。3 線性空間的基與維數(shù)設X是線性空間, e1,e2,enX, 如果2)xX, 它關于基底e1,e2,en的坐標

5、是唯一的。3) 任何有限維線性空間的基底都不唯一。n維線性空間中的任何n個線性無關的向量都可以作為X的基底。定義4 (無限維線性空間的基) 1e1,e2,en,線性無關; 2xX, x都能由e1,e2,en,線性表示，即1, 2, n,R, 使x=1e1+2e2+nen+那么稱e1,e2,en,為X的一個基底, x1,x2,xn,為向量關于基底e1,e2,en,的坐標。也稱X為無限維線性空間。設X是線性空間, e1,e2,en,X, 如果注：1任何線性空間X都有基。2對于無限維線性空間X，如果e1,e2,en,X線性無關，且X=spane1,e2,en, 那么稱e1,e2,en,為X的Hame

6、l基。例4 n為歐氏空間Rn是n維線性空間。例5 Ca,b是一個無限維線性空間。1e1=1,0,0),e2=(0,1,0),en=(0,0,1)稱為Rn的標準基或單位坐標基x=(x1,x2,xn)Rn在基e1,e2,en下的坐標位x1,x2,xn。是Rn的另一組基。函數(shù)系1,t,t2,tn,是Ca,b的一個基底。證：如果Ca,b是有限維線性空間，維數(shù)為n, 那么1,t,t2,tnCa,b線性相關 任何n+1個n維向量都線性相關。這與1,t,t2,tn對任何n都線性無關矛盾。例6 a,b區(qū)間上多項式函數(shù)的全體構成的集合Pa,b按照通常的加法和數(shù)乘是一個無限維線性空間。證：顯然Pa,b是線性空間。

7、 對n, 1,t,t2,tnPa,b線性無關，故Pa,b是無限維空間。 x=x(t)Pa,b, 都能有1,t,t2,tn,線性表示，故1,t,t2,tn,是Pa,b的一個基底 。 函數(shù)系1,t,t2,tn,是Pa,b的一個基底 。 注：函數(shù)空間Pa,bCa,bLpa,b按照通常的函數(shù)運算都是無限維線性空間， 1,t,t2,tn,是他們的一個公共基底 。例7 序列空間S有限個分量不為零數(shù)列全體、有界數(shù)列空間m、p冪可和數(shù)列空間lp按照通常的數(shù)列加法和數(shù)乘運算都是無限維線性空間。他們的標準基底都是：e1=(1,0,0,0,0,), e2=(0,1,0,0,0,), en=(0,0,0,1,0,.)

8、證：設 S=x=(1,2,n,)| i0,i為有限數(shù)S是一線性空間(按通常數(shù)列加法和數(shù)乘如果S是有限維線性空間，xi=(i1,i2,iN,0,0,) (i=1,2,m)使S的一個基底 那么x=(1,2,N,0,0,)S，有x=1x1+ 2x2+ mxm 即x可由x1,x2,xm線性表示。但eN+1=(0,0,0,1,0,)S種地N+1位分量0故eN+1不可能由x1x2,xm線性表示。 矛盾。故S是無限維線性空間Smlp,因此m,lp也都是無限維線性空間。4 線性同構定義4線性同構設X和Y是兩個線性空間同為實的或復的。如果一個映射：XY，使得x1,x2X及 R(或C) ，成立注：1兩個同構的線性

9、空間可以看作是同一的。(x1+x2)= (x1)+ (x2)， (x1)= (x1)那么稱X與Y是線性同構的，也稱是從X到Y的線性同構映射。2）線性無關的向量組線性無關的向量組線性同構3同構映射的逆映射仍是同構映射注：1線性空間的任意線性子空間都是凸集。5 凸集的概念定義6凸集設X為線性空間，AX。如果對x,yA, 01，有x+(1-)yA，那么稱A為X中的凸集. 2任意個凸集的交仍是凸集。3如果BX，且BAi, Ai (iI)為X的一族凸集，那么定義5凸組合1 x+(1-)y 01 稱為為x與y的凸組合。2 1x1+2x2+ nxn 0i1, 1+2+n=1 稱為為x1,x2,xn的凸組合。

10、為包含B的最小凸集，成為B的凸包。1 范數(shù)與線性賦范空間二、線性賦范空間與巴拿赫空間定義7 2 由范數(shù)誘導的距離定義8 范數(shù)公理注：由線性度量空間構造范數(shù)使之成為賦范線性空間的方法例8 數(shù)列空間1定義1 (x,y)滿足距離公理，是S上的距離函數(shù)故 S是距離空間2S按照通常數(shù)列的加法和數(shù)乘運算是線性空間3但距離函數(shù)1(x,y)不是由范數(shù)誘導的距離：事實上，當|1時，3 常見空間的范數(shù)與距離對照表(1) Rn(2) m(3) lp(4) Ca,b(5) Lpa,b例如：4 巴拿赫Banach)空間定義9 完備的線性賦范空間稱為巴拿赫空間。因此Rn是Banach空間。定理1 設X是線性賦范空間，xn

11、、ynX, x,yX, nR, R如果n, xnx, yny, 那么有xnx, nx x, xn+ynx+y 證 n|n-|0 xnx|xn-x|0 yny|yn-y|0 |xn-x|=| |xn-x|0 xn x |nx-x|=|n-| |x|0 nxx|(xn+ yn)-(x+y) |=|(xn-x)+(yn-y)|xn-x|+|yn-y|0 xn+ynx+y5 線性賦范空間中的極限理論定義10 極限設X是線性賦范空間，xnX, xX。線性賦范空間中線性運算對范數(shù)的連續(xù)性定理2 設X是線性賦范空間，xnX, xX.1) 如果xnx, 那么|xn|有界 范數(shù)列的有界性；證 1) xnx|xn

12、-x|0|xn|xn-x|+ |x| |x| |xn|有界 如果xnx, 那么|xn|x| (范數(shù)的連續(xù)性，即|x| 是x的連續(xù)函數(shù)；2) 一方面，|xn|-|x| |xn-x| 另一方面， |xn|-|x|=|xn|-|x-xn+xn| |xn|-(|x-xn|+|xn|)=-|xn-x|因此 | |xn|-|x| |xn-x| xnx|xn-x|0| |xn|-|x| |0|xn|x| 定理3 設X是線性賦范空間，d是由范數(shù)誘導的距離，那么對x，y,z0X有.1) 平移不變性：d(x+z0, y+z0)= d(x, y)證 1) d(x+z0, y+z0)= |(x+z0 )-( y+z0

13、) |= |x- y|= d(x, y) 2) 絕對齊次性：d(x, y)=| | d(x, y)2) d(x, y)= | x-y|= | | | x-y|= | | d(x, y) 設xn 是線性賦范空間X中的點列，表達式5 線性賦范空間中的無窮級數(shù)稱為X中的無窮級數(shù)稱為級數(shù)的局部和。如果存在sX, 使得 |sn-s|0(n), 那么稱級數(shù)收斂于s，s稱 為級數(shù)的和，記為如果數(shù)項級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；當X是巴拿赫空間時，假設級數(shù)絕對收斂那么級數(shù)一定收斂。6 線性賦范空間中的完備化定義5線性等距同構設X1，1和X2，2是同一數(shù)域上的兩個線性賦范空間。如果存在一一映射T：X1X2，滿足：

14、T( x+ y)= T(x)+ T(y)， 那么稱X1與X2是線性等距同構的，也稱T是從X1到X2的線性等距同構映射。1線性：x,yX及，成立2等距：xX，成立 Tx2= x1 注：兩個同構的線性空間可以看作是同一的。定理4完備化定理設X，是一線性賦范空間，那么必存在唯一的巴拿赫空間Y，使X與Y的一個稠密子空間Y1線性等距同構。例如，Ca,b按范數(shù)不完備，其完備化空間是L2a,b.6 線性賦范空間的根本性質(zhì)定理3 線性賦范空間X中的球開或閉是凸集。證有限維線性賦范空間是研究無限維空間的有力工具。三、有限維線性賦范空間的特殊性質(zhì)1 n維線性賦范空間的模型反映了與歐氏空間Rn的關系是Rn上的連續(xù)函

15、數(shù)。定理5 設X是n維實線性賦范空間，xX在基底e1,e2,en下的坐標 為(1,2,n), 令x =(1,2,n)，則 證 有限維線性賦范空間具有特殊性質(zhì)(來自它與歐氏空間的相似性)有限維線性賦范空間是研究無限維空間的有力工具。三、有限維線性賦范空間的特殊性質(zhì)有限維線性賦范空間具有特殊性質(zhì)(來自它與歐氏空間的相似性)1 n維線性賦范空間的模型反映了與歐氏空間Rn的關系定理1 n維實線性賦范空間X與n維歐氏空間Rn在某種范數(shù)下是線性等距同構的。證 設e1,e2,en是X的一個基底， (1,2,n)Rn, xX ，也使得 X與Rn之間存在著一一對應關系T： xX ，(1,2,n)Rn, 使得1T

16、是線性同構映射：2T關于X與Rn的某種范數(shù)是等距同構映射：在Rn中定義實值函數(shù)：故 是Rn中的范數(shù)，記作 ： 則 注：任何n維線性賦范空間的模型都可以看作Rn，從而任何有限維線性賦范空間都是完備的。2 范數(shù)的等價性 定義2 等價范數(shù) 設| |1，| |2 是同一線性空間X中的兩個不同的范數(shù)。如果當| |10時有| |2 0，那么稱| |1比| |2更強；如果| |1比| |2更強，切| |2比| |1更強，那么稱| |1與| |2等價。 定理2 范數(shù)等價的充要條件 線性空間X中的兩個范數(shù)| |1與| |2等價的充要條件是：xX，存在兩個正數(shù)a，b，使得3 有限維線性賦范空間的特殊性質(zhì)定理3 設

17、X是n維實線性賦范空間，e1,e2,en是X的一個基底，那么 a, b0, 使對xX, 有 證 一方面另一方面是Rn中的范數(shù)，因而在Rn上非負連續(xù)在Rn中的有界閉集單位球面上有最小值a注：定理中， 定理4 范數(shù)等價性 設X是有限維線性賦范空間，那么X上的任何范數(shù)都等價。證 設| |1，| |2 是X上的任意兩個范數(shù)，那么根據(jù)定理3，使| |1與| |2 等價 注：定理4說明，有限維線性賦范空間X上的任何范數(shù)的收斂性一樣，因而在討論極限時可以任意選取范數(shù) 。推論1 任意有限維線性賦范空間都是Banach空間，從而任意有限維線性賦范空間的子空間都是閉子空間。證 設X是n維線性賦范空間，xkX是柯西

18、序列，e1,e2,en是X的一個基底，映射 T : X Rn.是柯西列收斂于某X完備推論2 n維實線性賦范空間X與n維歐氏空間Rn是拓撲同胚的。證 設e1,e2,en是X的一個基底，作一一映射T：那么T是拓撲同胚映射。事實上，由定理3有T是連續(xù)映射T-1 是連續(xù)映射2T是拓撲同胚映射即T與T-1都是連續(xù)映射：X是n為線性賦范空間，M10, M20, 使T是連續(xù)映射T-1 是連續(xù)映射T是拓撲同胚映射注：在線性同構和拓撲同胚意義下，任意n維線性賦范空間都與Rn “等同。推論2 任意有限維線性賦范空間都是Banach空間，從而任意有限 維線性賦范空間的字空間都是閉子空間。證 設X是n維線性賦范空間，

19、xkX是柯西序列，e1,e2,en是 X的一個基底，映射T:XRn.是柯西列收斂于某X完備X是Banach空間X的任意子空間完備，是閉子空間。推論1證 閉集LX, LX. x1XL, 令Riesz引理是泛函分析中重要定理-在區(qū)別有限維與無限維線性賦范空間的某些特征方面起關鍵作用。定理4 黎斯FRiesz引理設X是線性賦范空間，LX是真閉子集 子空間，那么對 (01), x0X , 使|x0|=1, 且對xL, 有xL, 使下確界定義令X對線性運算封閉對xL, 有|x-x1 |x+xLLX對線性運算封閉xx1x0 xd定理5 X是有限維線性賦范空間X中的任意有界閉集 都是列緊集。 有限維空間的特

20、征性定理證 必要性 設X是n維線性賦范空間，T: XRn是線性 等距同構和拓撲同胚映射。T(A)=y|y=Tx,xARn是有界閉集xnATxnT(A)T(A)是列緊集TxnkTxnT(A), 使TxnkTx0T(A)Rn中有界閉集是列緊集A為列緊集A為緊集xnkx0AT拓撲同胚T與T-1均連續(xù)AX為有界閉集拓撲同胚映射性質(zhì)充分性 設X中任意有界閉集是列緊集取單位球面B=x|x|=1, xXXB是列緊集假設X是無限維線性賦范空間，x1S, 令B1=spanx1B1X, B1X是一維閉子空間x2B, |x2|=1, 使Riesz引理B2X, B2X是二維閉子空間x3B, |x3|=1, 使Riesz引理 令B2=spanx1,x2xiB, |xi|=1, 使 xi無收斂子序列 。這與B是緊集矛盾。X是有限維線性賦范空間。推論3 有限維線性賦范空間中的單位球面是列緊集。推論4 在有限維線性賦范空間中，緊集有界閉集。推